专题七二次函数特殊四边形的存在性问题

1、专题七专题七 二次函数综合题二次函数综合题类型三特殊四边形的存在性问题类型三特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2)【方法指导】【方法指导】平行四边形的判定已知已知问题问题找点找点求点坐标求点坐标已知已知三个三个点点已知平面上不共线三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P分别求出直线P1P2，P2P3，P1P3的解析式，再求出交点即为P点；可由点的平移来求坐标已知已知两个两个点点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边

2、形(题目中P、Q的位置有具体限制)分两种情况讨论：若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；由中点坐标公式可推出：坐标系中 ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足xAxCxBxD；yAyCyByD矩形、菱形的判定方法参照中平行四边形的判定典例精讲典例精讲例例已知抛物线yax2bxc经过点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴；例题图【思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入yax2bxc中，解方程组即

3、可；把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴解：解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入yax2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为yx24x3.把yx24x3化成顶点式为y(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x2；09303abcabcc143abc (2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由；例题图【思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CDAB，再设法证明ABCD即可解：解：四边形ABDC是平行四边形理由如下：D点在抛物线的对称轴上，CDx

4、轴，D点的横坐标为2，即CD2，A(1，0)，B(3，0)，AB2，ABCD，又CDAB，四边形ABDC是平行四边形；(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标；例题图【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标解：解：存在，如解图，设直线BC的解析式为ykxb(k0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入可得：，解得，直线BC的解析式为yx3.点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成

5、的四边形是以OC为边的平行四边形，GHx轴，GHOC，设G点坐标为(n，n3)，H点坐标为(n，n24n3)，例题解图300kbb13kb GHOC3，GH|n24n3(n3)|n23n|3，当n23n3时，解得n；当n23n3时，方程无解；当n时，n24n3；当n时，n24n3.综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为(，)或(，)；321232129212321292123212921232129212例题解图(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出

6、点N的坐标；例题图【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论：当AB为边时，则MNAB，且MNAB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标解：解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图，()当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m24m3)，则点M的坐标为(m2，m5)，四边形ABNM是平行四边形，m24m3m5，解得m，当m时，m24m3；当m时，m24m3.点N的坐标为(，

7、)或(，)；例题解图317231727172317271723172717231727172()当点M在点N的右边时，设点N的坐标为(m，m24m3)，则点M的坐标为(m2，m1)，四边形ABMN是平行四边形，m24m3m1，解得m1或2，当m1时，点N与点A重合，故舍去；当m2时，m24m31，点N的坐标为(2，1)；当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图，AB与MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJNJBJMJ，设M(m，m3)，N(n，n24n3)，则有2，m3n24n30，整理，得n23n20，解得n11(舍去)，n22，N点坐标为(2，1)综上所述，点N的坐标

8、为(，)，(，)，(2，1)；例题解图2mn3172717231727172(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点，点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如果存在，请求出点P的坐标；例题图【思维教练】先假设存在满足条件的点P，由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定，则CK为菱形的边，故利用KPCK上下平移直线BC，与抛物线对称轴的交点即为所求点P.解：解：存在理由如下：K点的坐标为(2，1)，CK，假如存在这样的点P，使得四边形CKPQ为菱形，则KPCK2，如解图，当点P在点K的下方时，点P1的坐标为(2，12)，当点P在点K的上方时，

9、点P2的坐标为(2，12)点P的坐标为(2，12)或(2，12)；例题解图2223 12 222222(6)若点R是抛物线对称轴上一点，点S是平面直角坐标系内任一点，是否存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形？若存在，求出点R、S的坐标例题图【思维教练】先假设存在满足条件的点R、S，要使四边形BCRS为矩形，则点R在直线BC上方，且BCR90，可通过寻找相似三角形利用相似求出点R，再根据矩形性质求出点S.解：解：存在，如解图，要使四边形BCRS为矩形，抛物线对称轴交x轴于点T，则BCR90，CRKTBK，由(5)知，K(2，1)，CK2，T(2，0)，TK1，BK，RK4，R(2，5

10、)，CBRS，CBRS，根据点平移及矩形性质可得S(5，2)故存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形，且点R、S的坐标分别为R(2，5)，S(5，2)例题解图CKRKTKBK22232122 221CKBKTK针对演练针对演练1.如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形第1题图72解：解：(1)设抛物

11、线的解析式为yax2bxc，将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为y x2 x4，配方，得y(x)2，顶点坐标为(，)；(2)设E点坐标为(x，x2x4)，S2OAyE6( x2x4)，即S4x228x24；72236604baabcc 231434abc 14323237225672256231431223143(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即4x228x2424，化简，得x27x120，解得x3或4，当x3时，EOEA，则平行四边形OEAF为菱形；当x4时，EOEA，则平行

12、四边形OEAF不为菱形平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形2.(2017陕西)在同一直角坐标系中，抛物线C1：yax22x3与抛物线C2：yx2mxn关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧(1)求抛物线C1、C2的函数表达式；(2)求A、B两点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由第2题图解：解：(1)C1与C2关于y轴对称，C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，a1，n3，

13、C1的对称轴为x1，C2的对称轴为x1，m2，C1：yx22x3，C2：yx22x3；(2)令C2中y0，则x22x30，解得x13，x21，点A在点B左侧，A(3，0)，B(1，0)；(3)存在如解图，设P(a，b)，第2题解图四边形ABPQ是平行四边形，PQAB4，Q(a4，b)或(a4，b)当Q(a4，b)时，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34435，P1(2，5)，Q1(2，5)；当Q(a4，b)时，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34433.P2(2，3)，Q2(2，3)综上所述,所求点的坐标为P1(2，5),Q1(2，5)或P2(2

14、，3)，Q2(2，3)类型四相似三角形的存在性问题类型四相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3)【方法指导】【方法指导】ABC与DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了两个三角形均为直角三角形两个三角形有一个公共角若ABC与DEF相似，BE90，则ABCDEF或ABCFED若ABC与AEF相似，则ABCAEF或ABCAFE另外，如果不满足以上两种情况，但可以确定已知三角形的形状(特征)时，先确定动态三角形中固定的因素，看是否与已知三角形中有相等的角，若存在，根据分类讨论列比例关系式求解；已知条

15、件中有一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列比例关系式求解；若可得相似三角形的某个对应角的度数时，分类讨论另外两个角的对应情况，列比例关系式求解典例精讲典例精讲例例如图，抛物线图象交x轴于A、B两点，且点A位于x轴的正半轴，点B位于x轴的负半轴，且OA，OB3.抛物线交y轴于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；例题图【思维教练】要求抛物线的解析式，已知OA，OB的长度，可知点A、B的坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式33 解：解：OA，点A在x轴的正半轴，A(，0)，OB3，点B在x轴的负半轴，B(3，0)，设抛物线的解析式为：yax2bxc，将点A(，0)

16、，B(3，0)，C(0，3)代入，得，解得，即此抛物线的解析式为yx2x3；333333330273 303abcabcc132 333abc 132 33(2)连接AC、BC，则在坐标轴上是否存在一点D，使得ABCACD(点D不与点B重合)，若存在，请求出点D坐标；例题图【思维教练】要在坐标轴上找一点D，使得ABCACD，由(1)知A、B、C三点坐标，可判断出ABC为直角三角形，则可知ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点，根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标解：解：存在，如解图，tanOCA，OCA30，tanBCO，BCO60，ACB90，ABC为直角三角形，ABCACD，且点D在

17、坐标轴上，由题易知，AB4，AC2，BC6，即，CD3，C(0，3)，D(0，0)；例题解图33OAOC3 333OBOC3ABBCACCD4 3623CD3(3)设抛物线的对称轴分别交抛物线，x轴于点E，F，在x轴上是否存在一点G(不与点F重合)，使得AEF与AEG相似，若存在，请求出点G坐标；【思维教练】要使AEF与AEG相似，因为AEF为直角三角形，需考虑AEG中哪个角为直角的情况：当点G在x轴上时，分AEFAGE和AEFAEG两种情况例题图解：解：存在，AEF是直角三角形，且AEF与AEG相似，AEG也是直角三角形，点G在x轴上，分两种情况讨论：当AGEAEF时，由(1)知A(，0)，

18、E(，4)，EF4，AF2，根据勾股定理，得AE2，AE2AGAF，解得AG，OGAGOA，即G(，0)；当AEFAEG时，点F与点G重合，综上所述，G点坐标为(，0)；337AGAEAEAF14 3311 3311 3311 333(4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点，在y轴上是否存在一点N，使得AOC与MNC相似，若存在，请求出点N坐标；例题图【思维教练】要使AOC与MNC相似，因为ACOMCN，则需考虑AOC90这个直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：AOCMNC，AOCNMC，根据对应边成比例计算出点N的坐标解：解：存在，设直线AC的解析式为ykxb，将A(，0)，C(0，3)

19、代入，直线AC的解析式为yx3，易知AC2，又抛物线对称轴为x，将x代入yx3中，得y6，M(，6)，又C(0，3)，MC.分以下两种情况讨论：33333332230632 3()如解图，过点M作MNy轴于点N，此时AOCMNC，则此时，点N与点M纵坐标相等，N(0，6)；例题解图()如解图，过点M作MNAC于点M，此时AOCNMC，即，NC4，则ONOCNC7，N(0，7)综上所述：满足要求的点N的坐标为(0，6)或(0，7)；例题解图OCACMCNC32 32 3NC(5)在抛物线上是否存在点P，使AOC与ACP相似若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由例题图【思维教练】要使AOC与

20、ACP相似，因为AOC是直角三角形，而ACP中三个内角均可能为直角，故需分三种情况讨论，在每种情况之下，求出对应点，再看求出的点是否满足三角形相似的条件解：解：存在，AOC是直角三角形，AOC与ACP相似，ACP也是直角三角形，分以下三种情况讨论：()如解图，当点P与点B重合，即ACP90时，AOCACB，CAOBAC，AOCACB，此时，点P的坐标为(3，0)；例题解图3()如解图，当CAP90时，AC2AP2CP2，设点P坐标为(x，x2x3)，A(，0)，C(0，3)，AC2()23212，AP2(x)2(x2x3)2，CP2x2(3x2x3)2，即12(x)2(x2x3)2x2(3x2

21、x3)2，解得x或4.当x时y0，点P与点A重合，故舍去，P(4，5)；例题解图132 33333132 33132 333132 33132 333333AP.，2，.AOC与ACP不相似，P(4，5)(舍去)；()如解图，当CPA90时，以AC为直径作圆，此圆过点O、A、C，不与抛物线有其他交点，则不存在符合要求的点P.综上所述：满足条件的点P的坐标为(3，0)例题解图224 335010 103APOC2 33ACAO1010 333APOA2 33ACCOAPACOCAOAPACOAOC33针对演练针对演练1. (2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bxc经过点A

22、(2，0)，B(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点D.是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；当PDC与COA相似时，求点P的坐标第1题图41解：(1)将A(2，0)，B(8，0)代入y x2bxc得，抛物线解析式为：y x2 x4；141431 20,216804bcbbcc 解得32第1题解图(2)由(1)知C(0，4)，又B(8，0)，易知直线BC的解析式为y x4，12存在如解图，过点P作PGx轴于点G，PG交CB于点E，PEDGEB，DPEGBE，COB90，OCBPED

23、，在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE，当线段PE最长时，PD的长度最大设P(t， t2 t4)，点E在直线BC上，且点E，G的横坐标与点P的横坐标相等，E(t， t4)，G(t，0)，即PG t2 t4，EG t4，PEPGEG t22t (t4)24(0t0，将ACD拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角形求解例题图解：解：依题意可设D(x，x2x2)(4x0)，如解图，连接AC，过点D作DFx轴交AC于点F，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，将点A(4，0)，C(0，2)代入，得，解得，直线AC的解析式为yx2，F(x，x2)，1412402kbb

24、122kb1212SADCSADFSCDF(xDxA)(yDyF)(xCxD)(yDyF)(xCxA)(yDyF)4(x2x2x2)x22x(x2)22，0，4x0，MQEQ，ME5，MQ3，由勾股定理得EQ4，解得或(舍去)，点Q(，)，同理可得点P(，)，例题解图222253MEMQ222213154mnmn117595mn 2217595mn 759517595设直线l1和直线l2的解析式分别为y1k1xb1，y2k2xb2，则，解得；，解得.直线l1、l2的解析式分别是y1x，y2x.直线l的解析式是yx或yx.1111179555kbkb 1143193kb 222279555kbk

25、b 2243113kb 43193431134319343113针对演练针对演练1. 如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是ACD的外接圆的切线第1题图12(1)解：解：抛物线的解析式为yax2bx3，对称轴为直线x1，x1，即b2a，点A(3，0)在抛物线上，9a3b30，联立得，解得，抛物线的解析式为yx22x3.当x1时，y1234，顶点D的坐标为(1，4)；2ba29330baab 12ab (2)证明：点C是抛物线yx22x3与y轴的交点，点C的坐标