数学思维训练教材六年级(上册)

1、.专业.专注.第1讲比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（D比较这几个分数的大小：2、3、竺、12、竺57232937（2）试比较国和啰5,那个分数大？7777777如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例1：已知Ami2=b+3=Cx=DM4=E211（ABCDE者B不等于0）,341055将A、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成Axi=bxi!=cX_9_=Dx4=exo下面我们可以运用倒数的知识来解3

2、31056决这一问题。23一首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么，a就是壮的倒数，即士；同353111理，B应是3,C是11,D是11，E是11。这样，我们很容易就能比较出这五个数的大4945小。11133因为1>1一>1一>>一,所以D>E>C>B>A.45945随堂练习一：25.4如果a=b乂1=c=d父一（a、b、c、d均不等于0）,a、b、c、d四个数中，谁最大？565谁最小?例2:将下列分数从小到大排列起来：2、0、10、12、25。57232937分析与解比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而

3、言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60,根据分数的基本性质,可以把它们分别化为：.、圾、弛、毁、弛。150140138145148由150>148>145>140>138,可以得到：-60<-60<-60<-60<-60,即1501481451401382<15<12<3<1053729723方法点评如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考

4、虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。5615103017、19、46、33、37例3：已知A5555553,B=竺吧。试比较A与B的大小。5555555666663分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用先同分、再比较”，还是先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为间接比较法”。因为比A比1少2,B比1少一2,而2<2,所以A>B。5555555666663555

5、5555666663方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。443557445和559例4:比较例和555-,那个分数大？7777777分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7,所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？55,一7555,一77755上5的倒数是14,55的倒数是14,因为14>14

6、，所以上5V7775577775555555577755507777方法点评从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四：.1917一.试比较二和L的大小。192172例5:试比较下面两个分数的大小。也和经0710062006分析与解观察这两个分数,你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000,分母2006=1006+1000,1207即第一个分数1207的分子与分母都加上同一个数：1000,就正好等于第二个分数10062207O2006方法点评当a>b时，旦

7、虫,即一个分数的分子和分母都加上同一个数,bbk得到的新分数比原分数小，所以磔7>争07。同理，一个真分数的分子和分母都加上10062006同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五：29129的比较一与的大小23123拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来183631471519373248162、比较下面两个分数的大小翳口5013、比较1001221 工口 443 _ ,(和的大小。332665987654321 匕 987 654321 2009 小4、比较与的大小。word可编辑123456789 2009123456789的大小07171匕7171715、比较与838

8、3838383第2讲速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例1：计算下面各题。1，-2003(1) 64-9(2)200320032003172004分析与解同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦,如果我们开动脑筋想一想,就会发现：可以把(1)641分成一个179的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例(2)中的被除数和除数利用商不变的性质,同时除以2003后，计算就很简便了，八1(1) 6

9、4丁 917,1 、=(63+ 1 ) 。9 172003 .(2003丁 2003)20041=639 +1 9172003(2) 2003。20032004(2003 + 2003 ) +=1 +( 2003 + 2003+ -2003 2003 ) 2004=7+18 1x _17 92 =7 171=11200420042005方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果随堂练习一：计算：(1)55x5556(2) 167*167167168例2:计算：1111十+34561

10、1-+34分析与解这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个、几 1111A一 一 一 二A3 4 5 6(1+A) MB-B"算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简111+-+-=B,原来的算式可以转化成：45=B+AB-AB=B，一,119所以本题的结果为：1+-+-=124520方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律随堂练习二：“2 3 5 7、，/3 5 7、 (1+ + +) X (+一)5 7 8 97 8 9357、，/2,357、计莫：(1+)X(+)7895789例3:计算1.1.2.-.-

11、.2321.122233333123484950494821十+-+.50505050505050505050分析与解这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个,分母为3的分数有5个且同分母的分数的和依次为1,2,3,4,5这是一个托差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）X项数+2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=(1+50)X50+2=1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：112112321123十 + + + + + + + +

12、+ + + +.12223333320 20 2019十2020 19+十20 202201+20例4:2255计算：(1)(13+11)-(+)111311132002+20022002+200220022002200320032003200320032003分析与解(1)被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：22_14514511、55_二/11、13+11+145X(+),+5X(+).JtT>11131113111311131113原式=(+)+(+)=145X(+A)-5x(+)=1455=291113111311131113(2)我们注意到，这个分数的分子与分母尽

13、管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为2002=2002X120022002=2002X10001200220022002=2002X1000110001所以2002+20022002+200220022002=2002义(1+10001+100010001)同理2003+20032003+200320032003=2003乂(1+10001+100010001)2002(110001100010001)2002HR*工I=2003(110001100010001)2003随堂练习四：1144计算：(1)(9-+

14、11-)+(+-)11911917171717171717171717(2)23232323232323232323例5:计算+.+1223341920分析与解这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下=1-2,111,一 1-1201+19 201- - +211- U_ 19 - 2019201920-1920方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需,方法就不同要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括, 一. 1当a< b时,a b11、1)Xa b b

15、 - a随堂练习五：11计算''12 2 31+99 100拓展训练1.、计算（1+1+工2、计算4 524+343 3436+3431 1 111(1+1+ 1) - (1+1+4 5 64 598 、/ 35+) - (+ .343686 686工)699+6863、计算19 1919 191919 19191919 191919191923 2323 232323 23232323 23232323234、计算11111+1 4 4 7 7 10 10 13 13 165、计算(1+ ) x (1-1) x (1+1)x (1-1) X x 1+ -)50(150-)第3

16、讲比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是1：2,另一只杯子中盐与比是1：5。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1,则第一支杯子中的盐占冷，水占3 后，盐为'+ 1 2 1 5(+ )1 2 1 51 3=一：一2 2;第二只杯子中的盐占1,水为-2- +心一21215(+ )1 2 1 511

17、53一 025，水占二一。两只杯子中的盐水混合1 5所以，混合液中的盐与水的比为：=1:3。答：混合后，盐与水的比为1:3。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一：六年（1）班男、女人数的比是5：4,六年（2）班男、女人数的比是2：1,两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。图A5例2:如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的工，占正方形面积的1,三角形中阴影部分的面积占三4311.、一.角形面积的-，占正方形面积的一。圆，正方形、二角54形面积的最简整数比是多少？分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多

18、少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为12,那么圆的面积就是：12X1+2=16;三角形的面积为：12X1=15。3445所以这三个图形的面积比就是：（12X1+1）：12:（12X+1）=16：12：153445方法点评在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的-,相当于小长方形面积的-0这74两个长方形的面积比是多少？例3:有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多1,而小长方形的宽41比大长万形的宽多

19、.0求这两个长方形的面积比。101分析与解大长方形的长比小长方形的长多1,可以把小长方形的长看做4份,4大长方形的长就是1+4=5份；小长方形的宽比大长方形的宽多-可以理解成八大长10方形的宽看做10份，小长方形的宽是1+10=11份。所以，这两个长方形的面积比为：(5X10):(4X11)=55:44=25：22答：大小两个长方形的面积比为25:22随堂练习三：有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多10求两个正方形的周4长比。例4:六年（1）班男人数的2与女生人数的4相等，已知男生比女生多5人，这35个班男、女生各有多少人？分析与解根据男人数的2与女生人数的4相等，可以列出数量关

20、系：男生人数X352=女生人数X4035假设男人数的2与女生人数的4都是1,则男生人数为1+2=3；女生人数为35321+4=5。所以，男、女生人数的比为：54（2）：（4）3535二一：一24=6:5每一份的人数就是：5+（6-5）=5（人）男生人数就是：5X6=30（人）女生人数就是：5X5=25（人）答：男生有30人，女生有25人。随堂练习四：拔一根绳子按5：3截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2米。这根绳子原来全长多少米？例5:小丽读一本书,已读的页数和未读的页数的比是1：5,若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3：5。这本书共有多少页?分析与解根据巴读的页数和未读的页数的比1：

21、5”可知，把未读的页数看做1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份，已读的页数占总页数的-0若再读1545页，则已读的页数和未读的页数的比是3：5.即把这时已读的页数看做3份，未读的页数看做5份，总页数就是3+5=8份，这时已读的页数占总数的-045页占总页数35的言5-系=24,这本书共有的页数是：35155=4524=216（页）答:这本书共有216页随堂练习五：条路，已修的米数和未修的米数比为2：3,后来又修了2000米，这时已修的米数与未修的米数比为3：2。这条路全长多少米？拓展训练:5,两产值的1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是6个厂西服价格比是11：10.求两个厂这个

22、月生产西服总比。2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。3、把100克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去20克后，加满蒸流水；又用去20克后，再加满蒸储水。求这时瓶里蒸储水与纯酒精的比4、一个长方形长与宽的为7:3,如果把长减少12厘米，宽增加16厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为10：1,当水面下降20厘米后，露出水面那部分的长度之比为5：2。求木桩原来露出的部分是多少厘米？第4讲按比例分配例1：有一块长方形的土地，测得周长为60米，.长与宽的比是3:2.求这块地的面积。分析与解求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方

23、形的周长为60米，那么，长与宽的和就是：60+2=30(m);它的长就是：30x4=18(米)；它的宽就是：30232X=12(米。)至此，长方形的面积很容易求出。2360攵=30（m）30X=18（米）2 330X=18（米）3 318X12=216（平方米）答：这块长方形土地的面积是216平方米。方法点评：此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。随堂练习一：长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为5：4：2.这个长方体的体积是多少立方厘米？例2:西园村挖一条水渠，全长420米，第一、二两队所挖米数比是3：4,第二、三两队所挖米数比是6：7。

24、三个队各挖了多少米？分析与解我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队：第二队：第三队4 :4=(3X3):(4X3)=9：126:7=(6X2):(7X2)=12：14这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为9：12：14,下面只需将420米按比例分配就行了。9+12+14=35420X=108（米）35420X12=144（米）35420X11=168（米）答：第一队挖了108米，第二队挖了144米，第三队挖了16

25、8米。方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。随堂练习二：人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为5：4,第二批与第三批的人数比为3:2.已知六年级共有学生210人，第二批有多少人？例3:工厂把10000元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是3：2,第三车间比第二车间多200元。三个车间各得多少元？分析与解根据题意，把第一车间所得奖金看做3份，第二车间所得奖金数是2份，第三车间所得将金属应为2份多200元。从10000元奖金中先拿出200元给第三车问，那么剩下的9800元中，三个车间应

26、得奖金的比是322,再按比例进行分配。最后第三车间的奖金加上先分得的200元就行了。3+2+2=710000-200=9800（元）一3一，一、9800X3=4200（兀）一一29800X1=2800（兀）2800+200=3000（元）答：第一车间分得4200元，第二车间分得2800元，第三车间分得3000元。随堂练习三：甲、乙、丙三堆煤共450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为5：4,丙堆煤的重量是乙堆煤的1.5倍。三堆煤各重多少吨？例4:A、B两桶油共重90千克，若把A桶中油的工倒入B桶，则两桶油的重量4比是1：2.A、B两桶油原来各多少千克？分析与解把A桶油的1倒入B桶，两桶油的总重量没有变

27、,还是90千克。因4此可以按比例分配求出现在A桶油的重量：90X=30（千克）。A桶倒出-后是30124千克，即30千克占A桶油原有油的-,这样可以倒推A桶原有油的重量。则就可求出B4桶油的重量。90X=30（千克）12330+3=40(千克)49040=50(千克)答：A桶原有油40千克,B桶原有油50千克。方法点评解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出A桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。随堂练习四：两个书架一共放书360本，如果从第一个书架取出1放入第二个书架，则第一个书4架上的书与第二个书架上的书的本数比是9：11.两个书架上原来各有多少本书？例5:水果批发部运来苹果、橘子

28、、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为4：5：6.已知上周这三种水果售出数量比是3：2：4,又知苹果共卖得2160元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？分析与解根据这三种水果的单价比为4：5：6.,以及数量比为3：2：4,可以先计算出这三种水果的总价比(4X3):(5X2):(6X4)=12：10：24=6：5：12由此可知，苹果的总价占售出水果总价的一6一=9。因此售出水果的总价很容易求651223(4X3):(5X2):(6W)=6：5：122160-=8280(元)23答：这个批发部上周售出水果的总价为8280元。方法点评解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和

29、数量比，先求出总价比，进而求出总价。随堂练习五：甲乙两个三角形，他们的底边之比为2：3,高之比为3:5.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30平方厘米，求这两个三角形的面积。拓展训练1、一个长方体，长、宽、高的比是4：3：7.已知这个长方体的底面周长为56厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2、甲数和乙数的比是23,乙数和内数的比是45,甲数和内数的比是多少？3、大、小两筐苹果共60千克，把大筐苹果重量的3放入小筐后，大、小两筐苹果的重量比为2：3。大、小两筐原来各装多少千克苹果？4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克,重量比为4：9：5.两天后,三种水果工实出780千克，这时苹果还余50千克

30、，梨还余20千克，橘子余下的是卖出的10原来三4种水果各有多少千克？5、学校田径队和游泳队共有32个男生、18个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为5:3,游泳队中男生人数与女生人数的比是2：1,那么，田径队中女生有多少人？6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是2：1,已知奶糖每千克6元，酥糖每千克2元。如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那么，什锦糖的成本为每千克多少元？第五讲分数第应用题（一）1例1：一池水，第一天放出60吨，第二天放出65吨，剩下的水比原来这池水的一4少5吨。原来水池有多少吨？分析与解这道题把原来这池水的吨数看作单位1”，但具体数量与分率之间的关1系却不容易看

31、出，关键是剩下的水不是正好占单位1”的1。我们可以假设第二天少放41出5吨水，那么剩下的水就正好占单包1的-，两天共用去（60+65-5）吨的水，的41对应分率就是（1-1）。41（60+65-5）+（11）4=120+34=160（吨）答：原来水池有水160吨。随堂练习一：一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的-,后来向甲库运进458吨，向乙库运进36吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻谷多少吨？例2:五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共96本。已知科技书是故事书的1,是文艺术的工，三种图书各有多少本？34分析与解这道题出现了两个不同的单位1"，因而,我们需要将他

32、转化成同一个单位1”。把故事书看作单位1”，科技书的对应分率就是1,文艺书的对应分率是1+331_4一43故事书的本数：96+（1+1+1+1）334=96-23=36（本）科技书的本数：36X1=12（本）文艺书的本数：12+°=48（本）34答：故事书有36本，科技书有12本，文艺书有48本方法二：这道题也可以把科技书的本数看作单位1”，故事书的对应分率就是1-1=3文艺书的对应分率就是1+1=43496+（1+1+1）34=96+8=12（本）科技书的本数12-=36（本）故事书的本数12+1=48（本）文艺书的本数34答：（略）方法点评：在分数应用题中，如果遇到单位1”不同时

33、，就要注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个单位1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。随堂练习二：某校四、五、六年级共有学生580人，四年级的学生人数是五年级的-,五年级的9人数是六年级的3。三个年级各有多少人？4拓展训练1、小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票285张，现在小明拿出自已邮票的,现在小虎拿出15张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正好相等。5两人原来有多少张邮票？2、某厂男职工比全厂职工总数的3还多60人，女职工的人数是男职工的10这个53厂公有制共多少人？3、东方小学六年级有23人、五年级有18人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖人

34、数相等，五年级未获奖人数比六年级少1。两个年级共有多少人获奖？314、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的1,乙做零件的个数2是甲丙的1,丙做了450个，这批零件有多少个？35、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了5天后，还剩下需装彩灯1数量的1,这时若再增加200只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。原来准9备装彩灯多少只？第6讲分数应用题（二）例一：人民商场运来空调和冰箱共240台，其中空调占2。后来有几台空调因5质量问题要退回厂家，这时空调台数占总数的旦。退回空调多少台？13分析与解根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。我们可以先求出冰箱的台

35、数；2240X（1-2）5=240x|=144（台）根据这时空调台数占总数的，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位1”，冰135.箱占总数的（1-?）,这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数：13144+（1-3）=234（台）13最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调台数；240-234=6（台）答：退回空调6台。随堂练习一：1幼儿班图书角共有连环圆与漫回书216本，其中连环回占-。后来又卖来一些连环323回，这时连环回占图书总数的一。后来又买来多少本连环回?59例2:由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的5。如果从乙车间调127人到甲车间，甲车间的人数是乙车间

36、的4。原来甲乙两个车间各有人多少人？5分析与解根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的5,从乙车间调12人7到甲车间，甲车间的人数是乙车间的4,说明甲乙两个车间的人数都发生了变化，甲乙5两个车间的总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的总人数看作单位1”，则原来甲车间人数占两个车间总数的旦，同时把甲车间的人数是乙车间的4转化成现在甲575车间的人数占两个车间总数的士。根据题目中所说从乙车间调12人到甲车间”，可45知甲车间现在的人数比原来的人数多12人，它的对应分率应是（5）就可以4557求出辆车间的总人数，再求两车间的人数就简单了12+(4557=1236二432（人）两车间人数432=18

37、0（人）甲车间人数57432-180=252（人）乙车间人数答：原来甲车间人数有180人，乙车间的人数有252人。方法点评；在一些分数应用题中，题目中会出现一些变化量，造成单位1”的量无法确定，未结题增加了难度，这种情况下，我们要善于抓住其中的不变量”，抓住不变量”进行分析。通常分两种情况：（1）先求出不变量，然后利用这个不变量作为桥梁”进行解答；（2）、一步变量作为单位1 ”，把题目得分率全部转化成以不变量作单位1然后在寻找对应关系进行解答随堂练习二：修一条水渠，已修的米数是剩下的1-,如果再修50米，那么已修的米数就是剩下2的3。这条渠去长多少米？4拓展训练1、水果店运来苹果和梨共360箱

38、，其中苹果占-0后来由有运来几箱苹果，这12时苹果占两种水果总箱数的30又运来苹果有多少箱？5342、师徒两人合作280个零件，徒弟做了自己人物的-,师傅做了自己任务的，45这时还剩下64个零件没有做。师徒两人原来各需做多少个零件？13、甲、乙两校共有60人参加小学生数学克赛，甲校参加人数的1比乙校参加人数3的工多6人，甲、乙两校各有多少人参加竞赛？414、某次会议，昨天参加会议的代表共2100人，今天男代表减少,女代表增加101.一.，、.、,.、了一。今天共2016人出席会议,那么昨天参加会议的男代表共有多少人？205、兄弟两人各有邮票若干张，现在爸爸又买回18张邮票。如果全部给哥哥，那么

39、哥哥的邮票张数是弟弟的2倍；如果全部给弟弟，则弟弟的邮票张数是哥哥的工。两人8原来各有多少张邮票？第7讲列方程解分数应用题专题简析：用算术方法解应用题，虽然有利于提高思维的灵活性，但使用算术方法解应用题时，总是把未知数置于特殊的位置，使解题思路和方法受到很大限制，有时解题很困难。这时，我们可以选择用方程解答应用题，用字母表示未知数，未知数直接参加列式和运算，思维直接，解法灵活。用列方程的解题方法，往往能获得事半功倍的效果，这样取得成功的机会会更多一些。例1：某工厂有职工980人，其中女职工的人数比男职工的？多28人。这个工厂5的男、女职工各多少人？分析与解这题中有两个等量关系，男职工人数+女职

40、工人数=980人，女职工人数二男职工人数X2+28人。在解答分数应用题时，通常设单位1”的量为x,这里可以5设男职工人数为x,那么女职工人数就可以根据第二个数量关系表示为（2x+28）,再分5别把男职工人数和女职工人数带入第一个等量关系，列出方程，求出结果。2解：设这个工厂有男职工x人，则女职工有（2x+28）人。5X+2x+28=980512X+28=9805X=680980680=300（人）答：这个工厂有男职工680人，女职工300人。方法点评：在用方程解答应用题时，我们应注意以下几点：（1）一般设单位1”的量为X;（2）找准等量关系列方程。随堂练习一：师徒两人合作一批零件，完工时，徒弟

41、做的零件个数比师父的且少10个。已知师4傅比徒弟多做了50个零件，师徒两人个做了多少个零件？1例2:商场运来空调与彩电共152台，卖出彩电的A和5台空调空调后,剩下的空调与彩电台数正好相等。商场运来空调与彩电各多少台？分析与解由于题目中彩电台数是单位1”那么可以设彩电台数为x,则空调台数为（152-x）台。根据剩下的空调与彩电台数正好相等"，我们可以列方程来解答解：设商场运来彩电x台，则空调台数为（152x）台。、，1/CX-x=152-x-511=147x1121x=14711X=7715277=55（台）答：商场运来彩电77台，空调75台。随堂练习二：1.一.甲乙两桶油共重44千

42、克，甲桶用去它的-,乙桶又倒入10千克后，先在两桶油的重量相等，甲桶原有油多少千克？拓展训练1、两筐橘子，甲筐比乙筐多21千克，若从甲筐取出18千克橘子给乙筐，则甲筐重一一一，4一.量是乙筐的-。乙筐原有橘子多少筐？72、甲乙两人共储蓄1000元，甲取出240元乙又存入80元，这时乙储蓄的钱数正1好是甲的-。原来乙储蓄了多少元钱？33、学校田径队中，女队员人数的1等于男队员人数的1o已知男队员比女队员多635人，田径队中男、女队员各有多少人？1一4、六（1）班有学生50人，当男生的鼻和5个女生离开后，剩下的男、女生人数相等，那么这个班原有多少个男生？5、某校上学期男、女生共有500人，本学期有

43、1的男生转学，而女生又增加了81。这学期共有学生490人。求这学期男、女生的人数。6.专业.专注.第8讲百分数应用题百分数应用题与分数应用题一样，其中的百分数表示的是两个量之间的倍数关系，它的具体大小也取决于单位1”的大小。因此，解答白分数应用题也需要首先弄清谁是单位1”，这同样是解决百分数应用题的关键。例1:六（1）班男生人数比女生人数多25%,女生数比男生人数少百分之几？分析与解男生比女生多25%,就是男生比女生多女生的25%o把女生看做单位1”男生就是女生的1+25%=125%。求女生人数比男生少百分之几,就是求女生比男生少的人数占男生恩数的百分之几，应该用女生比男生少的人数除以男生人数

44、。25%+（1+25%）=20%方法点评：解决求一个数是另一个数百分之几的应用题时，关键是要区分清谁是谁的百分之几。随堂练习一：果园里的苹果树的棵树比桃树多2,桃树比苹果树的棵数少百分之几？3例2:某商店同时卖出两件商品，售价都是60元，但其中一件赚20%,另一件亏本20%。这个商店卖出这两件商品是赚钱，还是亏本？分析与解要知道商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本，必须要求这两件商品的成本是多少钱。一件商品赚了20%,是60元，是把这件商品的原价看作单位1”，60元的对应分率是（1+20%）可以求出原价。另一件商品亏本20%以后，是60元，是把这件商品的原价看作单位1”，60元的对应分率是（120

45、%）可以求出原价。所以：60+（1+20%）=50（元）60+（120%）=75（元）75+50>60+60答：这个商店卖出这两件商品是亏本了。随堂练习二：某商店同时卖出两件商品，售价都是100元，但其中一件赚25%,另一件亏本25%o这个商店卖出这两件商品是亏本了，还是赚钱了？拓展训练1、商店卖出甲乙两种电脑的价格不同，如果甲种电脑的价格提高20%,乙种电脑.word可编辑.专业.专注.的价格降低10%,那么两种电脑的价格相同。原来甲种电脑的价格是乙种电脑的百分之几？2、国家规定，个人存款应缴20%的利息税。张叔叔今天从银行取出一年前的存款，缴纳了18元的利息税，已知银行一年定期存储的

46、年历率为2.25%。那么，张叔叔一年前存入银行多少钱？3、商场购进一件商品，加上15%的利润作为定价。可是一直无人购买，只好降低定价的20%出售。结果亏了200元，商场购进这件件商品花了多少钱？4、某商店进了一批茶叶，分一级品和二级品，二级品的进价比一极品便宜20%0按优质优价的原则，一级品按20%的利润定价，二级品按15%的利润定价，一级品茶叶比二极品茶叶每500克贵70元。一级品茶叶的进价是每500克多少元？5、甲公司有600人，其中技术人员占5%;乙公司有400人，技术人员占20%0为了支援甲公司进行技术革新，现决定从乙公司派遣若干名技术员到甲公司传授技术，同时甲公司派出同样的人数到乙公

47、司学习技术。巧的是，这样调遣以后，现在两个公司技术人员所占百分比相同。乙公司派遣了多少名技术人员到甲公司传授技术/0020word可编辑第9讲单位1”的妙用专题简析：在分数、百分数应用题中，常常碰到1"，例如：一本书读了1,又读了余下的-33还剩下300页，问这本书共有多少页？像这样的题目出现了不同的两个单位1”，对于同学们来说非常熟悉的，但1”在应用题中的作用，可能同学们还不太了解，在一些复杂的分数应用题中，往往出现大小不同的单位的几个1"，由于单位1”的大小不同，所代表的几分之几的数量也就不同，在解题时要特别注意，下面请同学看看单位1”在各种题目中的妙用。例1一组割草的

48、人要把两片草地的草割掉，大的一片比小的一片大一倍，全体组员先用半天的时间割大的一片草地，到下午他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完，另一半就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块由一人去割，正好一天割完，问这个组共有多少人？分析与解：这道题实际上暗含着每个的工作效率这个条件，要求共有多少人，关键就是要求出一个人的工作效率，也就是一个人一天的工作量，还要求出全组人一天的工作量，而这些仿照工程问题是不难求出的。解：设大片草地的面积为单位1”，则小片草地的面积为1,根据条件可以知道，2一半组员半天割了1,一天割了2,全组组员一天割了4,由此还可以知道,所剩下的333一一

49、一一一111.一.一,1一41一小块面积是11二，也就是一人一天的工作量为1,全组的人数就是-=8236636（人）。随堂练习一：1一，-,.一1,饲养员把桃子的1分给小猴，把比余下的1少3个的桃子分给猩猩，再把余下的分35给狒狒，这样狒狒分的桃子比猴子多21个，问共有多少个桃子？例2姐妹两个人养兔100只，姐姐养的1比妹妹养的,多16只，求姐姐妹妹各310养兔多少只？分析与解：为了简化数量关系，我们假设姐姐养的1等于妹妹养的-,那么姐310姐比实际养的只数少了多少只呢？这两个人样的总只数该是多少呢？按照假设的数量分析：如果姐姐的1与妹妹的。相等，则两人养的总只数应是：10016X3=52（只

50、）。根310据上面的假设，题目就转化为姐妹两人共养兔52只，姐姐养的1等于妹妹养的-,两310人各养兔多少只？”这个问题就解决了解：设妹妹养兔的只数为1”。/、,11、（10016X3）+（1+103=52+110二40（只）100-40=60（只）答：妹妹养兔40只，姐姐养兔60只。想一想：如果以姐姐养兔的只数为1"，如何解答？随堂练习二：把一根竹竿直插入水底，枝竿湿了40厘米，然后将竹竿倒过来再插入水底，这时竹竿湿的部分比它的1少13厘米，求竹竿全长？2拓展训练1、有甲、乙、丙三堆煤，共重4500吨，当从甲堆取出20吨放入乙堆，从内堆取出30吨放入乙堆后，甲堆煤的重量则比乙队少1

51、,丙堆煤的重量比甲队多-o问甲、87乙、内三堆煤原来共有多少吨？53.2、甲乙两班共有84人，甲班人数的葭与乙班人数的:共58人，问两班各有多少人？2,.，一一1,3、果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的-,第二天卖出剩下的-,第三天52比第一天少卖1,这时还剩50千克，果品公司共运进了多少千克橘子？321.4、一瓶酒精，第一次倒出又20克，第二次倒出的是第一次的，瓶中还剩下3534克酒精，原来瓶中有多少克酒精？5、一块西红柿的地,今年获得丰收,第一天收了全部的3时，装了3筐，还余128千克，第二天把剩下的西红柿全部收完，正好装了6筐，这块地一共收了西红柿多少千克？3 2一，一一一，一6、某

52、人在一次选举中，需士的选票才能当选，计算2的选票后，他得到的选票已4 3达到当选票数的5,求他还需得到剩下选票的几分之几才能当选？6第10讲倒推法解题专题简析：有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的要求一步一步地列出算式求解，过程比较复杂，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。例1:李大爷提篮去卖蛋，第一次卖鸡蛋全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个。这时，鸡蛋都卖完了。李大爷篮中原有鸡蛋多少个？分析与解最后篮内鸡蛋的个数为0个第三次卖蛋后余下的鸡蛋个数1.（0+）X2=1（个）2第二次卖蛋后余下的鸡蛋个数1.（1+-）X2=3（个）2第一次卖蛋后余下的鸡蛋个数1.（3+-）X2=7（个）2原有鸡蛋的个数（7+1）X2=152解：【（1X2+1）X2+1】次+）X2=15（个）2222答：李大爷原有鸡蛋15个。随堂练习一：一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原有多少米？例2李白买酒：无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见