中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题四《与三角形、四边形有关的探究题》(教师版)

1、类型一与三角形、四边形有关的探究题1问题背景：如图，等腰ABC中，ABAC，BAC120°，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BADBAC60°，于是.迁移应用：如图，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.求证：ADBAEC；请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图，在菱形ABCD中，ABC120°，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.证明CEF是等边三角形；若AE5，CE2，求BF的长图图 图迁移应用：证明：BACDAE

2、120°，DABCAE，在DAB和EAC中，DABEAC；解：CDADBD；拓展延伸：证明：如解图，作BHAE于点H，连接BE.四边形ABCD是菱形，ABC120°，ABD，BDC是等边三角形，BABDBC，E、C关于BM对称，BCBEBDBA，FEFC，A、D、E、C四点共圆，ADCAEC120°，FEC60°，EFC是等边三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，FH4.5，在RtBHF中，BFH30°，cos30°，BF3.2四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(

3、点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.(1)如图，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图，当点E在线段AD上时，AE1；求点F到AD的距离；求BF的长；(3)若BF3，请直接写出此时AE的长解：(1)作FHAB于点H，如解图所示：则FHE90°，四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，ADCD4，EFCE，ADCDAHBADCEF90°，FEHCED，在EFH和CED中，EFHCED(AAS)，FHCD4，AHAD4，BHABAH8，BF4；(2)过F作FHAD交AD的延长线于点H，作FMAB交BA延长线于点M，如解图所示：则FMAH，AMFH，AD4，AE1

4、，DE3，同(1)得：EFHCED(AAS)，FHDE3，EHCD4，即点F到AD的距离为3；BMABAM437，FMAEEH5，BF；(3)AE的长为1或2.图图3【再现】如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DEBC，且DEBC.(不需要证明)【探究】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_ACBD_(只添加一个条件)；(2)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，C

5、D，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AOOC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积解：【探究】平行四边形【应用】(2)如解图，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，F，G是BC，CD的中点，FGBD，FGBD，CFGCBD，SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，四边形ABCD面积为5，SBCDSABD5，SCFGSAEH，同理：SDHGSBEF，S四边形EFGHS四边形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)5，设AC与FG，EH相交于点M，点N，EF与BD相交于点P，FGBD，FGBD，CMOMOC，同理：ANONOA，OAOC，OMON，易知，四边形ENO

6、P，FMOP是平行四边形，S阴影S四边形EFGH.类型二与图形的变换结合的探究题1(2017·营口)在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EFAB.(1)若四边形ABCD为正方形如图，请直接写出AE与DF的数量关系_DFAE_；将EBF绕点B逆时针旋转到图所示的位置，连接AE，DF，猜想AE，DF的数量关系并说明理由；(2)如图，若四边形ABCD为矩形，BCmAB，其他条件都不变，将EBF绕点B顺时针旋转(0°90°)得到EBF，连接AE，DF，请在图中画出草图，并直接写出AE与DF的数量关系解：(1)DFAE.理由如下：EBF绕点

7、B逆时针旋转，ABEDBF，ABEDBF，即DFAE；(2)如解图，四边形ABCD为矩形，ADBCmAB，BDAB，EFAB，EFAD，BEFBAD，EBF绕点B顺时针旋转(0°90°)得到EBF，ABEDBF，BEBE，BFBF，ABEDBF，即DFAE.2(2017·潍坊)边长为6的等边ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DEAB，EC2.(1)如图，将DEC沿射线EC方向平移，得到DEC，边DE与AC的交点为M，边CD与ACC的角平分线交于点N，当CC多大时，四边形MCND为菱形？并说明理由；(2)如图，将DEC绕点C旋转(0°360°

8、;)，得到DEC，连接AD，BE.边DE的中点为P.在旋转过程中，AD和BE有怎样的数量关系？并说明理由；连接AP，当AP最大时，求AD的值(结果保留根号)(导学号58824238)图图解：(1)当CC时，四边形MCND是菱形理由：由平移的性质得，CDCD，DEDE，ABC是等边三角形，BACB60°，ACC180°ACB120°，CN是ACC的角平分线，NCCACC60°BDEC，DECN，四边形MCND是平行四边形，MECMCE60°，NCCNCC60°，MCE和NCC是等边三角形，MCCE，NCCC，四边形MCND是菱形，CNC

9、M，CECC.又ECEC2，CCEC；(2)ADBE.理由：当180°时，由旋转的性质得，ACDBCE，由(1)知，ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE，当180°时，ADACCD，BEBCCE，即：ADBE，综上可知：ADBE.如解图，连接CP，在ACP中，由三角形三边关系得，APACCP，当点A，C，P三点共线时，AP最大，如解图，在DCE中，由P为DE的中点，得APDE，PD，CP3，AP639，在RtAPD中，由勾股定理得，AD2.图图3(2017·葫芦岛)如图，MAN60°，AP平分MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连

10、接BC，将ABC(0°<ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针方向旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.(1)如图，当点C在射线AN上时请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；请探究线段AC、AD和BE的数量关系，写出结论并证明；(2)如图，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB4，AC，请直接写出AD和DF的长图图解：(1)BCBD；ACADBE，证明如下：如解图，过点 B作BHAE于点H，MAN60°，AP平分MAN，12MAN30°，将ABC绕点B顺时针方向旋转

11、120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E，CBDABE120°，CBDABDABEABD，即：34，ABE120°，130°5180°ABE130°，51，BABE，5230°，34，ABCEBD，ACDE，ACADDEADAE，BHAE于点H，BABE，AHEHAE，530°，EHBE·cos30°BE，即：AEBE，AEBE，ACADBE；(2)AD5，DF.4(2017·河南)如图，在RtABC中，A90°，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，

12、连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点(1)观察猜想图中，线段PM与PN的数量关系是_PMPN_，位置关系是_PMPN_；(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值解：(2)由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，ABDACE，BDCE，同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PMCE，DPMDCE，同(1)的方法得，PNBD，PNC

13、DBC，DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC，BAC90°，ACBABC90°，MPN90°，PMN是等腰直角三角形；(3)如解图，同(2)的方法得，PMN是等腰直角三角形，MN最大时，PMN的面积最大，在AMN中，MN<AMAN，当A、M、N共线时MN最大DEBC且DE在顶点A上面，MN最大AMAN，连接AM，AN，在ADE中，ADAE4，DAE90°，AM2，在RtABC中，ABAC10，AN5，MN最大257，SPMN最大PM2××

14、MN2×(7)2.类型三 动点问题1(2017·抚顺)如图，OF是MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQOA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB.(1)如图，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；(2)如图，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； (3)如图，MON60°，连接AP，设k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k

15、的最小值；若不存在，请说明理由 解：(1)ABPB；(2)存在理由：如解图，连接BQ，BC垂直平分OQ，BQOB，BQCBOC，OF平分MON，MOFNOF，NOFBOC，BQCMOF，180°BQC180°MOF，AOBBQP，又PQAO，BQPBOA，ABPB；(3)存在最小值，k最小值0.5.2(2017·宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作MON90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON_不可能_(可能，不可能)过D点；(图仅供分析)如图，在ON上截取OEOA，过E点作

16、EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EHCD于点H，求证：四边形EFCH为正方形；(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于点G，且OG1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得SPKO4SOBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积(导学号58824239)解：(1)EHCD，EFBC，EHCEFC90°，且HCF90°，四边形EFCH为矩形，MON90°，EOF90°AOB，在正方形ABCD中，BAO90°AOB，EOFBAO，在OFE和ABO中，OFEABO(AAS)，EFOB，OFAB，又OFCFOCABBCBOOC

17、EFOC，CFEF，四边形EFCH为正方形；(2)如解图，POKOGB，PKOOBG，PKOOBG，SPKO4SOBG，()24，OP2，SPOGOG·OP×1×21，设OBa，BGb，则a2b2OG21，b，SOBGaba.当a2时，OBG面积有最大值，此时SPKO4SOBG1，四边形PKBG的最大面积为11.3(2017·沈阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AB3，AD6，动点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q运动秒后，点P从点D出发以与点Q相同的速度沿DA向终点A运动，设点P运动的时间为t(秒)，将APQ沿直线PQ翻折，得到

18、EPQ.(1)用含t的代数式表示：AP_6t_；AQ_t_；(2)连接BD，在运动过程中，当PQEBDC时，求t的值；(3)在运动过程中，PQE能否等于ABD的一半？如果能，求出此时的t的值；如果不能，请说明理由(参考数据：1.4，1.7，2.2)解：(2)将APQ沿直线PQ翻折，得到EPQ，PQAPQE，当PQEBDC时，PQABDC，即，解得t；(3)不能理由如下：如解图，延长AB至点M，使BMBD，连接DM，BMBD，BDMBMD，ABDBDMBMD，BDMBMDABD，当PQEABD时，PQEPQA，PQABMDABD，PQDM，在RtBCD中，BD3，BMBD3，解得t3.5，0t.

19、所以在运动过程中，PQE不能等于ABD的一半题型三二次函数与几何图形综合题类型一与图形判定结合1(2017·盘锦)如图，直线y2x4交y轴于点A，交抛物线yx2bxc于点B(3，2)，抛物线经过点C(1，0)，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PEDB交DB所在直线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；(3)在(2)的条件下，连接PB，将PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标备用图备用图解：(1)抛物线的解析式为yx2x2；(2)点D是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为(0，2)，BDx轴，点P是抛物线上一点，则设点

20、P的坐标为(p，p2p2)，PEBD，点E的坐标为(p，2)，DE|p|，PE|p2p2(2)|p2p|，PDE是等腰直角三角形，PEDE，|p2p|p|，当p2pp时，解得p0或p5，当p2pp时，解得p0或p1，这样的点P有两个，坐标分别为(5，3)，此时PE5，或(1，3)，此时PE1；(3)当点P的坐标为(5，3)时，点E的坐标为(5，2)，此时BE2，如解图，过E作EFAB于F，延长EF到R，使得FREF，则点R为点E关于AB的对称点，即为所求点过R作RGDE于G.点A是直线与y轴的交点，点A的坐标为(0，4)，AD6，BD3，AB3，BF，tanEBFtanABD2，EF，ER，易

21、得REGBAD，EG2GR，GR，GE，DG5，此时点R的坐标为(，)；当点P的坐标为(1，3)时，点E的坐标为(1，2)，过点E作EFAB于F，延长EF到R使得EFFR，过R作RGBD于G，同上，易得BE2，GR，GE，DG，点R的坐标为(，)综上可得，翻折后点E的对称点坐标为(，)或(，)图图2(2017·本溪 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，点B(3，0)，经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4，)，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与A，C重合)(1)求该抛物线的解析式；(2)过点P作PEAC，垂足为E，作PF

22、y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式；(3)点Q在抛物线的对称轴上运动，当OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标(导学号58824240)解：(1)该抛物线解析式为yx2x；(2)令y0得x2x0，解得x11，x23，点A的坐标为(1，0)C(4，)，直线AC的解析式为yx.点D是直线AC与y轴的交点，点D的坐标为(0，)在RtAOD中，OA1，OD，由勾股定理得AD，cosADO.PFy轴，点P的横坐标为t，且点P在抛物线上，点F在直线AC上，点F的坐标为(t，t)，点P的坐标为(t，t2t)，点F在点P的上方，

23、PFt(t2t)t2t2.PFy轴，PFEODA，cosPFEcosODA，mPFt2t；(3)满足条件的点P的坐标为(1，1)或(1，1)或(1，1)或(2，1)或(，1)类型二与线段问题结合1(2017·武汉)已知点A(1，1)、B(4，6)在抛物线yax2bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点F的坐标为(0，m)(m2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FHAE；(3)如图，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点Q从原点O出发

24、，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM2PM，直接写出t的值图图(1)解：抛物线的解析式为yx2x；(2)证明：设直线AF的解析式为ykxm，将点A(1，1)代入ykxm中，即km1，km1，直线AF的解析式为y(m1)xm.联立直线AF和抛物线解析式得，解得点G的坐标为(2m，2m2m)GHx轴，点H的坐标为(2m，0)抛物线的解析式为yx2xx(x1)，点E的坐标为(1，0)直线AE的解析式为yx.设直线FH的解析式为yk2xb2，将F(0，m)、H(2m，0)代入yk2xb2中，解得：直线FH的解析式为yxm.FHAE；(3)

25、解：当运动时间为秒或秒或秒或秒时，QM2PM.2(2015·锦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2经过点A(1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当PDB的面积等于CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m0，n0时，过点P作直线PEy轴于点E交直线BC于点F，过点F作FGx轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值解：(1)抛物线的解析式为：yx2x2；(2)抛物线的解析式为yx2x2，点C的坐标是(0，2)，点A(1，0)

26、、点D(2，0)，AD2(1)3，SCAD×3×23，SPDB3，点B(4，0)、点D(2，0)，BD2，SPDB×2×|n|3，n3或n3，当n3时，m2m23，解得m1或m2，点P的坐标是(1，3)或(2，3)当n3时，m2m23，解得m5或m2，点P的坐标是(5，3)或(2，3)综上，可得点P的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，3)或(2，3)；(3)线段EG的最小值是.3(2017·哈尔滨)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线yx3经过B，C两点(1)求抛物线的解析式；(2

27、)过点C作直线CDy轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PEx轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MNAC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQPC于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当STTD时，求线段MN的长解：(1)抛物线的解析式为yx22x3；图(2)如解图，yx22x3，当y0时，x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，OA1，OBOC3，ABC45

28、76;，AC，AB4，PEx轴，EMBEBM45°，点P的横坐标为t，EMEB3t，连接AM，SABCSAMCSAMB，AB·OCAC·MNAB·EM，×4×3×MN×4(3t)，MNt；图(3)如解图，yx22x3(x1)24，对称轴为x1，由抛物线对称性可得D(2，3)，CD2，过点B作BKCD交直线CD于点K，四边形OCKB为正方形，OBK90°，CKOBBK3，DK1，BQCP，CQB90°，过点O作OHPC交PC的延长线于点H，ORBQ交BQ于点I，交BK于点R，OGOS交KB于G，连

29、接SR，OHCOIQOIB90°，四边形OHQI为矩形，OCQOBQ180°，OBGOCS，OBOC，BOGCOS，OBGOCS，OGOS，CSGB，GOBSOC，SOG90°，ROG45°，OROR，OSROGR，SRGR，SRCSBR，BOROBI90°，IBOTBK90°，BORTBK，tanBORtanTBK，BRTK，CTQBTK，QCTTBK，tanQCTtanTBK，设STTDm，SK2m1，CS22m，TKm1BR，SR3m，RK2m，在RtSKR中，SK2RK2SR2，(2m1)2(2m)2(3m)2，解得m12(舍

30、去)，m2；STTD，TK，tanTBK÷3，tanPCD，CFOEt，PFt，PEt3，P(t，t3)，t3t22t3，解得t10(舍去)，t2.MNdt×.类型三与面积问题结合1(2017·恩施州)如图，已知抛物线yax2c过点(2，2)，(4，5)，过定点F(0，2)的直线l：ykx2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(、)，并证明你的判断；(3)P为y轴上一点，以B，C，F，P为顶点的四边形是菱形，设点P(0，m)，求自然数m的值；(4)

31、若k1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及QBF的最大面积；若不存在，请说明理由(导学号58824241)解：(1)抛物线的解析式为yx21；(2)BFBC.理由如下：设B(x，x21)，而F(0，2)，BF2x2(x212)2x2(x21)2(x21)2，BFx21，BCx轴于点C，BCx21，BFBC；图(3)如解图，m为自然数，则点P在F点上方，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，CBCFPF，而CBFB，BCCFBF，BCF为等边三角形，BCF60°，OCF30°，在RtOCF中，CF2OF4，PFCF4，P(0，6

32、)，即自然数m的值为6；图(4)作QEy轴交AB于E，如解图，当k1时，一次函数解析式为yx2，解方程组得或则B(22，42)，设Q(t，t21)，则E(t，t2)，EQt2(t21)t2t1，SQBFSEQFSEQB(22)EQ(1)(t2t1)(t2)222，当t2时，SQBF有最大值，最大值为22，此时Q点坐标为(2，2)2(2017·苏州)如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，OBOC.点D在函数图象上，CDx轴，且CD2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点(1)求b，c的值；(2)如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰

33、好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由解：(1)b2，c3; (2)设点F坐标为(0，m)，对称轴是直线x1，点F关于直线l的对称点F的坐标为(2，m)，由(1)可知抛物线解析式为yx22x3(x1)24，E(1，4)直线BE经过点B(3，0)，E(1，4)，利用待定系数法可得直线BE的表达式为y2x6，点F在BE上，m2×262，即点F坐标为(0，2)(3)存在，满足题意的点Q的

34、坐标为(，)或(，)3(2017·抚顺)如图，抛物线yax2bx4交y轴于点A，并经过B(4，4)和C(6，0)两点，点D的坐标为(4，0)，连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此

35、时所经过的路径长(导学号58824242)解：(1)抛物线的解析式为yx2x4；(2)点G(t，4t)，将(t，4t)代入到抛物线得4t(t)2×t4，解得t10(舍去)，t2，当t时，G落在抛物线上；(3)t1，此时路径长度为，t25，此时路径长度为12.类型四与相似三角形结合1如图，已知直线yx3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线yx2bxc经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒 个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，APQ为直

36、角三角形；(3)过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线的解析式为yx22x3；(2)OPt，AQt，则PA3t，OAOB3，BOA90°，QAP45°.当PQA90°时，如解图，PAAQ，即3t×t，解得t1；当APQ90°时，如解图，AQAP，即t(3t)，解得t；综上所述，当t1或t时，PQA是

37、直角三角形；图(3)如解图，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为(t，0)，PAPE，则点E的坐标为(t，t3)，易得AQH为等腰直角三角形，AHHQAQ·tt，点Q的坐标为(3t，t)，点F的坐标为(3t，t24t)，FQt24ttt23t，EPFQ，EFPQ，四边形PQFE为平行四边形，EPFQ.即3t3tt2，解得t11，t23(舍去)，点F的坐标为(2，3)；图图(4)存在当t时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似 2.(2017·河南)如图，直线yxc与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过点A，B.(1)求点B的坐

38、标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值(导学号58824243)解：(1)B(0，2)，抛物线的解析式为yx2x2；(2)由(1)可知直线解析式为yx2，M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，P(m，m2)，N(m，m2m2

39、)，PMm2，AM3m，PNm2m2(m2)m24m，BPN和APM相似，且BPNAPM，BNPAMP90°即BPNAPM，或NBPAMP90°，当BNP90°时，则有BNMN，BNOMm，即，解得m0(舍去)或m2.5；M(2.5，0)；当NBP90°时，即BPNMPA，则有，A(3，0)，B(0，2)，P(m，m2)，0m3，BPm，AP(3m)，解得m0(舍去)或m，M(，0)；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(，0)；当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或1或. 3.(2016·湖州)

40、如图，已知二次函数yx2bxc(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部(不包括ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程) 解：(1)二次函的数解析式为yx22x4，点M的坐标为(1，5)；(2)设直线AC的解析式为ykxm，把点A(3，1)，C

41、(0，4)代入得 解得直线AC的解析式为yx4，如解图所示，对称轴直线x1与ABC两边分别交于点E、点F，把x1代入直线AC解析式yx4，得y3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，15m3，解得2m4；(3)符合题意的点P坐标有4个，分别为P1(，)，P2(，)，P3(3，1)，P4(3，7)类型五与角有关的探究1(2017·锦州)如图，抛物线yx2bxc经过B(1，0)，D(2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQx轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使APB90°，若存在，求出点

42、P的横坐标，若不存在，说明理由；(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？解：(1)抛物线的解析式为yx22x3；(2)假设存在点P(m，n)，使得APB90°，如解图，连接PA，PB.PHAB，可得PAHBPH，即PH2AH·BH，(n)2(3m)(m1)，整理得n2m22m3，点P在抛物线上，nm22m3，n2n，解得n1或n0(舍)将n1代入抛物线得m22m31，解得m11，m21，满足条件的点P有两个，横坐标分别为1，1；图图(3)如解图，过D作DEx轴于点E，D(2，5)，DE5，OE2.AEOEOA5