数学中的极限思想及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。关键词：极限思想，应用Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems

2、 is explained. Whats more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are

3、introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solvi

4、ng problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea，application 目 录 1 绪 论极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一

5、个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着高中课程的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。1.1研究意义极限思想作为一种重要思想，在整个数学发展史上占有重要地位。极限思想在现代数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与

6、常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助。1.2 国内外研究现状由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国内外众多学者的关注。如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了渗透极限思想，优化解题过程，说明了利用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年刘明远给出了极限思想在解题中的应用，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；孙

7、道斌于2007年发表了利用极限思想巧解立几问题，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的范例；2005年黄加卫给出了极限思想在数列中的几个“闪光点”,认为极限是微积分中最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明中的几个范例；2007年徐素琳给出了极限思想的妙用，认为极限思想即运用“化整为零，又积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用； 2007年牛保华给出了极限思想在解题中的应用，分析了极限思想在解题时简化运算过程、优化解题方案、探索解题思路的作用。 1.3 本文解决的主要问题本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在

8、不等式中和在平面几何图中的应用进行分析，然后具体比较了数学极限思想和一般解法在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。2 数学极限思想的在解题中应用2.1 数学极限思想在数列中的应用2.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列例1：（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（2）已知数列 、是公比不相等的两个等比数列，证明: 数列不是等比数列。解：（1）设 的公比为，则有： 对上式两端取极限，当时，；当时，此时，即整理得，即，得故常数 或。（2） 假设数列是等比数列，设、 的公比分别为， ，两边取极限：若，此时左边极限为，右边极限不存在，矛盾；若，不妨设,则此时表明数列 的公比，这与

9、题设矛盾。故假设不成立，即数列 不是等比数列。注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列是公比为的无穷等比数列, 将两边取极限, 得，说明等比数列中的的极限存在, 且就是公比。2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案例2：已知数列中，且对于任意自然数，总有, 是否存在实数、, 使得 对于任意自然数恒成立? 若存在，给出证明；若不存在，说明理由。分析：解此题的一般思路是，按照“从一般到特殊, 再从特殊到一般”的思维原则。 先从具体、特定的实例入手, 从中探测出问题的结论, 再经过严格的论证, 但这样解题过程比较复杂，不如用极限思想优越，因为本题有它的特殊性，可利用极限考虑。

10、解：如果这样的，存在的话, 则由 可得，对两边取极限, 得，解得或若, 则数列应该是以1为首项, 以为公比的等比数列。显然不可能对任意的正整数都满足若，将代入 ,可求得, 此时, 验证即得出矛盾。所以, 这样的实数和 不存在。注2:灵活地运用极限思想解题, 常可避开抽象、复杂的运算, 优化解题过程, 降低解题难度，这是减少运算量的一条重要途径。2.2 数学极限思想在函数中的应用2.2.1利用极限思想确定函数图像例3：函数的图像是（ ） (A) (B) (C) (D)分析 当,且时，故选（B）2.2.2利用极限思想确定函数定义域例4：从盛满纯酒精的容器中倒出，然后用纯水填满，再倒出混合液后又用水

11、填满，这样继续下去。设倒完第次时前后一共倒出纯酒精，倒完第次时前后一共倒出纯酒精，求函数的表达式。分析：混合溶液问题是我们经常遇到的应用题，根据混合前后浓度的变化即可写出其函数表达式.由操作的重复性知，操作的次数越多，溶液的浓度越小，但是不可能是浓度为零，故。解：根据题意，第次倒出的混合液中纯酒精的体积分数为,下面确定定义域,由于第一次就倒出纯酒精，故；又经过有限次(无论n有多大)操作，总不可能将全部的纯酒精倒出，只能无限趋近于，即，故定义域为。2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围例5： 已知有向线段的起点和终点的坐标分别是和,若直线与线段的延长线相交,求的取值范围。图一解：若,则直线与

12、线段相交,不合题意，故,此时的方程为如图 易知直线恒过定点,不妨先考虑直线的极限情形:由于直线必须与有向线段的延长线相交,的斜率必须小于，两点所在直线的斜率；当离开的位置绕点顺时针旋转时, 与的延长线的交点逐渐远离点,当交点与的距离趋向无穷大时, 逐渐趋向 ,这时的斜率趋向的斜率，故应夹在与之间,则，即 ，故为所求。2.3数学极限思想在三角函数中的应用2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围例6：已知长方形的四个顶点,和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到,和上的点 ，和（入射角等于反射角），设坐标为,若,则的取值范围是图二 分析：本题可以充分利用几何关系通过“极端位置

13、”找出的取值范围，根据极限的观点，令，不妨 令与重合，依据入射角等于反射角，即知，均为各边中点，此时，而四个选项中仅有选项与此数据有关，故选注3：将精算与估算相结合， 是一种重要的数学能力。运用极限的思想，化繁为简，为解题提供思路。此类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维质量。2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围例7：若，则 分析：本题中角显然不是熟知的特珠角，如果我们将方程的两边看作是两个连续的函数的话，利用极限思想，借助函数的大小关系即可得出答案。解 当时，此时有 当时，此时有 当时，此时有 当时，此时有 因此，由和两式值的特点和；两式在

14、区间上连续可得 ，故答案为C注4：由本例可见，在解决有关三角函数中的范围问题时，因为答案都是不等关系，所以可应用极限思想来确定正确选项。2.4数学极限思想在不等式中的应用2.4.1通过假设变量的极限求得答案例8：已知，则有（ ）(A) (B) (C) (D) 分析：当时，由题意，此时，故可排除和,当时，由题意，此时，又，则，故可排除，从而选2.4.2利用极限思想解决不等式证明题例9：已知，求证分析：本题属于不等式证明，可用作差比较法、三角换元法，分析法等，但用极限思想尤为简单 ， 当且仅当时，等号成立，故原不等式成立。2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 例10：不等式组 的解

15、集是（ ） A B C D 分析：此不等式组中关健是解绝对值不等式，但是过程相当复杂，如果应用极限思想并结合排除法，此题便可轻松获解。解：当时，显然原绝对值不等式不成立，故排除选项当时，显然故排除选项而当时，显然原绝对值不等式不成立，故又排除选项。故正确选项为。2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积例11 求抛物线与直线及轴围城的阴影部分面积图三解：在轴上将线段等分为份，每份长度为，以每份线段为底，以此线段端点坐标对应抛物线的值为高分别作个矩形，由此可见，这个矩形的面积之和近似等于图中阴影部分面，当时，2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题例

16、12：已知抛物线，试问：在轴正方向上是否必存在一点，使得对于抛物线上任意一点过 的弦均有为定值。 图四分析：假设符合条件的点存在，考虑过点的一条特殊的弦（垂直与轴的弦的情形），设、,则但是仅凭此式还是看不出点的位置，再考虑过点的弦的极限情形一弦与的正半轴重合，此时过点的弦的一个端点是原点，另一个端点，则可看成是一个在无穷远的点，即,则，于是，解得。于是可猜得顶点下面证明过点的任意一条弦均有为定值。设过点M的直线方程为代入抛物线方程得设方程的两根为、，它们的几何意义分别为、的长，则，故点是符合条件的点。2.6 数学极限思想在立体几何中的应用2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用例13

17、：如图，直三棱柱的体积为，、分别是侧棱 、上的点，且，则四棱锥的体积为( )图五（A). (B) （C） (D) 解：由于上、下底三角形形状未定，、可移动，直接找与之间的关系不太方便，在此可考虑、的极端位置:令、 , 则有，故选()。2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系例14：一个正四棱台上、下底面边长分别为a、b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系中正确的是( )。（A） (B) (C) (D) 解析考虑极限情况:令，则由侧面积等于两底面积之和得，即对照选项可知(A)符合，故选(A)。2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹例15：如图，正方体，且点在侧面及边界上运动，且总保

18、持,则动点的轨迹是（ ）图六 (A)线段 (B)线段 (C) 中点与中点连成的线段(D) 中点与中点连成的线段解：直接求符合条件的点的轨迹不容易，因此，可以考察各选择支点的极端位置。点运动到线段的端点 (即点与端点重合)时，易证；当点运动到线段的端点时，也易证。而选择支、中，当点运动到各线段的端点时都不满足。故选(A)。3对一道数学题探索解题思路例16：求离心率，过点且与直线相切于点，长轴平行于轴的椭圆方程。分析：一般解法是设椭圆中心为，可得椭圆方程，并列出过已知点的切线方程，联立消参可求椭圆 。解：设椭圆中心为，由离心率，可得又由长轴平行于轴，可设椭圆方程为联立方程只有唯一解，且此解为又椭圆

19、过点代入 可求得椭圆方程为探索思考：计算过程中，明显发现这种解法运算过程繁琐。如果把“点椭圆”看作椭圆的退化情况，考虑极端元素，则可简化运算过程。解：把点 看作离心率 的椭圆系 的极限状态（“点椭圆”），则与直线相切于该点的椭圆系即为过直线与“点椭圆”的公共点的椭圆系，其方程为 又由于所求的椭圆过点，代入上式，得。因此，所求椭圆方程为结 论 数学极限思想因为本身能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们高中数学的每一个角落。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。 能否熟练地应用就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。当然数学极限思想并不是任何情况都可以用，在解决具体问题时，需要具体问题具体分析。