《艺考生一轮复习》2021新高考数学2.3-基本不等式-教师版

1、2.3基本不等式夸点梳理】多思新芷夯实基础I. 基本不等式：.(1) 基本不等式成立的条件：”>0,b>0.(2) 等号成立的条件：当且仅当时取等号.(3) 其中号称为正数sb的算术平均数，伽称为正数“，/，的几何平均数.注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误.2. 几个重要不等式：(1)a2+屏N2ab(a,AR).ba(2)+片N(sb同号).汕色，+(a+hV(4) 2(",DER).2 )2a+b2萨(5) 则上二上W何(">0力>0)其中当且仅当左8时取等号(调和平均ab'数，几何平均

2、数，算术平均数，平方平均数)3. 利用基本不等式求最值问题已知A>0,V>0,则(1) 如果积封是定值p,那么当且仅当时，x+y有最(简记：积定和最小).(2) 如果和x+y是定值s,那么当且仅当时，xy有(简记：和定积最大).自查自纠1. (2)a=b2. (2)2(3)W(4)N3. (l*=y小值是2$(2)x=y最大值是苓基础自测1-下列说法正确的是()A"NO，bO，则a2+b22ylabB-函数的最小值是24C函数./U）=cosx+万云，A-e0,的最小值等于4D-"q0且y>0"是+三22"的充分不必要条件y入答案：D.

3、解析:选项A中,“二人二0.1时不成立选项B中，当x二-1时=-2选项C中（）,£*时，Ovcosxv1,J（x）=cosx十c二兀最小值；选项D中,当j+李2时，需，>0即xy>0,故>0且y>0”为充分不必要条件.故选D.B-v=sinx+-2(0<x<)："siiu4D-y=ex4-2:2-（2020.烟台统考）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）厂/+5y=7?T4答案：D3-（2019-玉溪一中月考）己知yu）=：'_：T，则心）在上的最小值为（b4答案：D.解析：因为刀芸x2-2v十111，所以心)二一-一=x+?

4、-2>2-2=0,当且仅当a=?即x=lV人入时取等号.又1E?，所以为）在上的最小值为0.故选D.4 （2019北京高二期末）当且仅当x=时，函数y=4.r+-（A>0）取得最小值.-X答案：解析：由于.>0,由基本不等式可得y=4x+4料=4,当且仅当4x=%>0）,即当x号时，等号成立.故填§5 -（2019-河南高考模拟）若实数x，），满足2，+2'=1，则x+y的最大值是.答案：-2.解析：由题得2，+2'?2皿诲=2够二（当且仅当x二尸-1时取等号），所以所以所以2-2N2F,所以"），W-2.所以.3）、的最大值为-2.

5、故填一2.典例解析】题型一利用基本不等式求最值1. 已知a>0»/?>0，且4o+b=1，则ab的最大值为答案:土解析：解法一:因为“>0,Z;>0,4“十/?二1,所以1二女十bN2p4ub=4寸亦,当且仅当4“二则沥的最大值为土.2二土,当且仅当4a=b=,即“=b二即“二b二;时，等号成立.所以a济V，沥W%,4/+Z?解法二：因为4。十b=1,所以泌二”+，b=成寸等号成立,所以ab的最大值为土.故填土2.已知av=，则/U）=4x-2+厂、的最大值为44x5答案：1解析：因为X<j，所以5-4a>0,11/贝I/(x)=4a-2+=-5-

6、4x+十3W-久/(5.4x)+3=-2+3=1.4x-55-4幻j5-4x当且仅当5"土.，即E时，等号成立.故填L3.（2020届山东滨州高三9月期初考试）已知a>0>h>0，且2a+b=ub，则2a+b的最小值为.答案：8解析：因为“>O,b>0»由2"十/?二沥毛十g=1,故2a+b=（2ti+b）j-+=4十斗十4十4二8.当且仅当斗二£,艮叮，二2。=4瞧号成立.另解：因为“>OM>0,所以ab二M+8N2御,解得“N8,当且仅当2=b时等号成立.故填8.听课笔记利用基本不等式解决最值的关键是构造和为

7、定值或积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等"三个条件缺一不可.巩固迁移11. （2019济南联考）若“>0">0且2"+。=4，则出勺最小值为（）A.2B.5C.4D答案：B解析：因为“>0,阪0,故弟（当且仅当M3时取等号）.又因为2u+b=4,所以2皿茄W4nOv沥W2,所以土故土的最小值为?（当且仅当a=1,b=2时等号成立）.故选B.2. 设05

8、日，则函数），=顿3处）的最大值为.答案：|解析:y=4a（3-2x）=22x（3-2x）W2二;，当且仅当2x=3-2x,即x二&时，3,3、399等号成立因为京任0,-,所以函数4x（3-2、）0<x<-的最大值为§故填%3. （2019-潍坊调研）函数y=c广>0，再1）的图象恒过定点A，若点A在直线心+），一1=0上，且m为正数，则土+才的最小值为.答案：4解析：因为曲线y=恒过定点A,x=l时,y-1,所以A（l,1）.将A点代入直线方程mx+ny-1=0（/»>0,>0）,可得，十二1,所以5+H才+!”十）=2十土十骨2+

9、2忠W=4,当且仅当斜3且，十二1S0,>0）,即m=n=!时，取得等号故填4.题型二利用基本不等式求参数的值或范围1.（2019-黑龙江哈尔滨市第六中学期末）若对任意r>0，都有飞劣Wo恒成立，则实数人I人I1U的取值范围是4答案：4x44解析：因为Q0,所以当且仅当、=1时取等号），所以一二W二Af+12+1x44x4一4、4、%即一二的最大值为亍，即实数“的取值范围是了+8.故填了+8.Jx-+x+I。L37_3J2.已知函数/（a）=4a+t（a>0，">0）在x=3时取得最小值，则"=答案：36解析：因为x>0,“>0,所以.心

10、）二4x十?N2.4xg=4yit,当且仅当4x二%即4.二"时，./U）取得最小值.又因为.心）在x二3时取得最小值，所以“=4x32二36.故填36.听课笔记求解含参不等式的策略:观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围.对含参的不等式求范国问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：“WU）恒成立g，>_/U）max："<./3恒成立0，./（X）min：有解<=4/>7（X）nun：有解<7（A）max-巩固迁移2即A二10g3瞻时，等号

11、成立)，所以k+l<2瞻,即炊2瞻1.故选B.题型三利用基本不等式解决实际问题1.(南京市2018届高三9月学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有X人，他们加工完甲型装置所需时间为h小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为小时.设求处)的解析式，并写出其定义域;(2)当x等于多少时，./U)取得最小值？”一3(100-虻100-工心ec.9000,1000所以.冏="，2=-+丽顼解：因为曾迫，

12、30001000定义域为%I1WaW99,XGN*.9191(2加=1000"e)=i°x+(i°°f】(=100+业3+疝1X100X19(100X)v因为1WxW99,xEN所以,0,布A1UU.XhI9(100A)A/9(100A-)X所以疝二时一丽*'当且仅当即当'=75时取等号.答：当x=75时，.心)取得最小值.【听课笔记建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几

13、次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法.巩固迁移31.(2019-阜新市.高级中学高一月考)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x万元.为了使总运费与总库存费用之和最小，则x的值是.答案：20:寸*a二160,当x二20时取4()0(400、解析：由题意，总的赛用y-x4+4.r=4|-+xN4x2,“二”.故填20.2. 在城市.旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m?的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/nF，中间区域地面

14、硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100ic/m2.设矩形的长为x(m)，总造价为)，(元).(1) 将y表示为关于a的函数：(2) 当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.解：由矩形的长为x,得矩形的宛为三则中间区域的长为厂4,宛为迎-4,贝U定义域为(4,50),<200J+2OO2OO-(x-4)4,X则、=100(X-4)-4.IX(200)整理得18400+400x+，x£(4,50).x)Of)_当且仅当x=时取等号，即x=10V2G(4,50).所以当x=10V2?时，总造价最低，且为18400+800”元名师点睛】羯示规逢电结方法1-基本不等式的变式

15、和推广厂、a2-b2泌W-5IE2+1-"N2jaUc；.bcW7，等等.JJ对于以上各式，要明了其成立的条件和取“=''的条件.2在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项（必要时，还要考虑常数项）必须是正数：“二定"是指含变数的各项的和或积必须是常数：“三相等''是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.3 基本不等式的应用在于''定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小"，必要时可以通过变形（拆补）、配凑、常数代换、运算（指数、对数运算、平方等）构造“和”或

16、者“积”，使之为定值.4 求才+§型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.5 基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式"转化为“积式”以及将“枳式”转化为"和式''的放缩功能，常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点.课时作业】尸+屏1-（2019-孝感调研）“非>0"是“沥"的（

17、A-充分不必要条件B必要不充分条件C-充要条件D-既不充分也不必要条件答案:Aa2+b2解析：由u>b>0,可知a2+b2>2xib,充分性成AZ,由沥一-，可知辱b,s/，ER,故必要性不成立.故选A.2-（2019河北高三月考）已知函数>U）=log2（百一a），若对任意的正数u，b满足fla）31+A3/?-l）=O，既;+片的最小值为（）A-6B-8C-12D-24答案：C解析：因为H-Qa/P-xNx-aO,所以定义域为，因为.A-X）=10g2（寸十对，所以M=顼x）,则_/u）为奇函数.又x>o时,fix)=log?I单调递臧710)=0,7U)为奇

18、函数，所以/U)为减函数,yjx2+1+x因为.&)十.R3b-1)=0，所以.A")=-R3b-1)=J-3b)9则“=1-3b,即a+3b=l9所以3十卜6+!）（"+3。）二咨十；十6,9ba19ba31r,.ii,L因为云扑22云xE=6,所以;十砖中且仅当=亍。=部等亏成立J,故选C.3-（2020德州一模）几何原本卷2的几何代数法（用几何研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”现有图形如图：AB是半圆。的直径,点P在半圆圆周上，PQ2AB于点Q,设AQ=u.BQ=b,

19、直接比较线段OP和线段PQ的长度可以完成的“无字证明”为()b+mbA>(b>a>0m>0)a+maBy/(r+b+b)(a>0,h>0)2CWyfab(a>0,b>0)a+bD七W.n(a>0,b>0)2答案：D解析：.此题本质，实为基本不等式的几何证明法，故选A.1o4-（2019衡水中学质检）正数bb满足8+芸=1，若不等式a+b-x24x+S-m对任意实数X恒成立，则实数，的取值范围是（）A3，+oo）B-（00»3C-（00，6D6，+oo）答案：D19所以a+b=(a+b)解析：因为“>0,b>0,+

20、=1,h9"、5一lb9a=10+-+yl0+2-/-y=16,当且仅当卜即，即“二4,g12时取等号.依题意，162-a*2十4x十18-,即a2-4.r-2>-m对任意实数*恒成立.又x2-4x-2=（x-2）2-6>-6,所以-6N-m,即mN6.故选D.5 -（2019-宜春昌黎实验学校高一月考）关于a-的方程9、+（“一2）3，+4=0有解，则实数u的取值范围是（）A（2，+co）B（00»4）C（8，2D4，+qc）答案：C9'十4（4、解析：因为9,十（"-2）3"+4=0,所以（“-2）3”=-（9T+4）,所以a-2

21、=-y=-3v+4W-4（当且仅当3"二歹，即x=log32时，等号成立），故“W-2,实数的取值范围是（8,-2.故选C.6 （2019湖南师大附中模拟）已知ABC的而积为m，内切圆半径也为小，若A8C的三边长分别为“，b，c，则盛;+甲的最小值为（）A-2B2+,C-4D-2+2-72答案：D解析：因为aABC的面积为皿内切圆半径也为叽所以*"+b+c）xm=也,所以t/+Z?+c=2»4d+b2（a+h+c）a+byca+b所以-+二=-十二=2+十二N2十2皿，a+bca+bca+bc当且仅当"十人二皿。，即c=2皿-2时，等号成立，4a+h-所

22、以一十二一的最小值为2十2皿.故选D.a+hc7 多选题】（2020海南联考&编）下列说法错误的是（）A若sb£R，则-+=2ababB若“<0,则a+>2yit/.=4C若“，/?C(0,+8),则Igu十lgbN2瑚galgbD若aR，则2"十2或N2j2“.2-“=2答案：ABC.8【多选题】（2019-海南东方市民族中学高一期中）己知"，b均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（）,11)、B(a+b)IN4a2+b2cEI。b)2ab.fD(yab答案：AD.解析：对于A,a+h+4,当且仅当""时取等号；对于B&

23、#187;(a+b)-a-二2十亍十一十ha当且仅当a=b=a2+b2（a+b）2（a+b）2对于D,当"二!，人二!时，W1成立.对于G顽-一二克-=“十4当且仅当"=b时取等号；°>此时当a=b=时W+b综上知，选项A,D中的不等式不一定成立.故选AD.9-（2019-河南八校测评）已知等差数列"中顷3=7，=19，S”为数列“的前项和，则涕的最小值为答案:3解析：因为"3=7,“9=19-"319-7所以1,=1=2,所以(侦=。3+(n-3)d=7+2(-3)二2十1,.(3十2十1)所以Sn=n(n十2),Sn+10n

24、(n+2)+10i=2(+D+2/?+212X9(n+1)x/?+1二3,Sn+10当且仅当二2时取等号.故的最小值为3.故填3.<如十13310（2019上海模拟）设x，y均为正实数，且W+k=l，则寸的最小值为ZIXLiV答案：1633解析：T2十二1可化为xy=8+x+y,因为x,y均为正实数所以xy=8+x+y8+2+x2+y（当且仅当x=y时等号成立），即-2yxy-80>解得辰？4,即xyN16,故心的最小值为16.故填16.211 -（2019大连一模）若/>">1且31ogflZ?+61ogw/=11,则十亡|的最小值是答案：2皿十1解析：12

25、12 -（2019武汉期末）若“>0，加>0,且十2b4=0,则汕的最大值为，一十一ah的最小值为.9答案：24解析：13 -已知a>0»v>0，且2r+5y=20.<<（1）求z/=lg,v+lgv的最大值：12（2）求;+§的最小值.解：（1）因为.v>0fv>0>所以由基本不等式，得2.V十5）92寸10»因为2x+5v=20,所以2寸Oxy丫二5,即时，等号成立此时个有最大值10.y=22a+5v=20,W20,xyWlO,当且仅当，2x=5v>所以W=Igx+lgy=lg(xy)WlglO=1.

26、贝U当x=5,y=2时，"=Igx十Igy有最大值1.因为a>0,y>0,所以§十弟=g+号）与窘综（4+乎+2x+5y=20,二|,当且仅当剪也即122时，等号成立.所以卜耒的最小值为§14-已知x>0，>>0，且2工+8)，一”=0，求：(V)xy的最小值：(2)x+y的最小值.82解：(1)由十8y得-十二二1,又x>0ty>0»y当且仅当X=4v>即人=16,y=4时等号成翌(2)方¥:由2a+8v-a*>*=0,得*二,y-2因为x>0，所以)，>2,p!jx+v=y+

27、-=(y-2)+-+10>18,y-2y-2当且仅当)-2=4即尸6,E2时等号成立.y-2QO方法二：由2x+8y-=0,得十日二1,则x+yJ邑+Z|(x十y)=10+火十业210+2、巨施=18,当且仅当y二6,x=12时等号xy)')'xVJa-成立.15-(2019-西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元.(1) 若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2) 若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案： 年平均利润最大时，以46万元出售该工作室； 纯利润总和

28、最大时，以10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案？解：设年获取纯利润为v万元.年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列，年付出的装修费之和为xl以(-1)十5'2=岸，又投资81万元年共收入租金30万元，所以利润y=30n-n2-81(nN*).令y>0,艮P30n-n2-81>0,所以n2-30n+81<0,解得3v?<27(CN)，所以从第4年开始获取纯利润._3081-小qi,81、屈(2)方案:年平均利润t=-二30-亍-=30-|云+W30-2寸普=12(当Q1且仅当云二n,即二9时取等号)，所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室

29、共获利润12x9+46=154(万元).方案:纯利润总和y=30/1-n2-81=-(n-15)2+144(nGN*)>当二15时，纯?IJ润总和最大，为144万元，所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144十10=154(万元)，两种方案盈利相同，但方案时间E撤短，所以应选择方案.附加题1.(宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模)点M(x»y)在曲线C：A-24x+y2-21=0上运动»t=x2+y2+2x2y50a，且t的最大值为b>若a>bWR，则日刁+的最小值为.解：曲线C可整理为：(x-2F十矿二25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆，/=a2+12x-2y-150-6/=(x+6)2+(>*-6)2-222-a,设d=yj(x+6)2+(>'-6)2,贝山表示圆C上的点到(-6,6)的距离则dnm二V(2十6)2十(0-6)2+5=15,所以，max二152-222-a-b,整理得，a+b=4.crnl11if11t,ba+A所以+b=4+：|("+1)十二彳、1+1a+1”气"+1b)4a+bJb"十1b"1b"+1又十刁丁二2(当且仅当二p,即“二1,/八2时取等号).a+1