第一章集合与函数概念（规律方法与数学思想）

1、第一章集合与函数概念§1.1集合【入门向导】渔民与数学家的故事一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗？解读集合的有关概念一、注意集合的概念与“全体”的区别集合的概念是现代数学中不

2、定义的原始概念集合的概念虽然也含有“全体”的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合例如，“我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合，而“我校高一学生中所有身高高于170厘米的同学的全体”则能构成集合二、加强对集合元素的三大特性的理解1确定性：对于一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子”，即集合中的元素是不确定的2互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素在解题中尤

3、其要注意对结果进行检验，不能忽视例1 已知x21,0，x，求实数x的值解若x20，则x0，此时集合为1,0,0，不符合集合中元素的互异性，舍去若x21，则x±1.当x1时，集合为1,0,1，舍去；当x1时，集合为1,0，1，符合若x2x，则x0或x1，不符合互异性，都舍去综上可知：x1.3无序性：集合是一个整体，集合中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合a，b，c，b，a，c，c，b，a都是同一集合为帮助同学们记忆，特总结口诀如下：集合平常很常用，数学概念各不同；理解集合并不难，三个要素是关键；元素确定与互异，还有无序要牢记三、注重对空集概念的理解一般地，我们把不含任何元

4、素的集合叫做空集，记作.空集是特殊的集合，不含有任何元素，规定它是有限集注意空集和集合0是不同的，是不含任何元素的集合，而0表示只含有一个元素“0”的集合和也是不一样的，是不含任何元素的集合，表示只含有一个字母“”的集合，也可以看作由作为元素构成的集合四、正确理解集合与集合的关系集合与集合之间是包含关系，它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系包含关系有三种：子集、真子集和相等1“集合A是集合B的子集”，意思是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，但不能把“集合A是集合B的子集”理解为集合A是由集合B中部分元素组成的集合，因为空集和集合B都是集合B的子集2“集合A是集合B的真子集

5、”有两层含义，一是集合A是集合B的子集，二是集合A与集合B不相等，即集合B中至少有一个元素不属于集合A.3要证明AB，只需要证明AB且BA成立即可即可设任意x0A，证明x0B从而得出AB.又设任意y0B，证明y0A从而得到BA，进而得到AB.例2 已知集合Ax|xk，kZ，Bx|xk，kZ，判断集合A与集合B是否相等可用列举法解之解即A，B，观察可知，AB.4若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集集合易错点剖析一、符号意义不清致错例3 已知集合X0,1，Yx|xX，那么下列说法正确的是()AX是Y的子集BX是Y的真子集CY是X的真子集 DX是Y的元

6、素错解B剖析集合中符号意义必须清楚正解因为Yx|xX，0，1，0,1，所以XY.故选D.二、代表元素意义不清致错例4 集合Ay|yx2，xR，B(x，y)|yx2，xR，则AB()A(1,1)，(2,4) B(1,1)C(2,4) D错解由得或故选A.剖析导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集正解D三、忽视集合元素的互异性致错例5 已知集合A2,3，a24a2，B0,7，a24a2,2a，且AB3,7，求集合B.错解由AB3,7得a24a27

7、，解得a1或a5.当a1时，集合B0,7,3,1；当a5时，集合B0,7,3综上知集合B0,7,3,1或B0,7,3剖析由题设条件知集合B中有四个元素，当集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解正解应将当a5时的集合B0,7,3舍去，故集合B0,7,3,1四、忽视空集致错例6 已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围错解由BA，得，解得2m3.剖析上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA，忽略了集合为的可能而漏掉解因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现的可能正解Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA.

8、若B，则m1>2m1，解得m<2，此时有BA；若B，则m12m1，即m2，由BA，得，解得2m3.由得m3.实数m的取值范围是m|m3.集合中的数学思想一、分类讨论思想分类讨论是高中学习中一种重要的数学思想方法，也是一种基本的解题策略，是高考的重点与热点，也是高考的难点“分类讨论”的数学思想的实质是把整体问题转化为局部问题进行解决，通俗地讲就是“化整为零，各个击破”的解题手段，或者说不同情况要采取不同的方法去对待，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决在集合这一部分中，常见的分类讨论题型有以下几种：1根据集合元素特性分类讨论在分析集合所含元素的情况时，常常会根据集合中的元素特性分类

9、讨论，在解题中尤其要注意对结果进行检验例1 设集合A2，a2a2,1a，若4A，求a的值解由集合元素的确定性知a2a24或1a4.(1)解a2a24得a1或a2.a1时，A2,4,2不满足集合中元素的互异性，故a1舍去；a2时，A2,4，1满足集合中元素的互异性，故a2满足要求(2)解1a4得a3，此时A2,4,14满足集合中元素的互异性，故a2或a3即为所求2根据空集的特性分类讨论空集是集合中一类特殊的集合，应特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况因此在处理集合问题时，对未知集合进行空集与非空集合的讨论是十分重要的例2 已知Ax|3x5，Bx|m1x2m1，问m为何实数时，AB

10、成立分析此题已知AB，需按B和B进行分类讨论，同时还要注意m1和2m1的大小关系解(1)当B时，AB成立，此时m1>2m1，即m<2.(2)当B时，欲使AB成立，实数m应满足或解得m>4.故满足条件的m的取值范围是m<2或m>4.3根据子集的性质分类讨论含参数的集合问题，这类问题是集合部分中最常见的分类讨论题解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系，常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论例3 已知集合Ax|x23x20，Bx|x2axa10且ABA，求实数a的值分析解此题可先由ABA，得出BA，然后对集合B中的元素个数进行分类讨论解Ax|x23x201,2由A

11、BA，得BA(1)B时，a24a4<0这样的a不存在；(2)B1时，a2；(3)当B2时，这样的a不存在；(4)当B1,2时，a3.由(1)(2)(3)(4)得：a2或a3.分类讨论的数学思想是解集合题经常会遇到的一种思想方法，分类要恰当、合理，做到“不重不漏”解题时应特别注意对集合元素的特性的检验，特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况含参数的集合问题，注意把集合的运算关系转化为包含关系，克服分类讨论中的主观性和盲目性二、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性

12、、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题集合中常用的方法是数轴法和Venn图法1运用数轴例4 已知集合Ax|x<1，或x1，Bx|2a<x<a1，a<1，BA，求实数a的取值范围解a<1，2a<a1，B.画出数轴分析，如图所示由图知要使BA，需2a1或a11，即a或a2.又a<1，实数a的取值范围是(，2，1)点评解此类题要注意是否包括端点临界值2运用Venn图例5 已知全集Ux|x2<50，xN，L(UM)1,6，M(UL)2,3，U(ML)0,5，求集合M和L.解第一步：求得全集Ux|x2<50

13、，xN0,1,2,3,4,5,6,7；第二步：将L(UM)1,6，M(UL)2,3，U(ML)0,5中的元素在Venn图中依次定位；第三步：将元素4,7定位；第四步：根据图中的元素位置，得集合M2,3,4,7，集合L1,4,6,7点评集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解例6 高一(2)班共有50名同学，参加物理竞赛的同学有36名，参加数学竞赛的同学有39名，且已知有5名同学两科竞赛都没有参加，问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有多少名？解设参加物理竞赛的同学组成集合A，参加数学竞赛的同学组成集合B，并设

14、两科竞赛都参加的同学组成的集合AB中有x个元素，则各部分人数分布如图所示，则(36x)x(39x)550，解得x30，所以39x9，即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有9名点评应熟知集合AB、A(UB)、(UA)B、(UA)(UB)分别对应Venn图中的哪部分区域三、等价转化思想在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“ABA”、“ABB”、“AB”等都是同一含义另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路例7 已知U(x，y)|

15、xR，yR，A(x，y)|xy1，B，求(UB)A.解集合U(x，y)|xR，yR是平面上所有点的集合；集合A是直线xy1上的点的集合；集合B是直线xy1上的点的集合，但要除去点(1,0)；而UB表示点(1,0)以及平面上除了直线xy1上的所有点以外的点，所以(UB)A对应的元素为(1,0)，即(UB)A(1,0)点评在相互转化的过程中要注意转化的等价性四、特殊化思想特殊化思想是一种重要的数学思想，对于许多较抽象的集合问题，灵活地取一些符合条件的特殊集合，往往能起到化繁为简、化难为易的功效另外，特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用，相当于增加题设条件，可使问题简单化例8 设集合M

16、x|x，kZ，Nx|x，kZ，则()AMNBM是N的真子集CN是M的真子集 DMN答案B解析由N，而D/M，排除A，C；又N，且M，再排除D.故选B.点评很多选择题都可以取特殊值来迅速求解五、补集思想已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A.补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能会“柳暗花明”我们平日说的“正难则反”这一策略就是对补集思想的应用，是指当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现例9 已知集合Ax|x2

17、4mx2m60，Bx|x<0，若AB，求实数m的取值范围分析AB说明集合A是由方程x24mx2m60的实根组成的非空集合，并且方程的根有可能有：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况讨论很麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用补集思想，即先由0，求出全集U，然后求出两根均为非负时m的范围，然后利用“补集”求解解设全集Um|(4m)24(2m6)0，若方程x24mx2m60的两根x1，x2均为非负，则m.在全集U中补集为m|m1实数m的取值范围为m|m1点评(1)解0，即16m28m240，也就是2m2m30时，可以先画出二次函数f(m)2m2m3的图象，由图象易得

18、m的取值范围(2)本题运用了“补集思想”对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决，这就是补集思想的应用，也是处理问题的间接化原则的体现.集合问题如何考？集合是高考每年必考的知识点之一对它的考查主要集中于集合间的关系和运算、集合语言的理解与应用；同时由于集合的基础性和工具性作用，又常以集合为工具考查集合语言和集合思想的应用，命制一些新背景的问题1(江西高考改编)定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB设A1,2，B0,2，则集合A*B的所有元素之和为_解析

19、zxy，xA，yB，z的取值有：1×00,1×22,2×00,2×24，故A*B0,2,4集合A*B的所有元素之和为：0246.答案6点评本题主要考查了集合的基本性质，如元素的确定性2(湖南高考)设全集UMN1,2,3,4,5，MUN2,4，则N()A1,2,3 B1,3,5 C1,4,5 D2,3,4解析由MUN2,4可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N1,3,5答案B3(湖北高考)已知U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B2,4,5，则 U(AB)()A6,8 B5,7C4,6,7 D1,3,5,6,8解析AB1

20、,2,3,4,5,7，U(AB)6,8答案A4(广州模拟)设集合A0,1，By|x2y21，xA，则A与B的关系是()AAB BAB CAB DAB分析由于集合B中的x是A中的元素，根据此条件求出集合B，再判断集合A、B的关系解析由已知，A0,1，By|x2y21，xA1,0,1所以AB.答案B点评解决本题，首先要读懂符号代表的含义由于集合B中的元素x属于集合A，故x可为0或1；再将x的值代入集合B，解得集合B；最后判断集合A、B的关系5(日照调研)已知集合P3,4,5，集合Q4,5,6,7，定义P*Q(a，b)|aP，bQ，则P*Q中的元素的个数是_分析根据新定义将a、b依次代入，即可得到新

21、集合P*Q，从而得解解析新定义集合P*Q的特征是平面上的点集，横坐标为集合P中的元素，而纵坐标为集合Q中的元素，故P*Q(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，从而可知P*Q中元素的个数为12.答案12点评本题是一个运算创新型问题，解答此类问题的关键是理解新运算，并找到新运算与已学运算的结合点，如本题定义的新运算的实质就是由两个实数集重新组合成一个点集6若集合A1，A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同

22、一种分拆，则集合A1,2,3的不同分拆种数是()A27 B26 C9 D8分析所谓“分拆”不过是并集的另一种说法，关键是要分类准确解析A1时，A21,2,3，只有1种分拆；A1是单元素集时(有3种可能)，则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况(如A11时，A22,3或A21,2,3)，这样A1是单元素集时的分拆有6种；A1是两个元素的集合时(有3种可能)，则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素(如A11,2时，A23或A21,3或A22,3或A21,2,3)，这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种；A1是三个元素的集

23、合时(只有1种)，则A2可能包含0,1,2或3个元素(即A11,2,3时，A2可以是集合1,2,3的任意一个子集)，这样A11,2,3时的分拆有238种所以集合A1,2,3的不同分拆的种数是1612827.答案A7定义集合运算：ABz|zxy(xy)，xA，yB设集合A0,1，B2,3，则集合AB的所有元素之和为_解析(1)当x0时，无论y为何值，都有z0；(2)当x1，y2时，由题意z6；(3)当x1，y3时，由题意z12，故集合AB0,6,12，元素之和为061218.答案18点评本题给出的新运算“”，是同学们从未见过的集合运算，要求同学们能按其给出的新运算作答，考查同学们的观察能力及应用

24、新信息分析问题、解决问题的能力8定义集合A和B的运算ABx|xA，且xD/B写出含有运算符号“”，“”，“”，且对集合A，B都成立的一个等式：_.解析如下图，Venn图中阴影部分可表示为：A(AB)；再结合新定义及并集概念，阴影部分也可表示为：(AB)B.显然可填：A(AB)(AB)B.另外也可填：B(AB)(AB)A等答案A(AB)(AB)BB(AB)(AB)A点评这是一道开放题，并且定义了新运算，对同学们来说有一定的难度，但是同学们只要认真审题，灵活运用题目所给的信息，选择恰当的方法，解答此题就显得轻而易举了学习建议(1)集合是学习高中数学的开始，若想学好、应用好这部分知识，就要花大力气理

25、解基本概念、基本性质，掌握基本表示方法(2)学习时同学们要理解集合运算的定义，掌握集合运算的方法，还要善于借助图形工具解答问题(3)学习时同学们要搞清两个集合有几种关系，各种关系的定义要牢记另外，还要明确集合的关系是通过元素来反映的，所以要养成从元素角度研究集合关系的好习惯(4)数学中的创新题是数学试题中的一支奇葩，它们往往以同学们现有的知识为出发点，创新概念和运算，其特点是“新面目、老方法”，考查更接近知识本质基于此，在学习时，对有关的概念一定要理解透彻，才能以不变应万变§1.2函数及其表示【入门向导】“f”的自述我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字

26、母，在数学王国里我的作用可大了在数学王国里，我代表一种对应关系，如果两个集合之间要形成一种特殊的对应映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧，“f：AB”就是我帮忙搞定的集合A到集合B的映射我还是一个了不起的魔术师呢，我拿一个篮子()往里装一个实数，就可以按我所代表的对应关系变出一个新的数来，如果我代表减2，就把实数x变成x2，即f(x)x2；如果我代表先加绝对值，再加2，最后再变为相反数，那么我会把2变为f(2)(|2|2)4.我出生于英国，来自于“function”，“function”的中文意思是“函数”，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑：(1)可以把我看成是一种“对

27、应关系”，也就是一种算法的体现，这里f(x)表示的意思是对“x”施行算法“f”之后的结果f(x)x1就表示对“x”施行变换或算法“f”，使x变成x1.但要注意，“x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等(2)yf(x)也可以看成是关于x，y的一个方程，在这里“f”变成了一个关系的模式如f(x)x22x3，则yf(x2)可表示为yx42x23，也可表示为方程x42x2y30.(3)通过我自身所表示的对应关系，把两个量或数联系起来，可以表示函数yf(x)表示x的函数，x是自变量，y为函数，f表示从x到y的对应关系(4)函数符号“yf(x)”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是

28、表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友帮你理解函数的概念函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记为yf(x)，xA.由所有的自变量x组成的集合A叫做函数yf(x)

29、的定义域，由所有的函数值y组成的集合C称为函数的值域解析式yf(x)表示对于集合A中的任意一个x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此f是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念原因在于这一概念的抽象性如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用(1)函数是个“信使”“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清函数也是这

30、样，每个自变量x都要按一定的对应关系与确定的y一一对应自变量x就是“一封信”，它被对应关系这个“信使”送到确定的“收信人”y手里(2)函数是个“产品加工厂”工厂里把原料按规格加工成不同的产品函数就是把自变量x按“规格”对应关系“加工”成不同产品y.它也像“数字发生器”，把“原料”自变量x投入到不同的“数字发生器”对应关系中就会得到不同的“产物”因变量y.(3)函数是“封建社会的婚姻”在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”同样函数中多个自变量x可对应一个函数y，即“一夫多妻”，但是一个“妇女”自变量x不能找多个“婆家”y值有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？其实，只要

31、我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了函数概念常见题型函数概念主要围绕其三要素(定义域、值域、对应关系)进行考查，常见题型有以下几类：一、判断一个x，y的关系式能否表示成y为x的函数例1 下列各式是否表示y为x的函数？若是，写出函数的解析式(1)xy3(x0)；(2)x2y21(x(1,0)；(3)x3y31.解要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，均有惟一的y值与之对应(1)满足要求，可表示成y为x的函数y(x0)(2)不满足，因为对于(1,0内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数(3)满足要求，可表示为y.二、判断两函数是否表示

32、同一函数例2 判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由(1)f(x)，g(x)x0；(2)f(x)·，g(x).解(1)中f(x)1(x0)，g(x)x01(x0)，其定义域均为x|x0且对应关系也相同，故是同一函数(2)中f(x)的定义域为1，)，而g(x)的定义域为(，11，)，其定义域不同，故不是同一函数三、根据条件求f(a)或fg(x)的表达式例3 已知f(x)求ff(1)及f(x21)分析已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特别注意定义域的制约作用解f(1)(1)12，则ff(1)f(2)2215.因为x21>0，则

33、f(x21)(x21)21x42x22.四、求函数的定义域与值域例4 求函数y的定义域分析我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：偶次根式的被开方数为非负数；分式的分母不能为零；幂指数为零时，底数不能为零；自变量本身的实际意义等解根据题意得解之得x2且x3.所以函数的定义域为x|x2且x3例5 已知yf(x1)的定义域为1,2，求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x3)；(3)f(x2)分析本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解解(1)f(x1)的定义域为1,2，即1x2，2x13，即f(x)的定义域为2,3(2)f(x)的定义域为2,3，2x33.5x6.

34、即f(x3)的定义域为5,6(3)f(x)的定义域为2,3，2x23，x或x，即f(x2)的定义域为，点评(1)若yf(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域是ag(x)b的解集；(2)已知f(g(x)的定义域为a，b，则当xa，b时g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域例6 下列函数中，值域为(0，)的是()AyBy2x1(x>0)Cyx2x1Dy分析求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可解析A由于x23x1(x)2，所以y的值域为0，)；By2x1函数值y随着x增大而增大，所以y2x1(x>0)值域为(1，)；Cyx2x1(x)2，则yx2

35、x1的值域为，)；Dy，x0，x2>0，则y>0.故只有选项D正确答案D学习“函数的表示方法”应注意的几个细节函数有三种常用的表示法：列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：(1)要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，否则定义域及值域都可能发生变化(2)已知函数类型，求函数解析式最常用方法是待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径(3)换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“

36、元”的范围，即定义域问题(4)学习分段函数时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑(5)解决抽象函数的有关问题的基本方法是：给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定(6)理解映射的定义，进一步理解函数的实质两个非空数集间的一种映射认识我的“三古怪”映射我叫映射，是两个集合间元素与元素的对应关系我本身由三部分构成，即“原象的集合A”、“象的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”我的脾气有点古

37、怪，下面介绍一下我自己例7 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射(1)已知集合A1,2,3,4，且集合B3,4,5,6,7,8,9，对应关系为f：x2x1；(2)集合AZ，BN*，对应关系f：ab(a1)2；(3)已知集合A0,1,2,4，集合B1,4,9,25，f：ab(a1)2.分析判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象解(1)A1,2,3,4的元素在对应关系f：x2x1的作用下在B3,4,5,6,7,8,9中都能找到唯一的象，故此对应为映射同理可知(3)也是映射(2)中集合AZ的元素“1”在集合BN*中找不到象，故不是映射点评同学们在判

38、断两个集合间的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系f的作用下是否都有象，再看原象所对应的象是否唯一例8 判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由分析这是一道图表信息题要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息解图(1)中元素b有两个象，故不是映射；图(2)中元素d没有象，故不是映射；而图(3)中元素d是象，它可以没有原象，故是映射图(3)给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的点评在判断图表信息给出的对应关系是否是映射时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断例9

39、集合Mx|0x2，Ny|0y<1，下列选项中表示从M到N的函数的是()Af：xyx Bf：xy2xCf：xyx Df：xyx分析选项从表面上看好象都是初中所学的一次函数，但函数的前提是映射，所以应先判断它们是否是映射解析A选项中集合M中的元素“2”在集合N中没有象，故A选项不是映射，就更谈不上是函数了；同理可得B项和D项也不是函数故选C.答案C点评判断一个对应是不是函数时，同学们首先应判断对应是不是映射，因为要是函数先得是映射同学们现在看清了我这三个“古怪”的脾气了吗？以后做题时可要注意，免得我给你们添麻烦！函数及其表示易错点剖析一、函数定义域中的误区例10 已知函数f(3x1)的定义域

40、为1,7，求函数f(x)的定义域错解欲求f(x)的定义域，就是求x的取值范围因为f(3x1)的定义域为1,7，即13x17，解得0x2.所以f(x)的定义域为0,2剖析定义域是自变量的取值范围，而f(3x1)的自变量是x，即1x7.而求f(x)的定义域即是求f(x)中x的取值范围正解令3x1t，则4t22.即f(t)中，t4,22故f(x)的定义域为4,22例11 求函数yx的值域错解令t，则xt21，原函数表达式变为yt2t1.因为t2t1(t)2，即y，故所求函数yx的值域为，)剖析这是运用“换元法”解答这类问题的常见错误，错因在于忽视了换元后函数的定义域发生了变化正解令t，则xt21(t

41、0)原函数表达式变为yt2t1(t0)因为t0，所以y1.即所求函数yx的值域为1，)二、函数图象中的误区例12 设集合Mx|0x2，集合Ny|0y2，给出下列四个图象，其中能表示集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2D3错解函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D.剖析不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应正解图(1)，定义域M中的(1,2部分没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)，定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)，y(2,3部分不是集合N的子集，或者说没有对应的数；图(4)，在定义域的(0,2

42、上任给一个元素，值域的(0,2上有两个元素和它对应，因此不惟一；故只有图(2)正确答案为B.三、求值域时的误区确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系，在此前提下，函数值也随之确定因此，在求函数的值域时，必须注意函数的定义域例13 求函数yx22x，x1,2的值域错解yx22x(x1)21，因为(x1)20，所以y(x1)211.从而知，函数yx22x的值域为1，)剖析这里函数的定义域有限制，即1x2，上述解法只对二次函数yax2bxc(a>0)在定义域为实数集时适用正解yx22x(x1)21，x1,2由图象知，当1x<1时，y随x的增大而减小；当1x2时，y随x的增大而增大并

43、且当x1时，y取最大值3；当x1时，y取最小值1.从而知1y3，即函数yx22x，x1,2的值域是1,3.函数解析式求解的常用方法一、换元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整体思想，可把f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代解令t1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)点评将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法二、待定系数法例2

44、 已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.点评若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f(x)解2f(x)f()3x，用去代换式中的x得2f()f(x).由×2得f(x)2x，x0.点评方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的四、赋值法例4 设f(x)是R上的函数，且满足f

45、(0)1，并且对任意实数x，y，有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式解令xy得f(0)f(x)x(2xx1)1，所以f(x)x2x1.点评有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决分段函数题型归纳有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的

46、是一个函数解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化一、分段函数的求值例5 已知函数f(x)则fff(2)_.解析2<1，f(2)2×(2)31.又111，ff(2)f(1)(1)21.又111，fff(2)f(1)121.答案1点评求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值二、求分段函数的解析式例6 已知函数f(x)求f(x1)解当x1<0即x<1时，f(x1)；当x10即x1时，f(x

47、1)(x1)2.所以f(x1)三、分段函数的图象例7 函数f(x)x的图象是()解析因为f(x)x故选C.答案C点评本例为已知函数的解析式，确定选择分段函数的图象问题四、分段函数的实际应用例8 从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家到该公园的距离都是2 km，甲10点钟出发前往乙家，如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系依图象回答下列问题：(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？(2)甲到达乙家是几点钟？(3)写出函数yf(x)的解析式解(1)由图所知，甲在公园休息了，休息了10分钟(2)甲到达乙家是11点(3)函数yf(x)是分段函数

48、，当0x30时，设yk1x，将(30,2)代入，得k1.当30<x40时，y2.当40<x60时，设yk2xb.将(60,4)，(40,2)代入，得k2，b2.所以f(x)函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例9 设f(x)x2，在同一坐标系中画出：(1)yf(x)，yf(x1)和yf(x1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)yf(x)，yf(x)1和yf(x)1的图象，并观察三个函数图象的关系解(1)如图(2)如图点评观察图象得：yf(x1)的图象可由yf(x)的图象向左平移1个单位长度得到；yf(x1)的图象可由yf(x

49、)的图象向右平移1个单位长度得到；yf(x)1的图象可由yf(x)的图象向上平移1个单位长度得到；yf(x)1的图象可由yf(x)的图象向下平移1个单位长度得到二、对称变换例10 设f(x)x1，在同一坐标系中画出yf(x)和yf(x)的图象，并观察两个函数图象的关系解画出yf(x)x1与yf(x)x1的图象如图所示由图象可得函数yx1与yx1的图象关于y轴对称点评函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称；函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称；函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于原点对称三、翻折变换例11 设f(x)x1，在不同的坐标系中画出yf(x)和y|f(x

50、)|的图象，并观察两个函数图象的关系解yf(x)的图象如图1所示，y|f(x)|的图象如图2所示点评要得到y|f(x)|的图象，把yf(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变例12 设f(x)x1，在不同的坐标系中画出yf(x)和yf(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系解如下图所示点评要得到yf(|x|)的图象，先把yf(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可与函数图象有关的问题例13 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个解析对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度h和时间t之间的函数关系