中学物理学中的数学问题(上）

1、1中学物理学中的数学问题中学物理学中的数学问题目录引言：中学数学与物理关系一窥3第一章 比例、方程与方程组在中学物理学中的应用举例61 比例法在中学物理学中的应用62 力学中的方程与方程组应用举例93 稳恒电流中方程与方程组问题174 电磁场中的方程与方程组应用举例19第二章 函数的性质在中学物理学中的应用221 函数的定义域在物理学研究中的作用222 函数的值域在中学物理学中的应用273 一次函数在中学物理学中的应用284 线性回归在中学物理学中的应用325 二次函数与一元二次方程在中学物理学中的应用336 分段函数在中学物理学中的应用397 函数的单调性在中学物理学应用及其局限性428 函

2、数的周期性在中学物理学中的应用46第三章 导数和定积分在中学物理学中的应用501 利用导数求某些物理量的变化率问题502 利用导数求某些物理量的最值问题563 定积分及其在中学物理学中的应用(选学)624 极限思想在中学物理学中的应用(选学)66第四章 不等式在中学物理学中的应用721 不等式的解法在中学物理学中的应用722 利用均值不等式求最值在中学物理学中的应用773 判别式在中学物理学中的应用834 线性规划在中学物理学中的应用（选学）87第五章 三角函数在中学物理学中的应用871 锐角三角函数在中学物理学中的应用882 同角的三角函数之间的关系在中学物理学中的应用933 三角函数的单调

3、性在中学物理学的应用1004 三角函数的值域在物理学中的应用1035 三角函数的图象在中学物理学中的应用1066 反三角函数在中学物理学中的运用1097 两角和与差的三角函数公式在物理学中的应用1168 辅助角公式在中学物理学中的应用1199 二倍角公式在物理学中的应用12310 半角公式在中学物理学中的应用126211 积化和差、和差化积公式的应用（选学）12812 正弦定理和余弦定理在中学物理学中的应用13013 三角函数在几何光学中的应用1383引言引言-中学数学与物理关系一窥中学数学与物理关系一窥数学作为一门工具，在高中物理的学习中时时存在数学方法的影子，在解题的过程中，除了面对物理知

4、识的考察和理解外，可能也面临着数学方法、数学知识的考验，而有时数学方法的使用对解题能力的提升起到关键的作用.新的高中物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求： 一是理解能力， 二是推理能力， 三是分析综合能力， 四是应用数学知识处理物理问题的能力，五是实验能力，尤其是创新实验能力.其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是：要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式， 进行相关推导和求解， 并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析.物理学利用种种数学表述手段为理论和实践开辟道路、使物理学的结论可随时加以严格检验. 华东师大

5、朱鈜雄教授说得好： “与欧几里得几何学的公理不同的是，与几何学相比，物理学有着附加的约束：它必须与真实世界相符。 ”高中物理重视定量分析，要用到数学方面的知识，数学基础的好坏直接影响着物理成绩的高低.比如在谈到力的正交分解时要涉及到平面直角坐标系和三角函数的知识.而匀变速直线运动的规律中就是一次函数和二次函数及有关图象的斜率问题.还有研究电磁感应的感应电流和感应电压时， 也经常用函数图象来表示，例如在力学中，我们可以从不同角度来研究力的作用效应，每种效应分别对应相应的规律，这便构成了力学的三条主线.力的瞬时作用效应，是使物体产生相应的加速度，对应规律牛顿第二定律 F=ma 的数学表达式.力的时

6、间积累效应，是使物体的动量发生改变，对应规律动量定理Ft=P-P 的数学表达式.力的空间积累效应，是使物体的动能发生改变，对应规律动能定理 W=EK2- EK1的数学表达式.我们要训练学生从实际问题的已知条件出发，适当地选择物理规律来解决问题.特别是近几年来高考对数学表达能力的考查要求提高了，所以对一些在高中物理中要用到的数学知识，如一次函数图象、图线的斜率和截距、几何中心、三角函数、解比例、二次函数的极值等等，都有必要进行补充复习和训练，培养和提高数学表达能力.数学是与物理联系最为紧密的学科之一，随着高考改革的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及

7、运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的学习中要随时注重数学知识和物理内容的整合.所谓的思而不学则罔， 学而不思则殆， 物理的数学和物理的哲学分别就是学与思.运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面.一是从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学知识，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁地进行有关问题的求解.数学知识不仅是解决物理问题的工具，本身也是一种物理思维方法.具体地讲，物理中考查的主要数学方法有：1.图象处理能力 (1)给定图象图表信息， 要求学生提取信息并处理， 寻找规律.每年的物理试题中都会有大量的图表图例

8、，包括示意图、各种规律图象、数据列表等，尤其是是些空间立体示意图，要求学生从这些图表图象示意图中获取相关的信息-即读图的能力；(2)用图象描述物理规律.要求学生用图象来描述物理现象、 物理规律、 计算结果等.如描述线框进入有界磁场区域时切割磁感线产生的感应电流或感应电动势随时间的变化图线(全国高考多次考查，是学生的难点)，实验题中的描点连线等； (3)用图象法解决物理问题.图象法解题属于物理解题方法与技巧， 是一种非常好的物理思维方法.如速度-时间图象、位移-时间图象、加速度-时间图象、磁通量-时间图象、感应电流或电动势-时间图象、分子力-分子间距离图象、分子势能-分子间距离图象、弹簧弹力-变

9、化量图象等，由于这些图象能生动形象、一目了然地反映问题，因此，若能巧妙地运用对解题带来很多方便.特别是动力学综合题中4运用速度-时间图象是一种很好的辅助方法.(4)辅助法 比如运动过程草图、受力分析图、电路图、光路图、原子能级跃迁图等，都是解题过程中的一种辅助手段，若能熟练地画出相应的辅助图，对解题带来很大的帮助。2.特殊数学思维方法在物理解题中要经常用于一些比较特殊的数学方法， 比如数学归纳法(碰撞或往复运动模型中常见)， 正弦定理法(静力学三力平衡且三力不是直角三角形时多见)， 相似三角法，三角函数极值法，二次函数判别式法(追赶问题、求极值问题等中多见)，不等式法(判断题中多见)，数列和二

10、项式定理(能级跃迁求光子种类等中多见)， 数形结合法(力学和电学中多见)， 等等.还比如圆的对称性及相关知识的运用就是个重要的物理方法，如带电粒子在电磁场中的运动求半径、求圆心、画运动轨迹、 判断相关的角度(如进入磁场边界时的对称性)等， 求相关极值， 如圆形磁场的最小面积(最大弦长对应最小磁场面积)等。3.估算法在物理学中经常用到估算的办法和近似的办法以及小量的处理办法.数学研究的是数量关系和几何形态， 而这些必须是以自然界的物质及其运动为对象的.离开了现实世界，数学研究就没有意义，即使是数论和数理逻辑等抽象数学分支也不能例外.数学是解决物理问题的工具， 是精确表述物理现象及其规律的语言，

11、而不是向大自然发号施令的权杖. 美国物理教师协会(AAPT)在 1988 年发表中学物理课程内容的报告中指出： “应当让中学生体验到物理学是一门发展中的科学，是现代前沿科学中最为激励人心的学科之一.”数学和物理学的相互影响和促进，在整个近代科学史的发展过程中具有根本意义.不仅物理学离不开数学，数学也离不开物理学。早在 20 世纪 30 年代狄拉克就认为，基础物理学是通过越来越能体现数学之美的理论取得进展的。数学、物理本是科学的孪生子，有着共同的根源，几个世纪以来，它们沿着各自的脉络发展，至今已门类林立，内容迥异.然而，今天应用的数学物理方法已经不在局限于 18 世纪的导出的方程.这些方程反映相

12、关物理现象的本质和运动的基本规律.它们的确立，体现了人们的认识从表象走向本质的飞跃，是这些学科走向成熟的一个标志.当我们沉湎于具体方程的研究和学习时， 往往并不满足于这些方程抽象的表述形式和单纯的理论探讨， 而迫切需要熟悉它们物理现象的本源，了解它们的物理和数学的直观意义，以便进一步开拓思维，把握实质，发现内在联系，找到新的灵感.但要做到这一点，在今天已经太不容易了，因为他们面前是一条横在数学与物理学两大学科之间的鸿沟.自然界中的一切事物都是质和量的统一体,认识世界的重要途径是对事物进行质和量的考察,量变到质变是事物发展的普遍规律.反映事物本质属性及其规律的物理学,不仅应有正确的定性描述,还必

13、须准确地刻画出量的变化规律,而且也只有当物理学由定性进入到定量的阶段,才算是真正把握住了事物的质,才标志着物理学已经成熟,这当然离不开数学.物理学逐渐发展成为一门成熟的自然科学,它不仅用实验方法代替了以往整体的观察法而且引进了数学方法.在物理学研究中针对研究对象不同的特点,运用数学概念、 方法和技巧,对研究对象进行量的分析、 描述、计算和推导,从而找出能以数学形式表达事物的量的规律性.为了体现数学学科的工具性和实用性，加强学科间的渗透，并由此强化对学生的能力考查,我们编辑本书时特别注意两点：一不求全，物理学作为一门学科，触及的领域相当的广泛，所涉及的知识面也十分的复杂.由于方程与方程组、锐角的

14、三角函数、比例在物理学中应用得最多，而且在化学课中方程、比例也经常应用，同学们也比较熟悉，不写难以保证其完整性，因此本书略写.陆游在次韵和杨伯子见赠中所要求的： “文章最忌百家衣，火龙黼黻（f f）世不知谁能养气塞天地，吐出自足成虹霓 ”对一门学科的一个体系或者一个对象进行研究，所要掌握的数学知识也是要相当丰富的，采取的手段和方法也5要准确、 有意义.本书选题仅涉及中学物理学中数学问题的冰山一角， 难以对浩如烟海的物理学中的数学问题做全面的概括；康托曾经讲过： “在数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.数学的本质在于其自由.”海森堡讲： “提出正确的问题往往等于解决了问题的大半.

15、”李政道讲： “对于科研工作者来说，最重要的是自己会不会提出问题.”本书仅仅是提出这些问题抛砖引玉，供同学们思考.有些内容应用频率较低，本书没有单列，例如排列组合在中学物理学中的应用较少，但并不是没有应用， 例如原子能级的跃迁发射或者吸收光子的种类为 Cn2，其它实例不再列举. 著名物理学家巴丁(J.Bardeen)的一段话很有启发性： “处在这日益专业化的时代之中，得以认识到基本物理概念可能应用于一大批看起来五花八门的问题，是令人欣慰的。在理解某一领域所获得的进展常常可以应用于其他领域。这不仅对材料科学的众多领域是确实的，对广义而言的物质结构亦复如此。作为阐述的例证，为理解磁性、超流性和超导

16、性所发展的概念也被推广应用于众多的领域，如核物质，弱与电磁相互作用，高能物理学的夸克结构与众多的液晶相” 。德驰认为： “数学只能揭示抽象对象的真相.而物理学与其说是试图研究这些对象，还不如说是发现哪个对象更符合现实.据我们所知，迄今为止，我们用来构建物理学理论的纯数学的比例非常小.”例如粒子和场以及空间和时间之间的所有关系都能用一系列可在图灵机（图灵机是我们目前广泛使用的计算机的基础）上计算出来的数学运算表示出来.但是，德驰指出，为了在获得万物之理这条路上取得进步， 我们可能需要进入一些目前无法由计算机计算出来的数学领域.而且德驰进一步表示， 我们必须摒弃过去几个世纪里已经让我们取得巨大进步

17、的一个想法， 那就是， 如果我们从数学开始进行研究，现实也会跟着数学方法走.相反， 我们必须首先用我们对物理宇宙的理解来解决问题， 也即宇宙中的物质正在慢慢减少，或者为什么引力比其他作用力更加微弱等；另外，我们也要尽力弄清楚，我们的宇宙观发生什么变化才能解决这个问题.德驰指出： “很多理论物理学家们试图首先用数学方法开始，但这根本无济于事，永远不会成功.”二不求难，中学物理学难度之大关键在于大量应用数学知识，我们仅就大部分学生能够接受的问题进行分析研究，起到抛砖引玉的作用，主要是让学生体会数学与物理学的关系，为将来的学习与研究打下坚实的基础.本书初步归纳出了中学物理学中的几个数学问题，以数学问

18、题为主线展开.为了便于学生阅读， 书中涉及的数学知识均为中学数学范围之内,由于涉及高中数学和物理学的全部内容， 因此本书适用于高三学生阅读.由于时间仓促，错误在所难免，恳请广大读者给予斧正，联系方式.6第一章第一章 比例、方程与方程组在中学物理学中的应用举例比例、方程与方程组在中学物理学中的应用举例1.1.比例法在中学物理学中的应用比例法在中学物理学中的应用所谓比值定义法.就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法.一般地，比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变.在初中就有过物质密度的定义，电阻的定义，到高中进一步渗

19、透这种方法，如确定的电场中的某一点的场强就不随 q、F 而变；电容 C 的定义，用电荷量 Q 与电势差 U 的比值来定义，但电容 C是由电容本身决定的，与 Q 和 U 无关；到后面的电势、电势差、磁通密度等都用这种方法来定义，当然用来定义的物理量也有一定的条件，如 q 为点电荷，S 为垂直放置于匀强磁场中的一个面积等.类似的比值还有：压强、速度、功率等等，就这样把这种定义物理量的方法渗透在整个物理学中.比例是最基本也是最常用的数学建模方法之一.在物理学中有很多是基于这种方法而得到的公式,例如牛顿第二定律F=ma，虎克定律F=kS，(虎克定律: 弹力大小与形变成正比) .比例计算法可以避开与解题

20、无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立同时要注意以下几点(1)比例条件是否满足 物理过程中的变量往往有多个， 讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例(2)比例是否符合物理意义 不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系， 要注意每个物理量的意义(如不能根据RUI认定电阻与电压成正比)(3)比例是否存在讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量如果该条件不成立，比例也不能成立(如在串联电路中，不能认

21、为PU2R中P与R成反比，因为R变化的同时，U也随之变化而并非常量)许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”如密度mV，导体的电阻RUI，电容器的电容CQU，接触面间的动摩擦因数fFN，电场强度EFq等它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关通过数学推理的方法使复杂的计算过程简单化.我们常遇到有些综合题所反映的物理过程往往比较复杂，其中，有些物理量是并不要求解出的，但它在解题中恰恰又需要，这样的物理量称作中间量.对中间量的处理如果我们指导学生用数学的方法进行推导，往往这些中间量不但不需要计算出来，甚至还可以不需要在解题过程中体现，

22、可舍去反复套用公式的过程，免去不必要的中间量计算，从而减少大量的计算，使解题既科学又简捷.例 1 一支刻度均匀，但读数不准的温度计，在 1 标准大气压下，放入沸水中示数为 94，放在冰水混合物中示数为 4，用它测教室温度为 22，求教室内实际温度.利用数学比例法较为方便，由题意可列比例计算.t422100494,解得 t=20.例 2，两球的密度之比是 4:3,质量之比是 5:3,如果把它们同时浸没在同一种液体之中.它们受到的浮力之比是多少?解析：本题不知质量和密度的具体数值，又不知道浸没在何种液体之中，无法求出两球受到的具体浮力.但是知道质量和密度的关系，要确定它们受到的浮力之比，只有通过已

23、知的比值关系来解决.答：它们的浮力之比是 5：4.7例 3 一个物体浸没于煤油中受到的浮力为 7.84N，若将它浸没于水中，它受到的浮力为多大？解：由于排开液体体积相同，都等于物体体积，又 g 为常数，由公式排液浮gVF可知浮F与液成正比，所以：油水油水FF，得：NNmkgmkgFF8 . 984. 7/108 . 0/100 . 13333油油水水例 4 一标有“220V100W”字样的白炽灯泡接入到 240V 的电路中，其实际功率为多少？解;由于灯丝的电阻 R 为常数，由公式RUP2可知P与2U成正比，所以：22额实额实UUPP,得：WW）VV（P）UU（PUUP1191002202402

24、222额额实额额实实例 5 通过一理想变压器，经同一线路输送相同的电功率 P，原线圈的电压 U 保持不变，输电线路的总电阻为 R.当副线圈与原线圈的匝数比为 k 时，线路损耗的电功率为 P1，若将副线圈与原线圈的匝数比提高到 nk，线路损耗的电功率为 P2，则 P1和P2P1分别为()A.PRkU，1nB.PkU2R，1nC.PRkU，1n2D.PkU2R，1n2【解析】选 D.由原副线圈电压比UU1k得，副线圈的电压 UUk，线路损耗 P1PU2RPkU2R，同理 P2PnkU2R，P2P11n2，故 D 项正确例 6 如图所示，气缸放置在水平平台上，活塞质量为 10kg，横截面积 50cm

25、2，厚度 1cm，气缸全长 21cm，大气压强为 1105Pa，当温度为 7时，活塞封闭的气柱长 10cm，若将气缸倒过来放置时，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通.g取 10m/s2求：（1）气柱多长？（2）当温度多高时，活塞刚好接触平台（活塞摩擦不计）.（1）先等温变化：P1=P0+smg=1.2105Pa，P2=P0-smg=0.8105Pa，P1L1=P2L2L2=15cm（2）后等压变化：T2=T1=（273+7）K=280K，L2=15cm，L3=20cm，v2T2=v3T3，T3=v3v2T2=L3L2T2=373K例 7 某位溜冰爱好者在岸上从O点由静止开始匀加速助跑，

26、 2 s 后到达岸边A处， 接着进入冰面(冰面与岸边基本相平)开始滑行，又经 3 s 停在了冰上的B点，如图甲所示若该过程中他的位移是x，8速度是v， 受的合外力是F， 机械能是E， 则对以上各量随时间变化规律的描述， 图乙中正确的是()解析：选 BC.溜冰者前 2 s 做匀加速运动，后 3 s 在滑动摩擦力作用下做匀减速运动设最大速度为vm，则加速度大小之比为a1a2t2t132，由牛顿第二定律，合外力大小之比F1F2a1a232，选项 A 错误，B、C 正确；前 2 s 机械能增大，后 3 s 机械能减小，选项 D 错误例 8 如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一

27、条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为1；金星转过的角度为2(1、2均为锐角)，则由此条件可求得()A水星和金星绕太阳运动的周期之比；B水星和金星的密度之比C水星和金星到太阳的距离之比；D水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比【解析】 选 ACD.设水星、 金星的公转周期分别为T1、T2，2T1t1，2T2t2，T1T221， A 正确 因不知两星质量和半径，密度之比不能求，B 错误由开普勒第三定律，T21R31T22R32，R1R23212，故 C 正确a12T12R1，a22T22R2，所以a1a234142，D 正确例 8:如题 21 图所式，矩形MNPQ区域内有

28、方向垂直于纸面的匀强磁场，有 5 个带点粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧， ，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示.9由以上信息可知，从图中 abc 处进入的粒子对应表中的编号分别为A.3,5, 4B.4,2,5C.5,3,2D.2,4,5【答案】D【解析】 根据半径公式Bqmvr 结合表格中数据可求得 15 各组粒子的半径之比依次为 0.52332，说明第一组正粒子的半径最小，该粒子从 MQ 边界进入磁场逆时针运动.由图 a、b 粒子进入磁场也是逆时针运动，则都为正电荷，而且 a、b 粒子的半径比为 23，则 a 一定是第 2

29、 组粒子，b 是第4 组粒子.c 顺时针运动，都为负电荷，半径与 a 相等是第 5 组粒子.正确答案 D在实际运用中有很多内容， 譬如对于存在某种比例关系的物理量之间， 运用比例求解往往可使过程简化.海王星发现过程的曲折，也许更能够反映科学发现开始的试凑路径.在 1821 年，Alexis Bouvard出版了天王星的轨道表，随后的观测显示出与表中的位置有越来越大的偏差，使得 Bouvard 假设有一个摄动体存在.但是这颗新的行星在什么地方，要发现它，想来就像大海捞针一样困难.麦克斯韦认为：自然科学的皇后是数学.把数学分析和实验研究联合使用所得到的物理知识,比之一个单纯实验人员或单纯的数学家能

30、具有的知识更坚实,有益和巩固.2.2.力学中的方程与方程组应用举例力学中的方程与方程组应用举例物理学是研究物质运动中最基本最普遍的形式,但这些运动又普遍的存在于其它高级的,复杂的运动形式之中.因此可以认为,物理学是一切自然科学的基础.又是当代工程技术的重大理论支柱,这已是物理学的三次大突破,从而引起的三次工业革命的历史所应证.物理学是人类巨大的精神财富的宝地,在这块宝地上不仅结出了震撼世界的花朵,而且孕育了牛顿,爱因斯坦等科学巨匠.所以这块宝地很值得我们去开垦,这些精神财富值得我们去挖掘,去研究.力学作为一门经典的学科， 一开始就同人们的生活和生产紧密相关.中学阶段所学习的力学知识，不但是为后

31、续课程打基础，也是为毕业后参加生产劳动做准备.力学是物理学的有机组成部分，它在物理学中占重要的位置， 并且对天文学及各种工程学都有极大的贡献.我国古代在力学方面就已有了很多伟大的成就.希腊的亚里士多德-他在重心、 杠杆、 浮力等方面均有建树， 为静力学的发展奠定了基础.15世纪以后，欧洲兴起了文艺复兴使力学进入了一个空前未有的发展阶段.在 15 世纪到 18 世纪内逐步建立了比较完整的力学系统理论.首先应提到哥白尼，他提出了日心学说引起了宇宙观的大革命；开普勒总结了行星运动之定律；伽利略研究了落体和斜面运动的规律，提出了加速度的概念，并第一次正确认识到加速度与外部作用的关系，为动力学的发展奠定

32、了基础.10牛顿的原理无疑是物理学史中第一部划时代的著作.他第一次用实验、观察、假设和推理形成了完整的理论体系揭示相互作用和运动的关系， 而不限于对个别的现象和过程的描述.他运用微积分这一最为恰当的数学工具刻画力学规律，从而使人们通过相互作用和运动状态的瞬时关系去认识全过程.力学是研究物质机械运动规律的一门科学.力学在整个中学物理教材中占有很重要的地位.首先，力学是物理学的基础.物质的机械运动是一切运动形式中最基本、最普遍的运动形式；每一种较高级、较复杂的运动形式都包含着简单的机械运动.在中学物理中，力学中的一些基本概念，如力、质量、功和能的概念，以及力学的一些基本规律，如牛顿运动定律、动量守

33、恒定律、能的转化和守恒定律等，是物理学最基本、最重要的概念和规律，它们在物理学中贯穿始终.研究力学的基本方法-以观察、实验为基础，抽象、概括出物理规律，把实验同数学方法紧密结合起来，运用图像、数学语言、数学推理来表示和论证物理规律，运用理论知识分析实际问题等等，这也是学习物理学其它部分所必需的.总之，力学知识及其研究问题的方法，在后继课程中用处很大.其次，力学知识最早起源于对自然现象的观察和在生产劳动中的经验.人们在建筑、灌溉等劳动中使用杠杆、斜面、汲水器具，逐渐积累起对平衡物体受力情况的认识 .古希腊的阿基米德对杠杆平衡、物体重心位置、物体在水中受到的浮力等作了系统研究，确定它们的基本规律，

34、初步奠定了静力学即平衡理论的基础.古代人还从对日、月运行的观察和弓箭、车轮等的使用中了解一些简单的运动规律，如匀速的移动和转动.伽利略在实验研究和理论分析的基础上，最早阐明自由落体运动的规律 ，提出加速度的概念.牛顿继承和发展前人的研究成果（特别是开普勒的行星运动三定律） ，提出物体运动三定律 .伽利略、 牛顿奠定了动力学的基础.牛顿运动定律的建立标志着力学开始成为一门科学.它虽然是一门古老的学科，但今天仍富有旺盛的生命力.打好经典力学基础，对于进一步学习物理学及其它现代科学技术和生产知识，是必不可少的准备.第三，力学部分在中学物理教材中讨论得比较详细、系统和完整，这从教学法观点及学生的学习效

35、果看来也是可取的.因此，一般的中学物理教材，都把力学作为整个教材的重点，要求学生对整个力学部分的内容掌握的比较牢固，对力学的基本概念与规律，要求做出一定的定量的分析和描述.这也给培养学生实验，逻辑思维和数学运算等三方面能力提供了充分的机会.从学时上来看，力学占整个中学物理教材比重的三分之一强，这也充分说明了它的重要地位和作用.例 1 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为 2h，坡面的抛物线方程为y12hx2，探险队员的质量为m.人视

36、为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.(1)求此人落到坡面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？11【解析】(1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得xv0t，2hy12gt2根据题意有yx22h由机械能守恒，落到坡面时的动能为12mv212mv20mg(2hy)联立式得12mv212mv204g2h2v20gh.(2)式可以改写为v2v20gh2ghv20gh23ghv2的极小的条件为式中的平方项等于 0，由此得v0gh此时v23gh，则最小动能为12mv2min32mgh.【答案】12m

37、v204g2h2v20gh(2)gh32mgh例 2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A1dRB1dRC.RdR2D.RRd2【解析】选 A.由万有引力定律，地面处质量为m的物体重力为：mgGMmR2，g为地面处重力加速度，M为地球质量，则M43R3，为地球密度，由题中信息知该物体在矿井底部重力为：mgGMm（Rd）2，g为矿井底部的重力加速度且M43(Rd)3.联立得：gg1dR，故 A 项正确例 3 如图所示，固定放置的竖直斜面 AB 的下端与光滑的圆弧 BCD 的 B 点相切，圆弧

38、轨道的半径R=0.5m，圆心 0 与 A、D 在同一水平面上，角 COB=370，现有质量为 m=0.1kg 的小物体从距 D 点 h=0.2R的地方无初速的释放，已知物体恰能从 D 点进入圆轨道(重力加速度 g=10 ms2)求：(1)为使物体不会从 A 点冲出斜面，物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少?(2)若物体与斜面间的动摩擦因数=0.25，求物体在斜面上通过的总路程.(3)在(2)的条件下，小物体通过圆弧轨道最低点 C 时，对 C 的最小压力是多少?（1）为使小物体不会从 A 点冲出斜面，由动能定理得CA120sincoscos4cosRmgRmg,解得动摩擦因数至少为：cos4sin

39、（2）分析运动过程可得，最终小物体将从 B 点开始做往复的运动，由动能定理得0coscos)4cos(mgSRRmg解得小物体在斜面上通过的总路程为：sin2cos5Rs （3）由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最大，由动能定理，得221)4cos(mvRRmg，由牛顿第二定律，得RvmmgN2max联立，解得cos213maxmgmgN最终小物体将从 B 点开始做往复的运动，则有2 21)cos1 (mvmgRRvmmgN2 min联立，解得)cos23(min mgN由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点 C 时对 C 的最大压力cos213maxmgmgN最小压力)cos

40、23(min mgN例 4 如图所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为 m=0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为 L=0.5m，所有接触面之间的动摩擦因数相同.现用水平向左的恒力，经 2s 时间将纸带从铁块下抽出， 当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘且速度为 v=2m/s.已知桌面高度为 H=0.8m，不计纸带重力，铁块视为质点.重力加速度 g 取 10m/s2，求： （1）铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离； （2）动摩擦因数；（3）纸带抽出过程中系统产生的内能.13解： （1）设铁块离开桌面后经时间 t 落地水平方向：xvt，竖直方向：H12gt2，由联立解得：x=08 m

41、（2）设铁块的加速度为a1，运动时间为1t，由牛顿第二定律，得mgma1纸带抽出时，铁块的速度va1t1 ，联立解得=01（3）铁块的位移x112a1t12 ，设纸带的位移为x2；由题意知，x2x1L由功能关系可得纸带抽出过程中系统产生的内能Emgx2mgL由联立解得E03 J例 5 一质量 m=200kg，高 2.00m 的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池底部，如图所示.桶的内横截面积S =0.500m2， 桶壁加桶底的体积为V0=2.50102m3.桶内封有高度为l=0.200m的空气.池深H0=20.0m，大气压强 p0=10.00m 水柱高，水的密度=1.000103kg/m3，重力加速度

42、取 g=10.00m/s2.若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需何等的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）.不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响.并设水温上下均匀且保持不变.解析解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力.在绳子的作用下桶被缓慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加，排开水的体积也逐步增加，桶受到的浮力也逐渐增加，绳子的拉力逐渐减小，当桶受到的浮力等于重力时，即绳子拉力恰好减为零时，桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动使桶略有上升，则浮力大于重力，无需绳的拉力，桶就会自动浮起，而不需再拉绳.因此绳对桶的拉力所需做的最小功等于将桶从池底缓

43、慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功.设浮力等于重力的不稳定平衡位置到池底的距离为 H ， 桶内气体的厚度为 l， 如图甲所示.因为总的浮力等于桶的重力 mg，因而有：(lS+V0)g = mg，有：l=0.350m甲14在桶由池底上升高度 H 到达不稳定平衡位置的过程中，桶内气体做等温变化，由玻意耳定律得：p0+ H0H(l0l)lS =p0+H0(l0l)lS由、两式可得：H=12.240m由式可知 H（H0l） ，所以桶由池底到达不稳定平衡位置时，整个桶仍浸在水中.由上分析可知， 绳子的拉力在整个过程中是一个变力.对于变力做功， 可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求

44、解：先求出桶内池底缓慢地提高了 H 高度后的总机械能量E .E 由三部分组成： （1）桶的重力势能增量：E1= mgH（2） 由于桶本身体积在不同高度处排开水的势能不同所产生的机械能的改变量E2， 可认为在 H高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占有的空间，这时水的重力势能减少了.所以：E2=gV0H（3）由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变E3，由于桶内气体体积膨胀，因而桶在 H 高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间， 体积为 lS 的水， 这部分水增加的重力势能为： E3=gHlS .另一部分体积为(ll)S

45、的水上升到水池表面，这部分水上升的平均高度为：H0Hl0+l+ll2，增加的重力势能为：E32=gS(ll)H0Hl0+l+ll2 由整个系统的功能关系得，绳子拉力所需做的最小功为：WT=E.将、式代入式得：WT=gS(ll)(H0l0)+22ll2 将有关数据代入式计算，并取三位有效数字，可得：WT=1.37104J例6 如下图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速周运动（笔者注：严格讲为椭圆） ，星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L.已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧.引力常数为 G.（1）求两星球做圆周

46、运动的周期.（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1.但在近似处理问题时， 常常认为月球是绕地心做圆周运动的， 这样算得的运行周期 T2.已知地球和月球的质量分别为5981024kg 和735 1022kg.求 T2与 T1两者平方之比.（结果保留3位小数）15解析： A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动， 它们之间的万有引力提供向心力， 则 A 和 B 的向心力相等.且 A 和 B 和 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期.因此有：，连 立 解 得， 对 A 根 据 牛 顿 第 二 定 律 和 万

47、 有 引 力 定 律 得，化简得：.将地月看成双星，由得，将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得，化简得：. 所以两种周期的平方比值为.通过计算说明，二者的数值差距不大，地球质量比月球质量明显大，质心与地心距离近，月球的轨迹接近圆，但是地月系统看做是双星现象才抓住了事物的本质，这样才满足对称性原理.例 7 月球与地球质量之比约为 1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点 O 做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动生物线速度大小之比约为A1：6400B.1:80C.80:1D:6400:1【解析】月球和地球绕

48、 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等.且月球和地球和 O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期.因此有RMrm22，所以mMRrVv，线速度和质量成反比，正确答案 C.例 8 我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体 S1和 S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动.由于文观察测得其运动周期为T，S1到 C 点的距离为 r1，S1和 S2的距离为 r，已知引力常量为 G.由此可求出 S2的质量为（D）16A2122)(4GTrrrB23124GTrC2324GTrD21224GT

49、rr笔者认为，上面的题目说双星大约占笔者认为，上面的题目说双星大约占1/41/4是错误的，实际上应该都是双星现象，当两个星体的质是错误的，实际上应该都是双星现象，当两个星体的质量差距很大时，质量较大的星体运动范围较小，难以观察量差距很大时，质量较大的星体运动范围较小，难以观察. .例9.地月系统的拉格朗日点的计算图1 拉格朗日点设地球质量为M,月球质量为m，小物体质量为C，地球与小物体距离为L,月球与其距离为l，小物体受力平衡，对L1点有：222MCmCGGCLLl(1)其中G为万有引力常数,为月球绕地球旋转的角速度.设R为日月距，且laR（2）（2）代入（1）得：222332(1)(1)GM

50、aGmaa Ra(3)又22MmGmRR(4)所以：32RGM(5)(3)式进一步化简，得：322(1)(1)Maaama（6）因a很小，故舍弃左边括号中a的二次方项，得：3(1)Mama（7）右边1-a接近于1，舍弃，得：3maM(8)这一公式对任意这类系统都成立.对L2.L3点有：222MCmCGGCLLl(9)17LlR (10)可解得L2、L3各自的L、l值.对L4、L5点，M对C引力可分为两部分：12mCFGl222MCmCFGGLlF1与m对C引力大小相等，夹角为600，其合力F使C沿M与m连线做瞬时定轴转动，剩下的F2部分提供C与m一起绕M转动的向心力.212332rmClFFG

51、Cl2222eMCmCFGGCRLl，得：223rGml22eGMmRLl爱因斯坦注重数学的方法， 如果他不注重数学方法的运用， 他的任何一项科学研究都将搁浅.狭义相对论和广义相对论的成功表述，在于他正确地选择了数学方法，如在等效原理提出后，爱因斯坦曾苦于找不到适当的数学方法推进研究.为了寻求合理的数学形式保持在任意坐标下的协变性， 他请教了老同学苏黎世工业大学数学教授格罗斯曼，格罗斯曼向爱因斯坦推荐“绝对微分学”.利用“绝对微分学” ，爱因斯坦便尝试着建立起一个满足在任意坐标变换下的引力场方程.爱因斯坦提出了广义相对论促进了整个微分几何的发展；反之，微分几何的高度发展，又使人们可以更为理性和

52、逻辑地思考问题.分析力学是理论力学的一个分支，它以虚功原理和达朗贝尔原理为基础，利用标量形式的广义坐标来代替矢量力学的矢径，将对能量和功的分析来代替矢量力学中对力和力矩的分析，从而有可能利用纯粹数学分析的方法导出基本的运动微分方程， 并研究这些方程的本身和积分方法.它是独立于牛顿力学的另一种描述力学世界的体系，且表达式也是对经典力学的高度数学化的表达.3.3.稳恒电流中方程与方程组问题稳恒电流中方程与方程组问题电学综合题的特点：电路中接有多只开关或滑动变阻器，通过开关的断开、闭合或滑动变阻器的滑片的移动来改变电路结构.解答这类型题的方法：分析电路结构，正确画出各状态的等效电路图，熟练掌握串、并

53、联电路的特点，灵活运用电学计算公式，根据题中隐藏的等式或题中已给的等式列出有关的方程或方程组.通常串联电路; 并联电路的特点均可作为列方程的依据； 除此外状态不同的电路可根据电源电压不变列方程.（1）如果选用几个公式方程联立成方程组作解题方程时：优选乘积形式的公式.如欧姆定律公式基本形式 I=U/R、电压变形式 U=IR、电阻变形式 R=U/I 三种.其中 U=IR 呈乘积形式，属于整式方程.（2）解题方程的组合类型.从众多的方程组优选出结构简单且易于解析的方程组.依据是：一、构成方程组的方程数量越少越好；二、方程里未知数的次数、越低越简单；三、整式方程比分式方程简单.四、单项式方程比多项式方

54、程简单.例1如图，U恒定不变.当RW接入R时，定值电阻R0消耗的功率为P0.要使R0消耗的功率为原来的1/4.求：滑动变阻器接入电路的电阻？分析：此题电路连接并不复杂，两电阻串联，题中出现两种状态的电路，分析两种状态下的情况，发现电源电压始终不变，即U=U，可根据此等式列方程.解：方法一：利用 U 不变列方程1800RP(R+R0)=RP04/1(R+R0)U=I（R0+R）方法二：U=I（R0+Rx）I2R0=4I 2方法三：利用0041PP 。答案：RX=2R+R0例 2 某电热器内有两根电阻丝，只接第一跟时，电热丝中的水经过 12 分钟沸腾；只接第二根时，电热丝中的水经过 24 分钟沸腾

55、.假如两根串联后通电时，问：电热器中的水几分钟沸腾？设电源电压和水的质量不变.（36 分钟）分析：题中隐藏的等量关系有：Q1=Q2=Q3且 U 不变由此列出方程组Q1=U2t1/R1（1）Q2=U2t2/R2（2）Q=U2t/（R1+R2） （3）另外，还可根据串联电路的特点：R=R1+R2列方程，把（1） 、 （2） 、 （3）式代入此式更加简变例 3 如图所示电路中，R1为定值电阻，R2最大阻值为 36 欧的滑动变阻器，电源电压不变.当滑片 P在 a 端时，R1上消耗的电功率为 P1，电压表的示数为 9 伏特.求： （1）此时 R2上消耗的功率 P2是多少？（2）当滑片滑至 b 端时，R1

56、上消耗的功率为 P1=16P1.问：该电源的电压是多少？（2.25W,12V）分析：当滑片 P 滑至 b 点时 P=U2/R1(1)当滑片P滑至a点时P=U12/R1(2)代入P=16P可求得U=12V例4如图2，滑动变阻器R2的滑片置于阻值最大处时，电压表的示数是4V.将变阻器的滑片P向左滑动使R2减少为原来的1/4时，电压表的示数为8V.求：（1）电源电压（2） R2消耗的功率是原来的几倍？U=U1+U2R2/R1=4V+4VR2/R1(1)U=U1+ U2R2/R1=8V+8V41R2/R1(2)答案：U=12V， 1 瓦例 5一灯泡与一电阻串联接入电路，当灯泡正常发光时电阻消耗的功率为

57、 P，当单独将这一电阻PaR2bVR1A图UR1R2V图 2图UR0RW19接入同一电路时，它消耗的功率为 P，求灯泡的额定功率.U2/R=PP=I2R=（UPPL）2RPL=PP-P例 6如图电源电压不变，当 S 闭合时，L1所消耗的功率为 50 瓦；当 S 断开时，L2所消耗的功率为 8 瓦，且比此时 L1所消耗的功率小，求：L2L1当 S 断开时 L1的实际功率.（32 瓦）U2/R1=50（P+8/U）R=P所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为

58、数学问题再经过求解还原为物理结论的过程.狄拉克曾经说过： “我想我正是和这一概念（优美的数学）一起来到这个世界上的.如果物理定律在数学形式上不美，那就是一种理论还不够成熟的标志，说明理论有缺陷，需要改进.我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻找某种优美的数学.”4.4.电磁场中的方程与方程组应用举例电磁场中的方程与方程组应用举例爱因斯坦说过： “为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠而无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处在被新发现的事实推翻的危险之中.但是数学之所以有高的声誉， 还有另一个理由， 那就是数学给予精密自然科学以某

59、种程度的可靠性.没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的.理论科学家在他探索理论时，就不得不愈来愈从纯粹数学的形式考虑， 因为实验家的物理经验不能把他提高到最抽象的领域中去.我们这个世界的图景是“可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成.目前，我只是全心扑在引力问题上，我现在相信，依靠这里的一位友好的数学家的帮助，我将制服这些困难.但有一点是肯定的，在我整个一生中，我工作得都远不够努力，我已变得非常尊重数学，在此以前，我简单的头脑把数学中精妙的部分当作纯粹的奢侈，与这个问题相比，最初的相对论只是儿戏而已.在物理学中，通向更深入的基本知识的道路是同最精密的数学方法联系着的.从有点象马赫的那种怀

60、疑的经验论出发， 经过引力问题， 我转变成为一个信仰唯理论的人，也就是说，成为一个到数学的简单性中去寻求真理的唯一可靠源泉的人.逻辑简单的东西，当然不一定就是物理上真实的东西.但是，物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说，它在基础上具有统一性.物理学家们说我是数学家，数学家们又把我归为物理工作者.我是一个完全孤立的人，虽然所有人都认识我，却没有多少人真正了解我.不要担心你在数学上遇到的困难；我敢保证我遇到的困难比你还大得多. 我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可能想象到的最简单的数学观念的实际体现.我坚信， 我们可以用纯粹数学的构造来发现这些概念以及把这些概念联系起来的定律，