最新中考复习《最值问题》压轴综合(含答案)

1、中考复习最值问题压轴综合中考真题（2019 无锡）如图，在 ABC 中， ABC, AB AC 5, BC 4j5,D 为边 AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形 CDEF，连接BE ,则 BDE面积的最大值为思路解析 过点C作CG，BA于点G ,作EH，AB于点H ,作AM ± BC于点M .由AB=AC=5 , BC=4 <5 ,得到 BM=CM=2 而,易证 AMB CGB ,求得 GB=8 ,设 BD=x ,则 DG=8-x ,易证 EDH 9M DCG , EH=DG=8-x ,所以 Sabde = - BD?EH=2x(8-x)=- ；(x-4) 2+8

2、,当 x=4 时， BDE 面积的最大值为 8.考点提炼类型一：代数最值解数学题时，我们常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1 .利用绝对值求最值；2 .运用配方法求最值；3 .构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4 .建立函数模型求最值；5 .利用基本不等式求最值；6 .构造几何模型求最值.类型二：几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 （如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1 .特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点；

3、2 .几何定理（公理）法，比如垂线段最短；3 .数形结合法，比如图形面积问题.注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.例题精讲【例1】利用配方法求最值设a、b为实数，那么a2 ab b2 a 2b的最小值是 .【答案】-1【例2】利用判别式法求最值设xi、x2是方程2x2 4mx 2m2 3m 2 0的两个实根，当m为何值时，xi2 x22有最小值,并求这个最小值.9注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：(1)当抛物

4、线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得.【例3】利用基本不等式求最值某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费1为(x 1) 500兀.4(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x(天)的函数;(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该

5、设备投入使用多少天应当报废？4997 ；8500000 x【答案】(1) y= 一x 8(2) 2000 天.注：不等式也是求最值的有效方法,常用的不等式有:(1)a2 0; (2) a2 b2 2ab; (3)若 a 0, b 0 ,贝U a b 21/ab ； (4)若 a 0, b 0 ,x 0 ,则 a x 2j-. x b . b以上各式等号当且仅当 a b (或a且)时成立.x b【例4】利用函数模型求最值如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度 a为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm,面积为sm2.(1)求s与x的函数关系式;(2)如果要围

6、成面积为 45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗 被口果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能, 请说明理由.14【答案】(1) S=-3*+24x ( x 8) ; (2) AB=5m；3-22(3) Smax 46.能围成，围法：长 10m,宽4m.33【例5】构造几何模型求最值求代数式 收 1 J(x 3)2 4最小值.解：如图，建立平面直角坐标系，点 P (x, 0)是x轴上一点，则J(x 0)2 12可以看成点P与点A(0,1)的距离，J(x 3)2 22可以看成点P与点B (3, 2)的距离，所以原代数式的值可以看成 线段PA与PB长度之和，它的

7、最小值就是PA+ PB的最小值.，原代数式的最小值为3 2 .【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值如图，已知 AB=10, P是线段AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP和PB为边作等边APC和等边 BPD,则CD长度的最小值为r【答案】5注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口， 特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等;(2)端点处、临界位置等.【例71利用定理或公理求最值(1)如图，/ AOB=45° ,角内有一点 P, PO=10,在角的两边上有两点 Q, R(均不同于点O),则 PQR的周长的最小值为6【答案】10.2(2)如图，两点

8、 A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8, B到MN的距离BD=5,CD=4, P在直线 MN上运动，则|PA PB【答案】5(3)如图，A点是半圆上一个三等分点，。的半径为1,则AP+BP的最小值为(.2A. 1B. C.2【答案】C(4)如图，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60°, M是AD边的中点，N是AB边上一动点, WAAMN沿MN所在的直线翻折得到 NA MN连接A C则A 云度的最小值是 .【答案】 7 1(5)如图，菱形 ABCD中，/A=60°, AB=3,。A、。B的半径分别为 2和1, P、E、F分别 是边CD OA和。B上的动点，则 P

9、E+PF的最小值是 .【答案】3【例8】数形结合求最值1、如图，等边 ABC中，AB=6,点D在BC上，BD = 4,点E为边 AC上一动点(不与 点C重合)， CDE关于DE的轴对称图形为 FDE .(1)当点F在AC上时，求证：DF/AB;(2)设4ACD的面积为S1, ABF的面积为S2,记S=S1- S2, S是否存在最大值？若存 在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；解：(1) ABC是等边三角形Z A= Z B= Z C= 60由折叠可知：DF = DC ,且点F在AC上DFC = Z C= 60°DFC = Z ADF / AB;(2)存在，过点D作DM ±

10、;AB交AB于点M ,AB= BC=6, BD = 4, .CD = 2DF= 2,点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，S“bf最小,. BD=4, DM ±AB, /ABC=60°MD = 23-1 Saabf 的最小值= X 6X ( 2V5 2) = 6'f3 6 61- S最大值=M 3 & ( 63 6) = 31 3+6如图，抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2, OC = 6,连接AC和BC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D在抛物线的对称轴上，当 ACD的周长最小时，点 D的坐标为 .(3

11、)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE和BE.求 BCE面积的最大值及此 时点E的坐标；解：(1) OA=2, OC = 6A (2,0) , C (0, - 6)抛物线y=x2+bx+c过点A、C"4七b+,R解得：产-1(0+0+ c-6l,c- -6，抛物线解析式为 y=x2- x- 6(2) ;当 y=0 时，x2 - x- 6= 0,解彳导：x = 2, x2= 3B (3, 0),抛物线对称轴为直线 x= T+3 J 22 点D在直线x =上，点A、B关于直线x=一对称 l-xd = , AD = BD. 当点 B、D、C 在同一直线上时， C4acd= AC+AD

12、+CD=AC+BD+CD = AC+BC 最小8设直线BC解析式为y=kx-6，3k-6=0,解得：k= 2. .直线 BC: y=2x- 6 yD=2X D (12'59149故答案为：(J_, - 5)2(3)过点E作EGx轴于点G,交直线BC与点F设 E (t, t2 t 6) ( 0vtv3),则 F (t, 2t 6).EF=2t6 (t2t6) =- t2+3t Sabce=Sbef+Sacef =EF?BG+EF?OG =EF ( BG+OG) = EF?OB= X 3 (22222t2.qf3 zx 3 2 2?t+3t)V / +T.当t=工时， BCE面积最大- y

13、E=，点E坐标为（,-）时， BCE面积最大，最大值为 -7-.248举一反三1、若x 1 “ -2,则x2 y2 Z2可取得的最小值为（）A. 3B.D. 6【答案】B2、正实数x、y满足xy一4的最小值为（） 4y4B.3、如图,已知;边长为4的正方形截去角成为五边形ABCDE其中AF=2, BF=l,在AB上的一点A.8 B, 12C.竺 D. 1424、如图,AB是半圆的直径，线段 CA上AB于点A,线段DB上AB于点B, AB=2; AC=1,BD=3, P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是（）C.D. .3 - 25、当一2& x孙二次函数y1有最大值4,

14、则实数m的值为（P,使矩形PNDM有最大面积，则矩形 PNDM的面积最大值是（）157 A.46、如图，点P （-1 , 1）在双曲线上，过点P的直线11与坐标轴分别交于 A B两点，且tanZ BAO=1点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l 2与双曲线只有一个公共点,并与坐标轴分别交于点 C、点D.则四边形ABCD勺面积最小值为（不能确定A 10 B 8【答案】B7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2 ax a 2的两个实数根，则（x1 2x2）（x2 2x1）的最大值为.63 88、若抛物线y x2 （k 1）x k 1与x轴的交点为A、B,顶点为C,则 ABC的面积最小值

15、为【答案】19、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q （万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式 p 1x, q -Vx .55今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？【答案】甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元.10、已知： ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90° ,将 ABC绕点C顺时针方向旋转得 到AA' B' C,记旋转角为 a,当90° V a<180°时，作 A' DXAC,垂足为D, A

16、' D 与B' C交于点E.Ell图 2（1）如图1 ,当/ CA' D= 15°时，作/ A' EC的平分线 EF交BC于点F.写出旋转角”的度数；求证：EA' +EC=EF;AB（2）如图2,在（1）的条件下，设P是直线A' D上的一个动点，连接 PA, PF, 二班,求线段PA+PF的最小值.（结果保留根号）【答案】（1）解：旋转角为105° .理由：如图1中，. A D±AC,. A' DC = 90°/ CA' D= 15°. A' CD = 75° .

17、/ ACA' = 105旋转角为105证明：连接 A' F,设EF交CA'于点O.在EF时截取EM=EC,连接CM . . /CED = /A' CE+/CA' E=45° +15° =60° , ./ CEA' = 120° , FE 平分/ CEA', ./ CEF=Z FEA' = 60° , . /FCO=180° -45° -75° =60° , ./FCO = /A' EO, ,. /FOC=/A' OE, .FO

18、CsA' OE, OF |_ 00A' 0 0E OF 000 0E . / COE=Z FOA ', . COEs FOA', ./ FA' O = Z OEC=60° , .A' OF是等边三角形，.CF=CA' =A' F, EM =EC, / CEM = 60° , .CEM是等边三角形，/ECM=60° , CM =CE, . / FCA' =Z MCE = 60° , ./ FCM =/ A' CE, . FCMAA7 CE (SAS), .FM=A' E, .CE+A' E=EM+FM = EF.(2)解：如图2中，连接 A' F, PB' , AB',作B' MAC交AC的