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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 二次型（ * * ）一、复习指导：二次型这一章节也是一个比较重要的章节，在首师大的大题中，往往会出现关于判断二次型是否为正定二次型的题目，我们要掌握的：正定二次型的充分必要条件;还可能会出化二次型为标准型，所以我们还要知道如何化二次型为标准型。二、考点精讲：（一）基本概念1、二次型含个变量且每项皆为二次的齐次多项式称为二次型。令，则。矩阵称为二次型的矩阵，显然，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵的秩称为二次型的秩。2、标准二次型只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。3、矩阵合同设为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得，称矩阵与合同，记为。4、二次型的标准化设为一

2、个二次型，若经过可逆的线性变换（即为可逆矩阵）把二次型化为，称为二次型的标准化。5、规范二次型二次型的标准型的系数为和的标准型，称为二次型的规范型。（二）二次型标准化方法 1.配方法 2.正交变换法（1）求的特征值。（2）求的线性无关的特征向量。（3）将进行施密特正交化和规范化得，令。（4）。（一） 正定矩阵与正定二次型1.定义 二次型f(x1,x2,xn)称为正定二次型,如果当x1,x2,xn不全为时,一定有f(x1,x2,xn)>0.如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为正定矩阵, 于是A为正定矩阵也就是满足性质:当X¹0时,一定有X TAX>0.二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.2.性质与判断（充分必要条件） 实对称矩阵A正定Û合同于单位矩阵. Û存在可逆矩C,使得A=CTC.ÛA的正惯性指数等于其阶数n.ÛA的特征值都是正数.ÛA的顺序主子式全大于0.顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r个(或称r阶)顺序主子式即A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|Ar|.

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