高数经济数学微积分第二版

1、上页上页目录目录下页下页第一章函数与极限上页上页目录目录下页下页第三节第三节 函数的极限函数的极限 一、一、 x无限趋近于无限趋近于x0时，函数时，函数f(x)的极限的极限二、二、当当x无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)的极限的极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质上页上页目录目录下页下页引例引例1 1函数函数1( )f xx可以看到在可以看到在 的值无限增的值无限增大的时候，函数大的时候，函数 的值的值无限接近无限接近于零于零. .( )f xx引例引例2 2函数函数21( )1xf xx可以看到在可以看到在 无限接近于无限接近于1 1时，函数时，函数 的值的值无限无限接近于接近于2

2、.2.( )f xxx f xx f xx上页上页目录目录下页下页一、一、x无限趋近于无限趋近于x0( )( )时，函数时，函数f( (x)的极限的极限 0 xx当当 时，时，f(x)以以A为极限，为极限，xx0( )f xA 既是说，对任意给定的既是说，对任意给定的 当当x接近于接近于x0到到某一某一“程度程度”后后，0, 恒成立恒成立. .关键的问题是：关键的问题是：如何描述如何描述 xx0的的“程度程度”以及这个以及这个“程度程度”之后之后.0 xx 0 xx ( )f xA 在在x无限趋近于无限趋近于x0的过程中的过程中,当变化到当变化到某一某一“程度程度”( )，,之后之后相应地相应

3、地函数值与常数函数值与常数A的的距离距离0，, 0对任给的对任给的记作记作 0fxA xx或或 0lim.xxfxA存在常数存在常数A，函数函数f(x)在在 的右邻域有定义的右邻域有定义, ,0 x当当 时，时， 00 xx fxA恒成立恒成立, , 则称则称A为为 时时0 xxf(x)的的右右极限极限. . A A 0 x请类似请类似地给出地给出左极限左极限的定义的定义右极限：右极限： xyO0 xA 0 x上页上页目录目录下页下页A A A 0 x左极限与右极限统称左极限与右极限统称单侧极限单侧极限 . 根据极限的定根据极限的定义，显然有义，显然有 0limxxfxAxO0 x 0 x 0

4、0lim, limxxxxfxfx都存在且都等于都存在且都等于A. .总存在总存在0，, 0对任给的对任给的记作记作 0fxA xx或或 0lim.xxfxA存在常数存在常数A，函数函数f(x)在在 的左邻域有定义的左邻域有定义, ,0 x当当 时，时， 00 xx fxA恒成立恒成立, , 则称则称A为为 时时0 xxf(x)的的左左极限极限. . 左极限：左极限： y上页上页目录目录下页下页根据根据f( (x) )的特点，的特点， 中的中的f( (x) )能用具体的解析表达能用具体的解析表达式带入吗？式带入吗？ 1limxfx 例例7 732,1,( )sin ,1,xxf xxx 证明证

5、明 不存在不存在. . 1limxfx讨论讨论证明证明因为因为 11limlim325.xxfxx 11limlim sinsin1.xxfxx 函数函数f( (x) )在在x=1=1处的左右极限虽然存在但是不相等，处的左右极限虽然存在但是不相等，所以极限所以极限 不存在不存在. . 1limxfx如何将如何将 中的中的f( (x) )用具体的解析表达式代入？用具体的解析表达式代入？ 1limxfx 呢？呢？ 1limxfx 有办法解决了吗？有办法解决了吗？ 求分段函数求分段函数当当 时的极限时，时的极限时，必须用必须用左、右极限左、右极限.( ),( )( ),xxaf xxxa xa上页上

6、页目录目录下页下页x 将将f(x)=1/x与数列与数列1/n相比，二者的自变量的变化方相比，二者的自变量的变化方式都是无限增大，差异仅在于数列的自变量是式都是无限增大，差异仅在于数列的自变量是“跳跃跳跃”地、仅取正整数趋于无穷，地、仅取正整数趋于无穷，1( )f xx1/n 而对函数，自变量是而对函数，自变量是“滑行滑行”着、着、“一点不落一点不落”地趋于无穷地趋于无穷 二、当二、当x无限增大无限增大( )( )时，函数时，函数f( (x) )的极限的极限x 上页上页目录目录下页下页xNnN 任给任给 , ,总存在总存在正整数正整数N , ,当当nN 时时, , 恒成立恒成立. . 010n

7、xX任给任给 , ,总存在总存在正数正数X , ,当当 xX 时时, , 恒成立恒成立. . 010 x 将它与数列将它与数列1/n相比，二者的自变量的变化方式都相比，二者的自变量的变化方式都是无限增大，差异仅在于数列的自变量是是无限增大，差异仅在于数列的自变量是“跳跃跳跃”地、地、仅取正整数趋于无穷，仅取正整数趋于无穷， 而对函数，自变量是而对函数，自变量是“滑行滑行”着、着、“一点不落一点不落”地趋于无穷地趋于无穷 xX 下面我们来看，对于给定的下面我们来看，对于给定的 ，如何寻找这个，如何寻找这个“程度程度”X.0 相对于数列相对于数列 1/n对函数对函数 y=1/x，我们有，我们有上页

8、上页目录目录下页下页 1 xyO从图中也能直观的看出来从图中也能直观的看出来当当 以后的所有以后的所有x所所对应的距离对应的距离1/x都小于都小于 .1x “程度程度”X= 1 对任意的对任意的 ，要使，要使恒成立恒成立. . xx 1100 为此取为此取X 1, 因此，当因此，当 时，时，函数函数 的极限是的极限是0. 0. x 1( )f xx这个这个“程度程度”唯一吗？唯一吗？不唯一，所有大不唯一，所有大于于 的数都可的数都可以取作以取作X.1 x 1.只需只需当当 x X 时，时，就有就有恒成立恒成立. . x 10上页上页目录目录下页下页总存在总存在 X 0, ,当当x X 时，时，

9、 恒成立，恒成立， fxA 对任意给定的对任意给定的, 0 记作记作 fxA x 或或 lim.xfxA函数函数 在在 有定义有定义, , fx ,a 若存在常数若存在常数A, ,则称则称定义定义1 1这个极限定义这个极限定义中，哪几个词中，哪几个词是最关键的？是最关键的？恒恒任意给定任意给定总存在总存在 fxx 时以时以A为极限为极限. .在在当当x X 时时一般的我们有：一般的我们有：上页上页目录目录下页下页AOx f xA A X 任意给定任意给定 , ,都存在一都存在一个个X, ,当当xX时时, ,函数函数 的的图形都落在以图形都落在以 为中心，为中心，宽为宽为 的带形区域里的带形区域

10、里. . 2 yA fx几何意义几何意义参照着数列极限的几何意义，参照着数列极限的几何意义，请回答：在自变量请回答：在自变量 时，时，函数函数 以以 作为极限的几作为极限的几何意义是什么？何意义是什么？x fxA上页上页目录目录下页下页总存在总存在X0, , 当当x 0, ,当当x X 时，时， 恒成立，恒成立， fxA , 0 函数函数 在在 有定义有定义, , fx ,a 若存在常数若存在常数A, ,则称则称定义定义1 1记作记作 fxA x 或或 lim.xfxA fxx 时以时以A为极限为极限. .在在上页上页目录目录下页下页xyAAAXX的定义：的定义： limxfxA 总存在总存在

11、X0, , 当当|x| X时，时， 恒成立恒成立, , fxA 对任给的对任给的 ，0 记作记作 fxA x 或或 lim.xfxA 存在常数存在常数A， 则称则称f( (x) )在在x 时以时以A为极限为极限. .函数函数f( (x) )当当|x|大于某正数时有定义大于某正数时有定义, , 有时还须考虑自变量有时还须考虑自变量x 既取正值又取负值而绝对值无限增既取正值又取负值而绝对值无限增大大 (记作记作 )时的情况，时的情况，x 类似地有类似地有比较比较 和和 极限的定义，它们的主极限的定义，它们的主要区别是什么？为什么要区别是什么？为什么这里要取这里要取|x|X？x x上页上页目录目录下

12、页下页实际上就是要证明对于实际上就是要证明对于任意给定任意给定的正数的正数 ，存在存在X，满足：当满足：当xX时时证明的关键就在于找到证明的关键就在于找到X. .证明在证明在 时，函数时，函数 以零为极限以零为极限. .例例1 1 1100fxx x 分析分析 10100fxx 证明证明 不妨设不妨设 , 0 x 任给任给 , 0 由于由于 11,100 xx 只需只需 1,x 于是取于是取 1,X 当当xX时，时， 恒成立恒成立. . 0fx 对于证明中用对于证明中用到的到的放大放大的技的技巧你有何体会？巧你有何体会？要使要使 10,100fxx 即即 1,x ?上页上页目录目录下页下页1

13、1、唯一性、唯一性三、函数极限的性质三、函数极限的性质定理定理1 1 如果如果 存在，那么极限是唯一的。存在，那么极限是唯一的。 0lim( )xxf x2 2、局部有界性、局部有界性定理定理2 2 如果如果 存在，存在，那么存在常数那么存在常数 和和 使得当使得当 时，恒有时，恒有 成立成立. .0lim( )xxf xMm 0 00 xx ( )mf xMA0 x 0 x xOy0 xA A Mm上页上页目录目录下页下页如果如果 , , 并且存在常数并且存在常数 ， 当当 时，有时，有 ，那么，那么0lim( )xxf xA 0.A 0 00 xx ( )0f x 推论推论 讨论：讨论：若

14、若 f(x)0，能有，能有A0吗？吗？考察考察( )(0 ).f xx x 3 3、局部保序性、局部保序性定理定理3 3 ( (局部保号性局部保号性) ) 00lim( ),xxf xA ( )0.f x 0, 存在常数存在常数 当当 时时, ,00 xx 上页上页目录目录下页下页 像数列极限那样，函像数列极限那样，函数极限也满足四则运算的数极限也满足四则运算的性质性质. .以以 为例，介绍如下：为例，介绍如下： 0 xx定理定理6 6 如果如果 00lim, lim,xxxxfxAg xB 则则 00lim,lim,xxxxfxg xABfxg xA B 0lim0 .xxfxABg xB5

15、 5、四则运算、四则运算上页上页目录目录下页下页极限的四则运算性质是计极限的四则运算性质是计算极限的一个非常重要的算极限的一个非常重要的工具工具. .例例9 92223lim.1xxxx 求求解解由于由于 2lim(1)10.xx 所以所以 2223lim1xxxx 5. 222lim(23)lim(1)xxxxx 222222limlimlim2lim3limlim1xxxxxxxxxx 例例1010证明证明 02xk ( (k为整数为整数) )时时, , 00limtantan.xxxx 0000lim sinsin, lim coscos0.xxxxxxxx证明证明 02xk 时时, ,

16、 00000sinsinlim tanlimtan.coscosxxxxxxxxxx 由极限的四则运算性质由极限的四则运算性质为何要这为何要这样限制？样限制？上页上页目录目录下页下页例例1212求求 22123lim.1xxxx 解解 221123(3)(1)limlim1(1)(1)xxxxxxxxx 当当x1时时,分母的极分母的极限为零，因此不能直限为零，因此不能直接用四则运算的性接用四则运算的性质质 .13lim1xxx 11lim(3)lim(1)xxxx .422这里为什么这里为什么可 以可 以 ” 约约分分”?注意到本例的分子分母注意到本例的分子分母的极限都是零的极限都是零,由这里

17、由这里的解法的解法,您有何收获您有何收获?不仅分母的极限为不仅分母的极限为0，分子的极限也为分子的极限也为0，出，出现这个结果的原因出现这个结果的原因出在哪里呢？在哪里呢？原来分子、分原来分子、分母都包含了母都包含了x-1这个因式这个因式.这是因为，当这是因为，当x1时，时，x-1只只是趋向于是趋向于0，而，而不等于不等于0.上页上页目录目录下页下页yAx0 xu0u求求 例例13131limsin.xx 6 6、复合函数求极限、复合函数求极限 是一个初等是一个初等函数函数,它是如何由基它是如何由基本初等函数得到的本初等函数得到的?sin(1)x将上面过程一般化将上面过程一般化就可以得到复合函

18、就可以得到复合函数求极限的方法数求极限的方法.这个极限能通过四这个极限能通过四则运算计算吗则运算计算吗?0 xx0uuyA复合函数复合函数 ( ),( ).yf u ug x 0( )( ( ) gg xuxu ( )yf u ( )f g xy 当当 时时, 的极限是什么的极限是什么?这时这时 的极限是什么的极限是什么?x 1ux usin上页上页目录目录下页下页定理定理7 7 3. 000lim( ),lim( );xxuug xuf uA2. 任意的任意的 000(,),xU x 00000(,)() ;U xU x 有有 ， 0( )ug xu 则则00lim ( )lim( ) .xxuuf g xAf u函数函数 由由 与与 复合而成复合而成, ,