---可约的充要条件

1、目录后页返回1 1前页 定理4.5.4 -可约的充要条件 定理4.5.2 -本原多项式性质 定理4.5.3 -高斯引理4.54.5 唯一分解整环上的多项式环唯一分解整环上的多项式环 一、本原多项式及其性质一、本原多项式及其性质 定理4.5.1 -中心定理 定义4.5.1 -本原多项式 例1 例2 二、定理二、定理4.5.14.5.1的证明的证明 定理3.3.4 -商环的性质 定理4.5.5目录后页返回2 2前页 本节中, 我们总假定是 惟一分解整环, 是 DFD的商域. 这一节的主要目的是证明: 定理定理4.5.1 惟一分解整环上的多项式环还是惟 一分解整环. 目录后页返回3 3前页一、本原多

2、项式及其性质一、本原多项式及其性质 定义定义4.5.1 设 101( )nnnf xa xa xa为 上的多项式, 如果 , 则称 D01gcd(,)1na aa( )f x为 上的一个本原多项式本原多项式(primitive polynomial) D式. 例例1 是 上的一个本原多项 32( )235f xxxZ 例例2 是 上 432( )3(1 i)(2i)x4f xxxxiZ的一个本原多项式. 目录后页返回4 4前页 下面给出本原多项式的性质. 定理定理4.5.2 设 是 的商域 上的任一非零 ( )f xDF多项式. (1) 存在 及本原多项式 , 使 rF( ) g xD x .

3、 特别, 如果 , 则 . ( )( )f xrg x( ) f xD xrD (2) 如果另有 及本原多项式 使 1rF1( )g x , 则 是 的单位. 11( )( )f xrg x11r rD 证证 (1) 存在非零元 使 . 设 cD( ) cf xD x目录后页返回5 5前页101( )nnncf xa xa xa令 ， ， 01gcd(,)naa aa1iiba a则 且 ibD011gcd(, ,)nb bb101( )nnng xb xb xb令 则 为本原多项式, 并且如果取 , ( )g x1rc a则 rF目录后页返回6 6前页且 ( )( )f xrg x 又当时

4、, 如果取 , 则 . ( ) f xD x1c raD (2)设 ，且 11111( ,),( ,)ddrc dD rc dDcc1010( ),0,nnng xa xa xa a11010( ),0.nnng xb xb xb b则 . 于是 111( )( )c dg xcd g x101111 01 11gcd(,)gcd(,)nnc da c dac dacd b cd bcd b目录后页返回7 7前页所以 101101gcd(,)gcd(, ,)nnc da aacdb bb而 01gcd(,)1,na aa01gcd(, ,)1nb bb所以 . 从而 为 的单位. 11c dc

5、d1111c dr rdcD 定理定理4.5.3(高斯引理)本原多项式的乘积还是 本原多项式 证证 设 目录后页返回8 8前页2012( ),nnf xaa xa xa x2012( )mmg xbb xb xb x分别是 次与 次的本原多项式. 令 mn2012( )( ) ( ),m nm nh xf x g xcc xc xcx其中， ,0,1,ks ts t kca b kmn 这里, 当 或 时, 规定 及 . sntm0sa 0tb 假定 不是本原的, ( )h x则存在 的不可约元(也 D目录后页返回9 9前页p是素元 ), 使 . |(0,1,)kp c kmn已知 0101g

6、cd(,)1,gcd(, ,)1nna aab bb设 01,na aa及 中最先一个不能被 整除的元素分别为 01, ,mb bbp 与 , 则 kalb01111110 .k lk lk lklklklk lca bababa babab 因为 ,而 |(0,1),|(0,1,1)ijp a ikp bjl， |,|klpap b所以 . |k lpc这与 的选取矛盾. p这就证明了 为本原多项式. ( )h x目录后页返回1010前页 定理定理4.5.4设 为本原多项式. 则 ( ) f xD x 在 中可约的充分必要条件 是在 中 ( )f x D x( )f x F x可约. 证证必

7、要性是显然的, 下面证充分性. 设 在 上可分解为两个次数较低的多项式 ( )f xF的乘积 ( )( ) ( ), ( ), ( ) f xg x h xg x h xF x其中 . 令 0deg ( ),deg ( )deg( )g xh xf x目录后页返回1111前页11( )( ),g xrg x2 1( )( ),h xr h x其中， ， 为本原多项式, . 则 1( )g x1( )h x12,r rF1 211( )( ) ( )f xrr g x h x 因 ， 都是本原多项式, 1( )g x1( )h x所以 11( ) ( )g x h x也是本原多项式. 又 是本原

8、多项式, 所以 ( )f x 为 中单位. 从而 1 2rruD11( )( )( ( )f xug xh x为 在 中的分解. ( )f x D x目录后页返回1212前页 定理定理4.5.5设 为 上的不可约多项式, 则 ( )p xD 或者是 的不可约元或者是 上的本原不可约( )p xDD多项式. 证证 (1) 如果 . ( )p xaD则因 在 中不可 a D x约, 从而 在 上必不可约. aD (2) 如果 . ( )p xD则因 不可约, 故 必 ( )p x( )p x是本原多项式. 从而 为 上本原不可约多项式. ( )p xD目录后页返回1313前页二、定理二、定理4.5

9、.1的证明的证明 最后我们来给出定理4.5.1的证明由定理4.3.7及其证明可知, 我们只需证明: (1) 的每个非零非单位的元素都可分解为 D x不可约元的乘积(这样就能保证真因子链的有限); (2) 的每个不可约元都是素元. D x 证证(1) 设 是 中的一个非零非单位的 ( )f x D x多项式. 则存在非零元 及本原多多项式 aD目录后页返回1414前页 , 使 . 令 ( ) g xD x( )( )f xag x （当 不是单位时）， 12tad dda（当 时） 12( )( )( )( )sg xp x pxp xdeg ( )0g x 其中 为 的不可约元, (1,2,

10、)id itD 为 上的不可约多项式 ( )(1,2, )ip x isF（由4.4例， 是惟一分解整环，所以 在 F x( )g x 上可分解成不可约多项式之积） F令 ( )( ) 1,2,iiip xrq xis目录后页返回1515前页其中 , 为 上的本原多项式, irF( )(1,2, )iq x isD则 为 上的本原不可约多项式, 且 ( )iq xD1 212( )()( )( )( ).ssg xrrr q x qxq x 因为 , 都是本原的, ( )g x( )iq x所以 为 1 2surrr 的单位. 由此得 D1212( )()( )( )( )tsg xud dd

11、 q x qxq x为 在 上的一个不可约元分解. ( )f xD (2) 设非零多项式 , 为 ( ), ( ) f x g xD x( )p x目录后页返回1616前页 的不可约元, 且 D x( )|( ) ( ).p xf x g x 如果 , 则 不可约, 下证它是素元. ( )p xpDp 由已知, 存在 , 使 ( ) h xD x( )( ) ( )ph xf x g x令 , , , 1( )( )h xch x1( )( )f xaf x1( )( )g xbg x其中 , 为 上本原多项式. , ,a b cD111( ),( ),( )f x g x h xD目录后页返

12、回1717前页则由 111( )( )( )pch xabf x g x知 为 中的单位, 11p c abD所以 . 从而 , abpc|p ab于是 或 . 从而必有 |p a|p b或 . |( )p f x|( )p g x 如果 为 上本原不可约多项式, ( )p xD则 在 ( )p xF上不可约, 所以是 上的一个素多项式. 又在 上, FF也有 目录后页返回1818前页( )|( ) ( )p xf x g x所以必有 或 . ( )|( )p xf x( )|( )p xg x不妨设 , ( )|( )p xf x则存在 , 使 ( ) h xF x( ) ( )( )p x h xf x则有 , 及本原多项式 , , 使 rFaD1( )h x1( )f x11( )( ),( )( )h xrh xf xaf x于是由 11( ) ( )( )rp x h xa