随机变量及其分布东北林业大学

1、第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法然而实际中由一个现象及其统计规律的基本方法然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便律性显得

2、很不方便 本章，我们将引进概率论中的一个重要概念本章，我们将引进概率论中的一个重要概念随机变量随机变量的引进是概率论发展史上的随机变量随机变量的引进是概率论发展史上的重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们用分析的方法来研究随机现象的统计规律用分析的方法来研究随机现象的统计规律 本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及计算，最后给

3、出随机变量函数的分布计算，最后给出随机变量函数的分布2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念一、随机变量的概念 直观上，我们将随机现象的每一种表现，即随机试验直观上，我们将随机现象的每一种表现，即随机试验的每一个可能观察到的结果叫随机事件随机试验的结果的每一个可能观察到的结果叫随机事件随机试验的结果本身有两种表达形式：一种是数值型，一种是描述型为本身有两种表达形式：一种是数值型，一种是描述型为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概律性，我们将随机试验的结果数量化，引

4、入随机变量的概念念. 实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法使其结果与唯一的实数对应起来，将它转化为数值型这使其结果与唯一的实数对应起来，将它转化为数值型这样，不管随机试验可能出现的结果是否为数值型，我们总样，不管随机试验可能出现的结果是否为数值型，我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每一个可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每一个结果都与唯一的实数对应起来为此我们引入以下定义：结果都与唯一的实数对应起来为此我们引入以下定义： 定义定义2.1 设设E是一个随机试验，是一个随机试验， 是由是由E产生的样产生的样本空间，对

5、于任意的本空间，对于任意的 ,X= 是定义在是定义在 上的单上的单值实值函数，则称值实值函数，则称X= 为一个定义在为一个定义在 上的上的随机随机变量变量（Random Variable），简记为），简记为X 一般地，随机变量用大写字母一般地，随机变量用大写字母X,Y,Z表示，其取表示，其取值用小写字母值用小写字母x，y，z，表示表示 设设E是一个随机试验，是一个随机试验， 是由是由E产生的样本空间产生的样本空间.若若X= 为一个定义在为一个定义在 上的随机变量，则对任意的上的随机变量，则对任意的X、 、（、（ ），形如），形如 ； ； ；)(X)(X1x2x21xx 21:xXx xX: 2

6、1:xXx)(X ； ； ； ； ；的都是随机事件的都是随机事件 随机变量引入后，任意随机事件随机变量引入后，任意随机事件 的概率的概率以后就简记为以后就简记为 ，或简记为，或简记为 即即 类似地，类似地， ; . 21:xXx 21:xXx 2:xX xX: xX: :xX :xXPxXP xXP :xXP21xXxP 21xXxP 21:xXxPxXP xXP xXP:xXP二、随机变量的特征二、随机变量的特征1. 随机变量引进以后，任一随机事件就可以用随机变量在实随机变量引进以后，任一随机事件就可以用随机变量在实数轴上的某一集合中的取值来表示，而随机变量是定义在数轴上的某一集合中的取值来

7、表示，而随机变量是定义在样本空间上的样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数样本空间的元素不一定是实数) 一个函数，一个函数，它不同于普通函数，普通函数是定义在实数轴上的一个函它不同于普通函数，普通函数是定义在实数轴上的一个函数，这是二者的差别之一数，这是二者的差别之一.2作为样本空间上的函数，随机变量的取值随试验的结果而作为样本空间上的函数，随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而，随机变定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而，随机变量的取值也有一定的概率，这是随机变量与普通函数的差量的取值也有一定的概率，这是随机变量与普通函数的差别之二别之二.3随机变量

8、的引入，使随机事件的发生可以用随机变量的取随机变量的引入，使随机事件的发生可以用随机变量的取值表示这样，我们可以用随机变量取值的概率来研究随值表示这样，我们可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究，使我们用分析的方法来研究随机机变量取值概率的研究，使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能随机变量是研究随机试验的有效工具试验成为可能随机变量是研究随机试验的有效工具 一般地，随机变量一般地，随机变量X取值的概率称为该随机变量取值的概率称为该随机变量X的概率分布要研究随机变量的概率分布要研究随机变量X的概率分布，我们的概率分布，我们就要完成如下两件事：就要完成如下两件事： 1随机变量的取值范围是什么？随机变量的取值范围是什么？ 2它取每个值或在某个范围内取值的概率是多它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？少？ 按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两按随