计数原理与排列组合

1、 计数原理与排列组合计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事类办法，那么完成这件事共有N种不同的方法.2. 分步计数原理：完成一件事分成个步骤，那么完成这件事共有N种不同的方法.二、经典例题导讲例1体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）A12 种 B7种C24种 D49种分析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7749种. 应选D 例3三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.解：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选

2、出3个数字，共有8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3216个不同的三位数. 例5 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？解：（1）分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有554100个.（3）分三步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，

3、因此有3种选法；再选百位数字有4种选法；个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有34448个.（4）分三类：一位数，共有6个；两位数，共有5525个；三位数，共有554100个.因此，比1000小的自然数共有625100131个四、典型习题导练1将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（） A种 B种 C18种D36种2某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？ 排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一

4、列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的全排列.3. 排列数：从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用！表示.规定：0！15.组合：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.6.组合数：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式（1）排列数公式（这里、，且）（2）组合数公式（这里、，且） （3）组合数的两个性质规定： 二、疑难知

5、识导析1常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点： 认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法. 弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.解排列应用题的基本思路： 基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数. 常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑

6、法，插空档法，构造法等.4对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.三、经典例题导讲元素多于位置例1 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？分析：原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有151200种坐法.捆绑法和插入法的应用 例4 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女

7、生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？解：从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有种坐法；而大元素内部的小元素间又有种坐法.故共有576种坐法.因为女生互不相邻，故先将4名男生排好，有种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有种排法.故共有1440种排法.类似（1）可得：288种男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的3个空档中，有种排法.故共有144种排法.7个元素的全排列有种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有排法，可知中重复了次，故共有840

8、种排法.本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有840种排法.解排列组合应用题的策略1.相邻问题捆绑法:例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种3.定序问题缩倍法:在问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站

9、在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种

10、B、2025种 C、2520种 D、5040种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数

11、，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例10.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排

12、法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、5