计算机数学基础9

1、§3.2集合的运算及其性质一、集合的运算：（一） 并集：定义7：设A，B是两个集合，所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AÈB;AÈB=x½xÎA Ú xÎB。用文氏图表示如下： A B 图中阴影部分表示AÈB 2：46（二） 交集：定义7：A，B是两个集合，即属于A，又属于B，称为集合A与B的交集，记为AÇB。即AÇB=x½xÎA Ù xÎB用文氏图表示如下： A B 图中阴影部分表示AÇB 3：42显然有： (1)A

2、ÍAÈB，BÍAÈB(2)AÇBÍA，AÇBÍB。(3)AÇBÍAÈB(4)若AÍB则AÇB=A，AÈB=B。 4:56例2：集合A=x½-2x2，xÎR，B=x½0x4,xÎR求AB，AB 。解：AB=x½-2x2或0x4,xÎR =x½-2x4,xÎRAB=x½-2x2且0x4,xÎR =x½0x2,xÎR 6:23例3：设A为奇数集

3、合，B为偶数集合，求AB和AB 。解：AB=x½x是偶数或x是奇数=ZAB=x½x既是偶数又是奇数=Æ例4：设A1=1，2，3，A2=2，1，3，A3=3，1，2，求A1A2，A1A3，A2，A3。解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没有相同元素，A1A2=A2A3=A3A1=Æ不相交：如AB=Æ称A，B不相交。 9：49例5：对任意集合A，B，求证P（A）ÈP（B）ÍP（AÈB）证明："u,uÎP(A)ÈP(B)ÞuÎP

4、(A)uÎP(B)如uÎP(A)ÞuÍA,因AÍAÈB, ÞuÍAÈBÞuÎP(AÈB)类似如uÎP(B)ÞuÎP(AÈB)P(A)ÈP(B)ÍP(AÈB)思考:P(AÈB)ÍP(A)È(B)成立吗?即以上证明过程每一步能推回去吗?解答：uÍAÈB推不出uÍA或uÍB。例：A=1，2，B=3，4，AÈB=1，2，3，4,u=2,

5、3,uÍAÈB成立，但uÍA 且uÍB。16：26关于n个集合的交，并集 nA1ÈA2ÈÈAn记作 È Ak k=1 nA1ÇA2ÇÇAn记作 ÇAkk=1 17:37nÈ Ak=x½$k，1kn，xÎAkk=1nÇ Ak=x½"k，1kn，xÎAkk=1还可以推广到无穷多个，甚至是不可列个集合的交和并。 19:16（三） 差集，补集：定义8：设A，B是两集合，属于A而不属于B的元素全体称为A与B的差集，记

6、作A-B，即A-B=x½xÎAxÎB。设E为全集，E中不属于A的元素的全体称为A的补集,记为A,即A=E-A， A=x½xÎA且xÎE。用文氏图表示如下： A B A E A-B A 22：34例6：求证A-B=AÇB证明A-B=x½xÎAÙÎB=x½xÎAÙÎB=AÇB当A，B不相交时，A-B=A，B-A=B 24：49 （四） 对称差：定义9：设A，B是两集合，集合（A-B）È（B-A）称为集合A，B的对称差，记作A

7、97;B。即AÅB=x½xÎA且xÎBÚxÎB且xÎA AÅB=（AÈB）-（AÇB）文氏图表示如下： A B 将AÈB中同时属于A，B的元素去掉 AÅBÅ与逻辑中的“异或”相类似。 27：52例7：A=a,b,e B=a,c,d解：B-A=c,d A-B=b,e AÅB=c,d,b,e例9：A=x½x<-2,xÎRE=x½x2求A，AÅA。解：A=x½x2ÙØx<-2 =x

8、½-2x2，xÎRAA=ÆAÅA=(A-A)È(A-A)= ÆÈÆ=Æ 30：48例：假定AÅB=AÅC 则有B=C证明:（1）"xÎB如证出xÎc，则BÍC成立分两种情况：（a） 若xÎAÞxÎAÇBÞxÎAÅB(对称差定义)Þ xÎAÅC（因AÅB = AÅC）ÞxÎ(AÈC)或xÎA

9、ÇCÞxÎAÇC(由xÎA故xÎ(AÈC)ÞxÎC(b) xÎAÞxÎAÇBÞxÎAÅB或xÎ(AÈB)ÞxÎAÅB(因xÎB,故xÎ(AÈB)ÞxÎAÅC(因AÅB=AÅC)ÞxÎA-C或xÎC-AÞxÎC-A(因xÎA，xÎA-C)&#

10、222;xÎCBÍC(2)"xÎC,类似可证xÎB,CÍBB=C 36：20二、集合运算性质（运算律）1、 交换律AÈB=BÈA，AÇB=BÇA。2、 结合律（AÈB）ÈC=AÈ（BÈC）。（AÇB）Ç C=A（BÇ C）3、 分配律 AÈ（BÇC）=（AÈB）Ç（AÈC） AÇ（BÈC）=（AÇB）È（AÇC）4、 幂等律A&

11、#200;A=A，AÇA=A5、 同一律AÈÆ=A,AÇE=A6、 零一律AÇÆ=Æ，AÈE=E7、 补余律AÇA=Æ，AÈA=E8、 吸收律AÈ（AÇB）=A AÇ（AÈB）=A9、 德摩根律（AÈB）=AÇB（AÇB）=AÈB10、 双重否定律（A）=A注：A-B=AÇB 39：50用集合相等的定义来证明这些律证明分配律：AÈ（BÇC）=（AÈB）Ç（A

12、ÈC）（1）"xÎAÈ(BÇC ) ,分两种情况（a） 如xÎAÞxÎAÈB且xÎ AÈC ÞxÎ(AÈB)Ç(AÈC) (b) 如xÎA,则xÎBÇCÞxÎB且xÎCÞxÎAÈB且xÎAÈCÞxÎ(AÈB)Ç(AÈC)任何情况下均有xÎ(AÈB)Ç

13、(AÈC)AÈ(BÇC)Í(AÈB)Ç(AÈC)(2)"xÎ(AÈB)Ç(AÈC)ÞxÎAÈB且xÎAÈC下分两种情况（a） 若xÎA,则xÎAÈ(BÇC)（b） 若xÎA，由xÎA,xÎAÈBÞxÎB,由xÎA,xÎAÈCÞxÎCÞxÎBÇC

14、22;xÎAÈ(BÇC)任何情况均有xÎAÈ(BÇC)(AÈB)Ç(AÈC)ÍAÈ(BÇC)(1)(2)合并为 AÈ（BÇC）=（AÈB）Ç（AÇC） 44：18证明一个德摩根律：（AÈB）=AÇB（1）"xÎ (AÈB)ÞxÎAÈBÞxÎA且xÎBÞxÎA且xÎBÞxÎAÇB (AÈB)ÍAÇB(2)"xÎAÇBÞxÎA且xÎBÞxÎA且xÎBÞxÎAÈBÞxÎ (AÈB)AÇBÍ(AÈB) 由（1）（2）得(AÈB)= AÇB 46：43例12：证明吸收律AÇ（AÈB）=A证明：AÇ（AÈB） =（AÈ&#