第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

1、第一节平面向量的概念及其线性运算一、必备知识1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度为的向量，其方向是的(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度且方向的向量(6)相反向量：长度相等且方向的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：ab；结合律：(ab)c减法求a与b的相反向量b 的和的运算aba(b)数乘求实数与向量 a 的积的运算|a|a|，当0 时，a 与 a 的方向相同；当0 时，a 与 a 的方向相反；当0 时，a

2、0( a)；()a；(ab)3共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得二、必记结论一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)0 的模为 0，没有方向()(2)若 ab，bc，则 ac.()二、牛刀小试1若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量2如图，已知 D，E，F 分别是ABC 的边 BC，AB，AC 的中点，则下列说法正确的是()34已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则_考点一向量的概念例 1(1)给出下列命题：若|a|b|，则

3、 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 ABDC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；其中正确命题的序号是()ABCD(2)设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量

4、与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5)非零向量 a 与a|a|的关系：a|a|是 a 方向上的单位向量给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A1B2C3D4考点二平面向量的线性运算平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：考查向量加法或减法的几何意义例 2(2012辽宁高考)已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|

5、a|b|Dabab角度二：向量的线性运算角度三：与三角形相联系求参数角度四：与平行四边形相联系，研究向量的关系平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合平行四边形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)与三角形联系，求参数的值求出向量的和或差与已知条件中的和式比较，然后求参数(4)与平行四边形联系，研究向量的关系画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解考点三共线向量定理的应用例 6设两个非零向量 a 和 b 不共线探究 2若将

6、本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？2已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一直线上，则 t_课堂归纳通法领悟3个等价转化与三点共线有关的等价转化4个注意点向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点(2)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合全盘巩固一、选择题3

7、下列说法正确的是()A若 a，b 都是单位向量，则 abB若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线C若 a 与 b 共线，则|ab|a|b|D若 a 与 b 不共线，则|ab|a|b|4设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|b|b|成立的充分条件可以是()A|a|b|且 abBabCabDa2b5已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 同向Bk1 且 c 与 d 反向Ck1 且 c 与 d 同向Dk1 且 c 与 d 反向二、填空题三、解答题第二节平面向量基本定理及坐标表示一、必备知识1平面向量基本定理

8、如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数1，2，使 a其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab，a，|a|(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 ab二、必记结论1若 a 与 b 不共线且ab0，则0.3平面向量的基底中一定不含零向量一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内

9、的任何两个向量都可以作为一组基底()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(5)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()二、牛刀小试1已知 A(x，1)，B(2，y)，(3，4)，则 xy()A3B3C4D42(2015西宁模拟)若向量 a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则 c()A3abB3abCa3bDa3b3下列各组向量：e1(1，2)，e2(5，7); e1(3，5)，e2(6，10)；e1(2，3)，e212，34 ，能作

10、为表示它们所在平面内所有向量基底的是()ABCD4已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则 m_考点一平面向量基本定理的应用应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的考点二平面向量的坐标运算例 2(1)已知点 M(5， 6)和向量 a(1， 2)， 若3a， 则点 N 的坐标为()A(2，0)B(3，6)C(6，2)D(2，0)(2)已知平面向量 a(1，1)，b(1，1)，则向量12a32b()A(2，1)

11、B(2，1)C(1，0)D(1，2)A(2，4)B(3，5)C(3，5)D(2，4)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量的坐标考点三平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用两向量共线求参数例

12、3(2014陕西高考)设 00，若(a2b)(2ab)，则 x 的值为()A4B8C0D2二、填空题9在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC.已知点 A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则 D 点的坐标为_三、解答题13已知 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求：(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由4平面内给定三个向量 a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2

13、ba)，求实数 k;(3)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc| 5，求 d 的坐标第三节平面向量的数量积一、必备知识1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作，则就是向量 a与 b 的夹角(2)范围：设是向量 a 与 b 的夹角，则.(3)共线与垂直：若0，则 a 与 b；若180，则 a 与 b；若90，则 a 与 b2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab投影叫做向量 a 在 b 方向上的投影，叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影的乘积3.向

14、量数量积的运算律(1)ab；(2)(a)b(ab)；(3)(ab)c4平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab 的充要条件二、必记结论1当 a 与 b 同向时，ab|a|b|.2当 a 与 b 反向时，ab|a|b|.3aaa2|a|2.4|ab|a|b|，当且仅当 a 与 b 共线时，等号成立一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由 ab0 可得

15、 a0 或 b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)abac(a0)，则 bc.()(6)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角或 0；(2)若 ab0，则 a 与 b 的夹角为钝角或 180.4个注意点向量运算中应注意的四个问题(1)在求ABC 的三边所对应向量的夹角时， 要注意是三角形的内角还是外角 如在等边三角形 ABC 中，AB与 BC的夹角应为 120而不是 60.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从 ab0 推出 a0 或 b0 成立实际上由 ab0 可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，ab.(3)

16、实数运算满足消去律：若 bcca，c0，则有 ba.在向量数量积的运算中，若 abac(a0)，则不一定有 bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.全盘巩固一、选择题1已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，则|ab|()A1B. 2C. 3D22(2015汕头模拟)已知向量 a(2，1)，b(1，3)，若存在向量 c 使得 ac4，bc9, 则向量 c()A(3，2)B(4，3)C(3，2)D(2，

17、5)3已知向量 m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A4B3C2D14 (2015 荆 州 模 拟 ) 在 ABC 中 ， C 90 ， 且 CA CB 3 ， 点 M 满 足()A2B3C4D65(2015温州模拟)已知|a|1，ab12，(ab)21，则 a 与 b 的夹角等于()A30B45C60D1207(2015淄博模拟)设单位向量 e1，e2的夹角是 60，ae1e2，be1te2，若向量 a，b 的夹角为锐角，则实数 t 的取值范围是()A(1，1)(1，)B(1，)C(，1)(1，1)D(，1)二、填空题9已知向量 a，b 满足|a|4，|b|2，且(ab)b0，则向量 a 与 b 的夹角为_10 已知向量 a(1， 0)， b(1， 1)， 则与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为_11已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b，若 bc0，则 t_12已知