2022年人教版《正方形的性质》公开课教案

1、18.2.3正方形正方形第第 1 课时课时正方形的性质正方形的性质1掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如以下图)折出一个正方形学生在动手中对正方形产生感性认识， 并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A对角线相等且互相平分B对角线相等且互相垂直平分C对角线互相平分D四条边相等，四个角相等解析： 选项 A 不正确， 菱形的对角线不相等； 选项 B 不

2、正确， 菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项 C 正确，三者均具有此性质； 选项 D 不正确， 矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等应选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质【类型二】 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如以下图，正方形 ABCD 的边长为 1， AC 是对角线， AE 平分BAC， EFAC于点 F.(1)求证：BECF；(2)求 BE 的长解析：(1)由角平分线的性质可得到 BEEF，再证明CEF 为等腰直角三角形，即可证 BECF；(2)设 BEx，在CEF 中可表示出 CE.由 BC1，可列出方程，即可求得 BE.(1)证明

3、：四边形 ABCD 为正方形，B 90.EFAC ， EFA 90.AE 平分BAC， BEEF.又AC 是正方形 ABCD 的对角线， AC 平分BCD，ACB45，FECFCE45，EFFC，BECF；(2)解：设 BEx，那么 EFCFx，CE1x.在 RtCEF 中，由勾股定理可得CE 2x. 2x1x，解得 x 21，即BE 的长为 21.方法总结： 正方形被每条对角线分成两个直角三角形， 被两条对角线分成四个等腰直角三角形， 因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形 ABCD 中， 点 F 是边 AB

4、上一点，连接 DF，点 E 为 DF 的中点连接 BE、CE、AE.(1)求证：AEBDEC；(2)当 EBBC 时，求AFD 的度数解析： (1)根据“正方形的四条边都相等可得 ABCD，根据“正方形每一个角都是直角可得BADADC90，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AEEFDE12DF，根据“等边对等角可得EADEDA，再得出BAECDE，然后利用“SAS证明即可； (2)根据“全等三角形对应边相等可得EBEC，再得出BCE 是等边三角形根据等边三角形的性质可得EBC60，然后求出ABE30.再根据“等腰三角形两底角相等求出BAE，然后根据“等边对等角可得AFDBAE.

5、(1)证明： 在正方形 ABCD 中， ABCD，BADADC90.点 E 为 DF 中点，AE EF DE 12DF ， EAD EDA.BAEBADEAD，CDEADCEDA，BAECDE.在AEB 和DEC 中，ABCD，BAECDE，AEDE，AEBDEC(SAS)；(2) 解 ： AEBDEC ， EB EC.EBBC，EBBCEC，BCE是等边三角形，EBC60，ABE906030.EBBCAB， BAE12(180 30) 75. 又 AE EF ，AFDBAE75.方法总结： 正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数， 要注意分析图形中有哪些

6、相等的线段等探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE 是正方形 ABCD 中BAC 的平分线，AE 分别交 BD、BC 于 F、E，AC、BD 相交于 O.求证：(1)BEBF；(2)OF12CE.解析：(1)根据正方形的性质可求得ABEAOF90.由于 AE 是正方形ABCD 中BAC 的平分线， 根据“等角的余角相等即可求得AFOAEB.根据“对顶角相等即可求得BFEAEB，BEBF；(2)连接 O 和 AE 的中点 G.根据三角形的中位线的性质即可证得 OGBC，OG12CE.根据平行线的性质即可求得OGF FEB ， 从 而 证

7、得 OGF AFO，OGOF，进而证得 OF12CE.证明：(1)四边形 ABCD 是正方形，ACBD ， ABE AOF 90 ，BAE AEB CAE AFO 90.AE 是BAC 的平分线，CAEBAE，AFOAEB.又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)连接 O 和 AE 的中点 G.AOCO，AGEG， OGBC， OG12CE， OGFFEB.AFOAEB，OGFAFO，OGOF，OF12CE.方法总结： 在正方形的条件下证明线段的关系， 通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决【类

8、型二】 有关正方形性质的综合应用题如图，正方形 AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是 CF 延长线上一点，且 ABAD，假设四边形 ABCD 的面积是 24cm2.那么 AC 长是_cm.解析： 四边形 AFCE 是正方形， AF AE ， E AFC AFB 90. 在RtAED和RtAFB中，ADAB，AEAF，RtAEDRtAFB(HL) ，SAEDSAFB.S四边形ABCD24cm2，S正方 形AFCE24cm2，AEEC26AC2 622 624 3(cm) 故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规那么图形的面积转变成我们熟悉的图形

9、面积，从而解决问题三、板书设计1正方形的定义和性质四条边都相等， 四个角都是直角的四边形是正方形对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角2正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣 创设有意义的数学活动， 使枯燥乏味的数学变得生动活泼让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣第 2 课时比例线段1知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)2理解成比例线段的概念；(重点)3掌握成比例线段的判定方法(难点)一、情境导入请观察

10、以下几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、 大小不同的图形它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】根据线段的比求长度如下列图，M 为线段 AB 上一点，AM MB3 5， 且 AB16cm， 求线段 AM、BM 的长度解：线段 AM 与 MB 的比反映了这两条线段在全线段 AB 中所占的份数，由 AMMB35 可知 AM38AB，MB58AB.AB16cm，AM38166(cm)，MB581610(cm)方法总结：此题也可设 AM3k，MB5k，利用 3k5k16 求解更简便，这也是解这类题常用的

11、方法【类型二】比例尺在比例尺为 150 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 3cm，那么甲、乙两地的实际距离是_m.解析：根据“比例尺图上距离实际距离可求解设甲、乙两地的实际距离为 xcm，那么有 150 0003x，解得 x150 000cm1500m.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例以下四组线段中，是成比例线段的是()A3cm，4cm，5cm，6cmB4cm，8cm，3cm，5cmC5cm，15cm，2cm，6cmD8cm，4cm，1cm，3cm解析： 将每组数据按从小到大的顺序排列， 前两条线段的比和后两条线

12、段的比相等的四条线段成比例四个选项中，只有 C 项排列后有25615.应选 C.方法总结： 判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好， 计算前两条线段的比和后两条线段的比， 看是否相等作出判断；(2)把四条线段按从小到大顺序排好， 计算前后两个数的积与中间两个数的积， 看是否相等作出判断【类型二】由线段成比例求线段的长三条线段的长分别为 1cm， 2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式解：因为此题中没有明确告知是求 1，2，2 的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项， 也可能不是前三个数的第四比例项， 因此应进行分类讨论设要求的线段长为 x，假设 x1 22，那么 x22；假设 1x 22，那么 x 2；假设 1 2x2，那么 x 2；假设 1 22x，那么 x2 2.所以所添加的数有三种可能，可以是22，2，或 2 2.方法总结：假设使四个数成比例，那么应满足其中两个数的比等于另外两个数的比， 也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积三、板书设计比例线段线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，C