专题19平面向量的基本定理及其坐标表示-2018年高考数学(文)热点题型和提分秘籍

1、专题19平面向量的基本定理及其坐标表示【高频考点 解读】1. 了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件执占八、八、热点题型一平面向量基本定理及其应用1T例 1、如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC,且 AD = 3BC, E, F 分别为线段 AD 与 BC 的中点。设 BA=a, BC = b,试用 a, b 为基底表示向量 EF, DF , CD。解析:E DGD 二 CF 十胆=為一仙轨【提分秘籍】用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）合理地选取基底是解题必须具备的意识和能力

2、。用基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决。（2）要注意运用平面几何的一些性质、定理来解题。热点题型二平面向量的坐标运算例 2、【2017 课标 3,文 12】在矩形 ABCD 中，AB=1 , AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若APC.5【答案】A设A（01）厨（QO）Q（Z 1）.尸兀y）2d根協等面积公式可得13的半径罡丐J即圆的方程是（入-盯+ h 二彳=-1),55 =2:0)、若滿足1? =AA+JUA5/ . , = -.2=l-j=-y+1 , BP-y+l-z=O二 T222I224点P（x,y ）在圆（x-2）打蔦上，所以圆心

3、到直线的距离所以z的最大值是 3,即九+4 的最大值是 3,故选 A。【变式探究】已知 A( 2, 4), B(3, - 1), C(-3, -4)，设 AB = a, BC = b, CA= c,且 CM = 3c, CN=2b。= AB AD，则 + J 的最大值为A. 3l2-z【解析】如图所示，建立平面直角坐标系11(1)求 3a + b 3c;求满足 a = mb+ nc 的实数 m, n;求 M , N 的坐标及向量 MN 的坐标。解析：由已知得 a= (5, 5), b= ( 6, 3), c= (1, 8)。(1)3a + b 3c = 3(5, 5)+ ( 6, 3) 3(1

4、 , 8) = (15 6 3, 15 3 24) = (6, 42)。(2) / mb+ nc= ( 6m+ n， 3m + 8n)= (5, 5),6m + n= 5,3m + 8n = 5,解析；由已知得尸虫 2(73).(ljaff+ft-3d=3C5一3+( -3)-3Q,一 一324)=(也-42)o(2)：加&+驚=(一划w十一3用+紡)二. 一了),【提分秘籍】向量坐标运算的方法技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用。【举一反三】13已知平面向量 a

5、= (1 , 1), b = (1, 1)，则向量-a 2b=()A ( 2, 1)B ( 2, 1)C ( 1, 0) D ( 1, 2)【答案】D【解析】尙=2 2，2b= 2，一3，+，13故?a= ( 1 , 2)。热点题型三平面向量共线的坐标表示例 3.【2017 课标 II，文 12】已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，贝 Um=1解得n= 1解得仁PA (PB PC)的最小是()34A. -2B.C. 一D. -123【答案】B【解析】如團，以为坤t月C的垂直平分线血为F 轴，。为坐标原点饉立平面直角坐标苍则/他招L巩W qw）,设戸（兀刃成A西=（

6、兀命y）, PB=（-l-x-y）,死二（1兀卩），所以莎+死二（2览2y）,丙（西+花）二2%1-却（石0二2工+% (1)若(a + kc) / (2b a),求实数 k；设 d = (x, y)满足(d c) / (a+ b)且 |d c|= 1,求 d。解析：2)+4, 1=G +2+Jt),2a=2,2a=2,4)-(3, 2)=(-5, 2),.3 + 4A 2+A* =丁(2M匸=(心 y)-(4；l)=(x-4, J- 1), 口+占=Q 4),2_、即yy12-(x-4)。又|rf-c|=l:jc-+J+y-ly-l5= U 二 4(4+誓，瞬+1)或吐(4 一誓丿一萼+1)

7、。【提分秘籍】1 根据向量共线的坐标运算求参数的值利用向量共线转化为含参数的方程，解方程可求参数。2利用向量共线的坐标运算求三角函数值利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解。【举一反三】已知梯形 ABCD，其中 AB / CD，且 DC = 2AB，三个顶点 A(1 , 2), B(2, 1), C(4, 2)，则点 D 的坐标为_ 。【答案】(2, 4)/.6+8A=- 10-54.160把代入，得 5 口一 4 尸二1,片4+誓,【解析】在梯形曲 CD 中*DCIAB,DCIAB, .DC=2AB.DC=2AB.设点。的坐标为 8必则范=仏 2)-(r,肿=(4-乳

8、2妙AB=(2AB=(2f f1)-(1；25=(1,一 1), H4右 2-)=2(1；-1)；即(4阴 2-j)=(2, -2),设A 0,1 ,B 0,0 ,D 2,1 ,P x,y2根据等面积公式可得圆的半径是5解得;I故点D的坐标为卩 AP = (x, y 1 ) AB = (0, 1 ), AD = (2,0 )，若满足【解析】如图以0U为兀轴，的垂直平分线轴D为坐标原点建立平面直角坐标系,时的等边三最形，p弓故选 C 内二AB刊边长2-已-2则半丿)，5(-130),弘 0),诰兀小 所以.冠=(兀語小 丙=(1益刃， 西的坐运；平所向量基十定理(2 兀2刃，冠(丽十葩)=2汙2

9、”击=2/十20 232=i4349(A)(B)(C)(D)44BM37+肋2b2b=的最大值是（）【考点】 平面向量的运算【答案】B【解析】6线 DA 再兀轴建立平面直角坐标系，如團所示则 A2_ 0）列1，吗，U（】”设屮（兀由已却网得（3又1网二（田）*丫十3,它表示圆（2+戸二1上的点（厂 刃与点（一1-3,C(03f) A? = d- 0)+4(0, 1) = (1, 4)即/U 4)t所臥丙=C-1. -4)；PC=(-L t-4),因此丙一死= 1 1牡+15 = 17丄十呦因为tt? + 4t2Z=4,所PB PC 的最丈值等于13,3- = 4/,即“1时取等号./ 2【20

10、15 高考湖北，文 11】已知向量刃丄而，|鬲|=3，则OAOli =【答案】9【解析】因为1 丽，|刃|= 3 ,所以刃面二鬲(鬲卜乔)=|忑尸4CM*E/icS|2= 33=91. (2014 重庆卷)已知向量a= (k, 3), b = (1, 4), c= (2, 1)，且(2a 3b)丄 c,则实数 k=()9A. 2 B . 0ill. 11_【2015 咼考福建，文 9】已知ASXAC,A6 = -,舁c|t的最大值等于()，若 F 点是A.4BC所在平面内一点，且C. 19【答案】AD . 21(%【答案】C【解析】 2a 3b = 2(k, 3)- 3(1, 4) = (2k

11、 3, 6)，又(2a 3b)丄 c,. (2k 3) 2+ (-6) = 0,解得 k= 3.2.(2014 福建卷)在下列向量组中，可以把向量a = (3 , 2)表示出来的是()A.ei= (0, 0), e2= (1, 2)B.ei= ( 1, 2), e2= (5, 2)C.e1= (3, 5) , e2= (6 , 10)D.e1= (2 , 3) , e2= ( 2 , 3)【答案】B【解析】由向量共线定理，选项 A, C , D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项 B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选 B.和点2n，-(1)求 m , n 的值;将 y = f(x)

12、的图像向左平移林 0v K n个单位后得到函数y= g(x)的图像,若 y= g(x)图像上各最高点到点(0 , 3)的距离的最小值为 1,求 y= g(x)的单调递增区间.3.(2014 山东卷)已知向量a= (m,cos 2x),b= (sin 2x,n),函数 f(x)= a b，且 y= f(x)的图像过点【解析】由題意知x）=msm2r + oE 因如*的團像过点闾和点停，-2）,田=屈 1 卑十 ncas. 4nt4兀2 二 /nstn-+ /icos-?迅1 亍 M-尹解得n=l-cos2JL2si2r+I 由题意知丿於）=兀疋+何=2sin2x+帥+旨.i-S.的團像上符合题青

13、的最高点为（W, 2）.由题青知 bJ8+1=1.所以.助=6即到点(0, 3)的距离为 1 的最高点为(0, 2).将其代入 y= g(x)得，sin2(j)+才=1.因为 00n,所以片三6因此，g(x)= 2sin (2x + 寸卜 2cos 2x.n由 2kn nW2 2 nkZ 得 kn?wx 威nkZ,所以函数 y= g(x)的单调递增区间为knnkn，,k乙4._ (2014 陕西卷)设 09设 OP = mAB + nAC（m, n R），用 x, y 表示 m n,并求 m n 的最大值1已知向量 a=(2, 4), b=(-1 , 1)，则 2a-b=()A.(5, 7)B

14、.(5, 9)C.(3, 7)D.(3 , 9)【解析】选 A.2a-b=2(2 , 4)-(-1 , 1)=(5 , 7).2 在厶 ABC 中，已知 A(2 , 1), B(0 , 2), ； =(1 , -2)，则向量丨=()A.(0 , 0)B.(2 , 2)C.(-1 , -1)D.(-3 , -3)【解析】选 C.因为 A(2 , 1), B(0 , 2),+ I所以=(-2, 1).T I又因为 =(1 , -2),所以 =+=(-2 , 1)+(1 , -2)=(-1 , -1).3 若向量 a=(2 , 1) , b=(-2 , 3),则以下向量中与向量2a+b 共线的是()

15、A.(-5, 2)B.(4，10)C.(10，4)D.(1，2)【解析】选 B.因为向量 a=(2，1)，b=(-2，3)，所以 2a+b=(2，5).又(4，10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以 B 项与 2a+b 共线.4.已知 a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，则 c 可用 a 与 b 表示为()A.a+bB.2a+3bC.3a-2bD.2a-3b【解析、迭C-因为3=1J% -lh所決心时 j2an-3b=2(l?lhX-b2H1J32b-3(l,2a-lb=2(l； 1) 3(-1, 2)-(5,故选G| TTff*5 在厶 ABC 中，点 P 在 BC 上，

16、且W点 Q 是 AC 的中点，若旳=(4，3)，叫=(1，5)，则处=( )A.(-2 , 7)B.(-6, 21)C.(2, -7)D.(6, -21)【解析】选B.由条件知，Pf：=2PQ 旳=2(1 , 5)-(4 , 3)=(-2 , 7),rrTrr因为 ”=2“=(-4，14)，所以肮=貯 + =(-6，21).6 在厶 ABC 中，已知 a, b, c 分别为/ A , / B , / C 所对的边，S ABC 的面积，若向量 p=(4 ,2 2 2a +b -c ), q=(1 , S)满足 p/ q，则/ C=( )JTJTJT3?rA.B.C.D.【解析】选 A.因为向量

17、p=(4, a2+b2-c2), q=(1 , S)满足 p / q, 所以 a2+b2-c2-4S=0,即 4S=a2+b2-c2,1则 4XabsinC=a2+b2-c2,2a b若；=x +（1-x）；，则 x 的取值范围是（）则WAO-A&-BO-AB BC=止盼k (AC-ABX1 - k)ABH-X AC又AOABHIJAC,且血，N 不共绑 于是有日 扎（. 0）,即耳的取值范围是（.0）一8.设 e1， e2是平面内一组基向量，且 a=e1+2e2， b=-e1+e2，若 e1+e2=xa+yb，贝 U x+2y= ()1D.0【解析】选 D.因为 e1+e2=xa+y

18、b.a=e1+2e2, b=-e1+e2,所以 ei+e2=x(e1+2e2)+y(-ei+e2)即 sinC=cosC,则 tanC=1 , 解得/nC=.7 在厶 ABC中 占I）D 在线段 BC 的延长线上，且 R：=3 匚。 ，点 0 在线段 CD 上（与点 C, D 不重合）,A.(l0C【解析】 选D如團一B.4 D.依題創 设BO-BC,其中1扎1B.jC.1=(x-y)e 计(2x+y)e2.2x = -f3故x+2y= +2 x3 丿=o.1 9已知 A(7, 1)、B(1 , 4)，直线 y=ax 与线段 AB 交于 C,且恥=2CB，则实数 a 等于【答案】2【解析】设

19、c(巧 y),则AC=(X.-7?y-l)?CRi-x, w所吨二曙辭弋二又 G 点在直线尸轨上10如图所示，A , B , C 是。O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于。【答案】(-1 , 0)由平面向量基本定理，得= 1,十 y = l,O 外的一点D，若TOCR R【解析】因为线段co的延长线与线段BA的延长线的交点为D,-4I贝ijOItDC;因为D在圆外：所以21又D, A, E共绳故存在 X 使得OXOA-FUCIB,g X +11 =1, x 0C=m0A4nD K,T =+jI2L所以tmOA+tnPEH X 0A+ pi OB.所以nrti=所以m+n

20、E(-l, 0).m11.已知向量 a=(2, 3), b=(-1 , 2),若 ma+nb 与 a-2b 共线，则=1【答案】卫【解析】ma+nb=(2m , 3m)+(-n , 2n)=(2m-n , 3m+2n) , a-2b=(2 , 3)-(-2 , 4)=(4, -1).2m - n| 3 m +所以 n-2m=12m+8n，所以的值为【答案】11 或-212设 O 是坐标原点，已知=(k，12)，Of?=(10, k),oc=(4 , 5)，若 A , B, C 三点共线，则实数 k-1由于ma+nb4【解析】由题意得= =(k-4 , 7),CB_OB OC=(6，k-5),所

21、以(k-4)(k-5)=6X7,k-4=7 或 k-4=-6，即 k=11 或 k=-2.13在平面直角坐标系中,1O 为坐标原点,2 r1 rAC-OA-onT=3，则的【答案】且满足I的T _故 C 为 BA 的靠 A 点的三等分点，因而 1-114.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（1 , 0）, （0, 1）, （2, 1），则其第四个顶点的坐标为【答案】（3，0）或（1，2）或（-1，0）1解析】设也仍，B0, 1）, C（2, I）,第四个顶点 g,y）,由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不艇丿讨论如下：若羽亍四边形为ABCD?则心基因1?DK2-X, 1-y),若平行四边形沏

22、ABDCWB=CD.因旳址气，1）；匚（兀-2，y-L）i所以3Oq=2OA+OB所以r2 -x = -l4-y=i,【解析】 由已知得,即.#：$ =2（：“-）,即弐-2.如图所示:解得x 1,z乙即若平行四边形为 ACBD, iJAC=DE.因为心 1, 1), DB=(-x, 1-yJ,m( (7x = x 解得 F rb即Dox 丄y 二 1* Ly 二 0，15.已知 a=(1, 0), b=(2 , 1),(1)当 k 为何值时，ka-b 与 a+2b 共线.F If若 =2a+3b, ； =a+mb，且 A , B , C 三点共线，求 m 的值.【解析】(1)ka-b=k(1

23、 , 0)-(2, 1)=(k-2 , -1),a+2b=(1 , 0)+2(2 , 1)=(5 , 2).因为 ka-b 与 a+2b 共线，所以 2(k-2)-(-1)X5=0 ,1即 2k-4+5=0，得 k=2因为 A, B, C 三点共线，所以 川/肮.所以存在实数 入，使得 2a+3b=入(a+mb)=入 a+入 mb, 又 a 与b 不共线，扎2所以 P = 解得 m=16在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a=(2 , 1), A(1 , 0),B(cos0 ,t),1一 (1)若 t=-4, 0(0, n),a/,求0的值.f I若 a / ,求 y=cos20-cos0+t2的最小值.s-【解析】 因为 =(cos0-1, t),又 a / ，所以 2t-cos0+仁 0. 所以 cos0-1=