立体几何复习

1、立体几何立体几何立体几何立体几何平面平面的基本性质的基本性质基本性质基本性质1 1 如果一条直线上有两点在一如果一条直线上有两点在一个平面内，个平面内， 那么那么这条直线上所有的点都在这条直线上所有的点都在这个平面内这个平面内ABl位位 置置 关关 系系符符 号号 表表 示示点点 P 在直线在直线 AB 上上点点 C 不在直线不在直线 AB 上上点点 M 在平面在平面 AC 内内点点 A 不在平面不在平面 AC 内内直线直线 AB 与直线与直线 BC 交于点交于点 B直线直线 AB 在平面在平面 AC 内内直线直线 AA 不在平面不在平面 AC 内内P ABC ABM 平面平面 ACA 平面平

2、面 ACAB BCBAB 平面平面 ACAA 平面平面 AC基本性质基本性质2 2 如果两个不重合的平面有一个公共如果两个不重合的平面有一个公共点点，那么，那么它们有且只有一条过该点的公共直线它们有且只有一条过该点的公共直线lPlP且,作用：作用： 判断两个平面相交的依据；判断两个平面相交的依据； 判断点在直线上判断点在直线上lP基本性质基本性质3 3过不在一条直线上的三点，有且只有过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面一个平面ACB基本性质基本性质3 3也可简单说也可简单说成成: :不不共线的三点确定一个平面共线的三点确定一个平面 不在一条直线上的三个点不在一条直线上的三个点 A，B，C

3、所确定的平面，所确定的平面，可以记成可以记成“平面平面 ABC”立体几何立体几何立体几何立体几何空间空间中的平行直线中的平行直线即如果直线即如果直线 a / b，c / b，则，则 a / c (如图如图)abc一平行线的基本性质一平行线的基本性质1平行公理平行公理过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行2空间平行线的传递性空间平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行ACBD空间四边形空间四边形 不共面不共面的四点的四点 A，B，C，D顺次连接顺次连接所构成的图形，叫做所构成的图形，叫做空间四边形空间四边形顶

4、点：顶点：A，B，C，D空间四边形的边：空间四边形的边：线段线段AB，BC，C D ，DA对角线对角线：线段线段AC，BD记作：记作：空间四边形空间四边形 ABCD1定义定义 ，则就说图形，则就说图形 F 在空间中在空间中作了一次平移作了一次平移(如图如图)FF二空间中图形的平移二空间中图形的平移如果空间图形如果空间图形 F 中的所有点都沿同一方向移动相中的所有点都沿同一方向移动相同的距离到同的距离到 F 的的位置位置2空间图形平移的空间图形平移的性质性质图形图形平移后与原图形相等平移后与原图形相等对应对应两点的距离和对应角保持不变两点的距离和对应角保持不变立体几何立体几何立体几何立体几何异面

5、直线异面直线一一异面直线的定义异面直线的定义我们把不同在任何一个平面内的两条直线我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做叫做异面直线异面直线位位 置置 关关 系系共共 面面 情情 况况公公 共共 点点空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系 相相 交交 直直 线线平平 行行 直直 线线异异 面面 直直 线线在同一平面内在同一平面内在同一平面内在同一平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内有且只有一个有且只有一个没没 有有没没 有有二异面直线的判定方法二异面直线的判定方法连接平面内一点与平面外一点的直线和这个连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线

6、平面内不经过该点的任意直线是异面直线A lBababOabaO三异面直线夹角三异面直线夹角我们把我们把 a 和和 b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做直线叫做直线 a，b 所成的角或夹角所成的角或夹角为了简便，点为了简便，点 O 常取在两条异面直线中的一条上常取在两条异面直线中的一条上如果如果两条直线两条直线平行平行,我们我们说它们所成的角或夹角为说它们所成的角或夹角为 0 如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是直角直角,我们我们就说两条异面就说两条异面直线互相垂直直线互相垂直两条互相垂直的异面直线两条互相垂直的异面直线 a，b，记记作作 a b 立体几何立体几何立体几何

7、立体几何直线与平面平行直线与平面平行一直线与平面的位置关系一直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内直线与直线与平面相交平面相交位置关系位置关系直线与直线与平面平行平面平行公共点公共点有无数个公共点有无数个公共点只有一个公共点只有一个公共点没有公共点没有公共点图形表示图形表示aaaA符号表示符号表示 a a / a =Aa 二二直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理如果一个平面外的一条直线和平面内的一条直线平行如果一个平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么，那么这条直线和这个平面平行这条直线和这个平面平行用符号表示为：用符号表示为：若若 l ，m ，且，且 l / m，则

8、，则 l / lm 三直线与平面平行的性质定理三直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行用符号表示为：用符号表示为：若若 l / ，l ， m ，则则 l / m lm 立体几何立体几何立体几何立体几何平面与平面的平行关系平面与平面的平行关系位位 置置 关关 系系两平面平行两平面平行两平面相交两平面相交公公 共共 点点没有公共点没有公共点有一条公共直线有一条公共直线符符 号号 表表 示示 / a图图 形形 表表 示示 a 一

9、平面与平面的位置关系一平面与平面的位置关系 二平面与平面平行的判定定理二平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一一个平面个平面，那么这两个平面平行，那么这两个平面平行用符号表示为：用符号表示为：若若 a ，b ，a bP，a / ，b / ，则则 / P a Pb ba推推 论论如果一个平面内有两条相交直线分别平如果一个平面内有两条相交直线分别平行行于另于另一个平面内的两条直线，则这两个平一个平面内的两条直线，则这两个平面平行面平行用符号表示为：用符号表示为：如果如果 a ，b ，a bP， a ，b ，a / a ，b / b

10、 ，那么，那么 / P a Pb ba ab三平面与平面平行的性质定理三平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则则它们的交线平行它们的交线平行立体几何立体几何立体几何立体几何直线与平面垂直直线与平面垂直B 一空间直线与平面垂直的定义一空间直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何直线都如果一条直线和一个平面内的任何直线都垂直垂直，我们，我们就说这条直线与这个平面互相垂就说这条直线与这个平面互相垂直直垂面垂面垂足垂足垂线垂线Al mn二直线与平面垂直的判定定理二直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直如果一

11、条直线与一个平面内的两条相交直线线垂直，则垂直，则该直线与此平面垂直该直线与此平面垂直用符号表示为：用符号表示为：若若 m ，n ， m nA， l m，l n，则则 l 推推论论 如果在一组平行直线中，有一条直线垂直于如果在一组平行直线中，有一条直线垂直于平面平面，那么，那么另外的直线也都垂直于这个平面另外的直线也都垂直于这个平面b mnaAlmB A三直线与平面垂直的性质定理三直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面如果两条直线同时垂直于一个平面，那么，那么这两条直线平行这两条直线平行用符号表示为：用符号表示为：若若 l ，m ，则，则 l / m立体几何立体几何立体几何立

12、体几何直线直线与平面所成的角与平面所成的角如果如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，那么这条直线叫做这个平面的斜线 一平面的斜线一平面的斜线 aAB从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足垂足和斜足的和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面和平面所成的所成的角角(或夹角或夹角) O如果直线垂直于平面，则规定如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直线与平面所

13、成的角是直角直角(90 )；如果直线和平面平行，或在平面内，如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是则规定直线与平面所成的角是 0 的角的角aAaaPA Oa三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PA Oa三三垂直定理的逆定理：垂直定理的逆定理：在在平面内的一条直线，如果和这个平面的一平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜条斜线线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 立体几何立体几何立体几何立体几何平面

14、平面与平面所成的角与平面所成的角一二面角一二面角 平面平面内的一条直线把这个平面分成两个部分内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中其中的每一部分都分别叫做一个半平面的每一部分都分别叫做一个半平面 从从一条直线出发的两个半平面所组成的一条直线出发的两个半平面所组成的图形图形叫做叫做二面角二面角 ABC D l棱棱面面面面二二面角的平面角二二面角的平面角射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角二面角的平面角 lOAB 我们约定，我们约定，二面角二面角 的大小范围是的大小范围是 0 180 平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角 lOAB 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度 lOAB 立体几何立体几何立体几何立体几何平面平面与平面垂直与平面垂直用符号表示为：用符号表