立体几何知识点归纳和例题

1、P.F. Productions 1P.F. Productions 2问题(1)是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出 实际例子。CADB两直线没有公共点， 则它们平行；(2)请判断下列命题是否正确：垂直于同一条直线的两 条直线平行。P.F. Productions 31、平面图形与立体图形的联系与区别：联系：从集合论的角度看，两者都是点的集合；区别：平面图形由点、线构成，而立体图形是由点、 线、面构成。平面图形的点都在一个平面内，而立体图形 的点不全在一个平面内；P.F. Productions 42、立体图形的研究方法考虑问题时，要着眼于整个空间，而不是局限于某 一个平面；立体图形

2、的问题常常转化为平面图形问题来解决。P.F. Productions 53、学习要点 搞清平面图形和立体图形的联系与区别； 发展空间想像能力； 提高推理论证能力。P.F. Productions 64、立体几何的主要思想方法类比法：要善于与平面几何做比较，认识其相同点，发现 其不同点，这种思想方法称之为类比思想。转化法：把空间图形的问题转化为平面图形问题去解决，这是学习立体几何的很重要的数学思想方法。展开法：将可展的空间图形展开为平面图形，来处理问题的思想方法称为展开思想。P.F. Productions 714.1(1) 平面的基本性质P.F. Productions 8一、平面一个平面把空

3、间分成两部分。 一条直线把平面分成两部分。2、平面的特征：无厚度、无边界、无长度、无宽度 (不能度量)；无限延展的；1、平面的概念：不定义的原始概念P.F. Productions 93、平面的画法：通常用平行四边形来表示平面。4、平面的表示方法：垂直放置水平放置平面 M平面 ABCDADBCM平面 CDBA倾斜放置DACBP.F. Productions 105、相交平面的画法：注意：必须画出其交线，被遮部分的线段画成虚线 或者不画。P.F. Productions 11二、点与线、点与面的位置关系（集合语言表示法）)( BA记记作作：点P在(不在)直线 l 上，)(lQlP 记记作作：lP

4、QAB点A在(不在)平面 上，P.F. Productions 12 l三、线与面的位置关系（集合语言表示法）三、线与面的位置关系（集合语言表示法）(1)直线直线 l 在平面在平面 上上(或平面或平面 经过直线经过直线 l )： 直线直线 l 上的所有点都在平面上的所有点都在平面 上。上。 l记记作作：P.F. Productions 13(2)直线直线 l 在平面在平面 外外 直线直线 l 与在平面与在平面 相交相交: 直线直线 l 与平面与平面 只有一个公共点。只有一个公共点。 Pl 记记作作：Pl P.F. Productions 14直线直线 l 与在平面与在平面 平行平行 : 直线直

5、线 l 与平面与平面 没有公共点。没有公共点。 lll或记作： /P.F. Productions 15直线与平面的位置关系（集合语言表示法）直线与平面的位置关系（集合语言表示法）(1)直线直线 l 在平面在平面 上上(或平面或平面 经过直线经过直线 l )： l记记作作：(2)直线直线 l 在平面在平面 外外 直线直线 l 与在平面与在平面 相交相交P: Pl 记记作作：直线直线 l 与在平面与在平面 平行平行 : ll 或或记记作作： /)(上上不在平面不在平面直线直线lP.F. Productions 16四、面与面的位置关系（集合语言表示法）四、面与面的位置关系（集合语言表示法）l 或

6、或记记作作： (1)平面平面 与平面与平面 相交：相交： 空间不同的两个平面空间不同的两个平面 有公共点有公共点P。 、P.F. Productions 17 /或或记记作作： (2)平面平面 与平面与平面 平行：平行： 两个平面两个平面 没有公共点。没有公共点。 、 P.F. Productions 18平面与平面的位置关系（集合语言表示法）平面与平面的位置关系（集合语言表示法）(1)平面平面 与平面与平面 相交于相交于直线直线 l： l 记记作作：(2)平面平面 与平面与平面 平行：平行： /或或记记作作： P.F. Productions 19 ABl公理公理1 如果直线如果直线 l 上

7、有上有两个点两个点在一个平面在一个平面 上上，那么，那么 直线直线 l 在平面上。在平面上。 l记记作作： BAlBlAl,，平面，平面已知：直线已知：直线 l结结论论：集合语言表述集合语言表述P.F. Productions 20例例1、判断题、判断题如果一条直线上所有的如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那点都在某一个面内，那 么这个面一定是平面；么这个面一定是平面；一个平面一定可以把空间分成两部分。一个平面一定可以把空间分成两部分。直线直线 l 与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 0、1、2； ？两个平面可以把空间分成几部分，三个平面呢？两个平面可以把空间分成几部分，三个平

8、面呢？P.F. Productions 21（唯一）（唯一）结论：结论：、已知：平面已知：平面lPlPP ,l 记作：记作：公理公理2 如果不同的两个平面如果不同的两个平面 有有一个公共一个公共点点P，那么，那么 的的交交集是集是过点过点P 的直线的直线 l 。 、 、P.F. Productions 22例例2、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：、试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： 点点A在平面在平面 上上，但不在平面，但不在平面上；上； 直线直线 l 经过不属于平面经过不属于平面 的点的点A；平面平面 与平面与平面 相相交于直线交于直线 l 且经过点且经过点P。 P.F. Pr

9、oductions 23CDBACDABCDBADCABDCBAABCD 平平面面求求作作：平平面面中中，、已已知知：正正方方体体例例3PQPQCDBADCAB 平平面面平平面面P.F. Productions 24的的交交点点。和和平平面面画画出出直直线线上上，在在棱棱中中，点点、已已知知正正方方体体例例ABCDPACCPDCBAABCD 4CDBACDABPQP.F. Productions 25ABCDEP 例例5、已知、已知D、E分别是分别是ABC的边的边AC、BC上的点，上的点， 平面平面 经过经过D、E两点（如图所示）两点（如图所示） 求作：直线求作：直线AB与平面与平面 的交点的

10、交点P P.F. Productions 26例例1、判断题、判断题如果一条直线上所有的如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那点都在某一个面内，那 么这个面一定是平面；么这个面一定是平面；如果一条直线在如果一条直线在一个面上无论怎样放置，都与这一个面上无论怎样放置，都与这 个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；一个平面一定可以把空间分成两部分。一个平面一定可以把空间分成两部分。直线直线 l 与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 0、1、2； P.F. Productions 14.2(2) 平面的基本性质平面的基本性质P.F. Prod

11、uctions 公理公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面。不在同一直线上的三点确定一个平面。 “有且只有有且只有”、“存在且唯一存在且唯一”、“确定一个确定一个”表示表示 同一个意思同一个意思 ； 说明：说明： ACB 平面平面 与平面与平面 有三个不共线的公共点，那么有三个不共线的公共点，那么 与与 重合。重合。 CBACBA、，存在唯一平面存在唯一平面不共线不共线、P.F. Productions 推论推论1 1、一条直线和直线外的一点确定一个平面一条直线和直线外的一点确定一个平面。 Pl 确确定定一一个个平平面面、求求证证：、点点已已知知：直直线线lPlPPl ,BCP.F. Pro

12、ductions 推论推论2、 两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。 Pab确确定定一一个个平平面面、求求证证：已已知知：baPba ABP.F. Productions 推论推论3、 两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。 1l2l确确定定一一个个平平面面、求求证证：已已知知：2121/llllAP.F. Productions 例例1、回答下列问题、回答下列问题三条直线相交于一点，可以确定多少个平面？三条直线相交于一点，可以确定多少个平面？两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？三点可以确定多少个平面？三点可以确定多少个

13、平面？四点可以确定多少个平面？四点可以确定多少个平面？1 或或 31 或或 31 或或 不确定不确定1 或或 4 或或不确定不确定三个平面将空间分成的部分可能有几种？三个平面将空间分成的部分可能有几种？4 或或 6 或或 7 或或 8P.F. Productions 例例2、判断下列命题的真假，真的打、判断下列命题的真假，真的打“”，假的打，假的打“” (1)空间三点可以确定一个平面空间三点可以确定一个平面 (2)两条直线可以确定一个平面两条直线可以确定一个平面 (3)两条相交直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面 (4)一条直线和一个点可以确定一个平面一条直线和一个点可以确定一个平

14、面 (5)三条平行直线可以确定三个平面三条平行直线可以确定三个平面 (6)两两相交的三条直线确定一个平面两两相交的三条直线确定一个平面 (7)两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 (8)若四点不共面，那么每三个点一定不共线若四点不共面，那么每三个点一定不共线 P.F. Productions 例例3、已知不共点的三条直线两两相交，、已知不共点的三条直线两两相交， 求证：这三条直线共面。求证：这三条直线共面。 1l2l3lABCP.F. Productions 例例4、已知：一条直线和两条平行线都相交，、已知：一条直线和两条平行线都相交， 求证

15、：这三条直线共面。求证：这三条直线共面。BAabl 证明直线共面的常用方法：证明直线共面的常用方法：1、先由这些直线中的某些直线确定一个平面；、先由这些直线中的某些直线确定一个平面； 然后证明其他直线都在这个平面上。然后证明其他直线都在这个平面上。2、先证明这些直线分别在两个（或几个）平面上；、先证明这些直线分别在两个（或几个）平面上； 然后证明这两个（或几个）平面重合。然后证明这两个（或几个）平面重合。P.F. Productions P1Q1PQOabO1a1b1特征：方向相同特征：方向相同相相等等或或直直角角角角所所成成的的锐锐、或或直直角角所所成成的的锐锐角角、求求证证：，且且，已已知

16、知：直直线线)()(/,/,bababbaaObaOba P.F. Productions BCAACDDCBAABCD 求证：求证：中，中，、已知长方体、已知长方体例例3CDBCDABAP.F. Productions 14.2(2)空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系P.F. Productions 问题：空间中的两条直线有几种位置关系？问题：空间中的两条直线有几种位置关系？P.F. Productions 1 1、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系( (不重合）不重合）相交直线相交直线平行直线平行直线异面直线异面直线-有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-在同一平

17、面内在同一平面内, ,没有公共点没有公共点不存在不存在任何任何一个平面；一个平面； 没有公共点没有公共点-不能置于同一个平面内不能置于同一个平面内P.F. Productions 同在一个平面内同在一个平面内相交直线相交直线平行直线平行直线 不同在任何一个平面内：不同在任何一个平面内： 异面直线异面直线 有一个公共点：有一个公共点：相交直线相交直线无无 公公 共共 点点平行直线平行直线异面直线异面直线按平面基本性质分按平面基本性质分按公共点个数分按公共点个数分P.F. Productions 2 2、异面直线的画法、异面直线的画法abbaab说明说明: 画异面直线时画异面直线时 , 为了体现它

18、们不共面的特点。为了体现它们不共面的特点。 常借助一个或两个平面来衬托常借助一个或两个平面来衬托.P.F. Productions 例例1 1、已知：直线、已知：直线 l 与平面与平面 相交于点相交于点A，直线，直线 m 在平面在平面 上，且不经过点上，且不经过点A， 求证：求证：直线直线 l 与直线与直线 m 是异面直线是异面直线 3 3、证明异面直线的方法、证明异面直线的方法 -反证法反证法和定义法和定义法abP.F. Productions ABDC例例2、已知、已知A、B、C、D是不在同一平面内的空间四点，是不在同一平面内的空间四点， 求证：求证：AB与与CD、 BD与与AC、 AD与

19、与BC是异面直线。是异面直线。P.F. Productions 练习练习1 1、选择题、选择题两条直线两条直线a、b分别和异面直线分别和异面直线c、d都相交，则直线都相交，则直线 a、b的位置关系是的位置关系是 ( )A、一定是异面直线一定是异面直线 B、一定是相交直线一定是相交直线C、可能是平行直线可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能是相交直线可能是异面直线，也可能是相交直线一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另 一条的位置关系是一条的位置关系是 ( )A、平行平行B、相交相交 C、异面异面 D、相交或异面相交或异面P.F. Produ

20、ctions 练习练习2、已知长方体中、已知长方体中平行平行相交相交异面异面 BD和和FH是是 直线直线 EC和和BH是是 直线直线 BH和和DC是是 直线直线BACDEFHG(2)与棱与棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是 ：CG、HD、GF、HE思考题思考题：这个长方体的棱中共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?24P.F. Productions 14.2(3)空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系P.F. Productions 1、异面直线所成的角：、异面直线所成的角

21、：对于异面直线对于异面直线a和和b，在空间任取一点，在空间任取一点P，过，过P分别作分别作 a和和b的平行线的平行线 a和和b，我们把，我们把 a与与b所成的锐角所成的锐角（或（或直角）叫做异面直线直角）叫做异面直线a与与b所成的角。所成的角。abPabP PaP.F. Productions 异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围：当两条直线所成角为直角时，则当两条直线所成角为直角时，则a与与b垂直。垂直。记作：记作：ab说明：说明：当两条直线所成角为零角时，则当两条直线所成角为零角时，则a与与b平行或重合。平行或重合。 2, 0 P.F. Productions 例例1(1)直

22、线直线AA与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？与与CD，CD，BC，BC是互相垂直的异面直线。是互相垂直的异面直线。(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直呢？另一条直线是否也与这条直线垂直呢？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ABCDABCD垂直垂直平行、异面、相交平行、异面、相交P.F. Productions 2、求异面直线所成角的一般方法、求异面直线所成角的一般方法找出异面直线所成的角找出异面直线所成的角简单

23、说明理由简单说明理由解含解含的三角形的三角形作、证、算作、证、算平移法（常用方法）平移法（常用方法）补形法补形法3、定角一般方法、定角一般方法P.F. Productions 正弦定理正弦定理ABCbc余弦定理余弦定理ABCbcabcacbA2cos222 预备知识预备知识CabSABCsin21 P.F. Productions 例例 2、在正方体、在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E、F分别是线分别是线段段A1B1，BB1的中点，的中点，出下列各对线段所成的角。出下列各对线段所成的角。(1)AB与与CC1(2)A1 B1与与AC(3)A1B与与D1B1B1CC1ABDA1D1=

24、9 0= 4 5= 6 0(4)EF与与D1B1 EF= 6 0(5)AD1与与B1C= 9 0P.F. Productions ABDCA1B1D1C1A1B和和B1C所成角为所成角为60在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？P.F. Productions ABDCA1B1D1C1MN在正方体在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，的中点，求异面直线求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？P.F. Productions 例例 3、在长方体、在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2a， AA1=a，E

25、、F分别是线段分别是线段A1B1、BB1的中点，的中点， 求求出下列各对线段所成角的大小。出下列各对线段所成角的大小。(1)EF与与AD1(2)EF与与B1C(3)EF与与A1C51arccos51arccos35arccosC1D1B1CDABA1EF(4)EF与与AC155arccosP.F. Productions ABDCA1B1D1C1E在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？P.F. Productions ABCDEF例例4、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，AD=BC=2，E、F分分 别是别是AB、CD上的中点，且上

26、的中点，且EF= ，求直线，求直线AD、 BC所成角的大小所成角的大小。36 0MP.F. Productions 思考题：思考题：已知正四面体已知正四面体ABCD中，中，E、F分别是分别是BC、 AD的中点，求的中点，求 (1)直线直线EF、AC所成角的大小；所成角的大小； (2)直线直线AE、CF所成角的大小所成角的大小。CBDAEFM32arccos4 P.F. Productions PABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成的角？所成的角？EP.F. Productions 6114.

27、3(1) 空间直线与平面的位置关系P.F. Productions 62(1)直线在平面内（有无数个公共点）；线面位置关系：平行：相交：l l (2)直线在平面外PlPl（仅有一个公共点）（无公共点）lll或/P.F. Productions 631、线面垂直定义： 一般地，如果一条直线 l 与平面上的任何直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面垂直，记作： l . 直线 l 叫做平面的垂线， 平面叫做直线l的垂面， l 与的交点P叫做垂足.lP画法：画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。 P.F. Productions 64线面垂直直观图的画法：anmaP.

28、F. Productions 652、线面垂直的性质（公理）(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。P.F. Productions 66例1、下列命题是否正确？为什么？(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 那么这条直线与这个平面垂直。(2)如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂 直于这个平面内的无数条直线。 P.F. Productions 673、线面垂直的判断定理-定理 2 如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂直，那么直线 l 与平面垂直。 lblalObaba求求证证：，已已知知：, P.F. Produc

29、tions 68 lblalObaba求证：，已知：, lOabgP1PlABCP.F. Productions 69例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。ab baba求证：求证：已知：已知：,/,namanma在 上作两条相交直线 PnmmnPPnmnbmbba,/bP.F. Productions 70例例3、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是AA1、 CC1的中点，判断下列结论是否正确？的中点，判断下列结论是否正确？ AC面面CDD1C1 AA 1面面A1B1C1D1AC面面BDD1B1 EF面面BDD1B1

30、 ACBD1BDA1FP.F. Productions 71例例4、已知点、已知点P是平行四边形是平行四边形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，O 是对角线是对角线AC与与BD的交点，且的交点，且PA=PC，PB=PD。 求证：求证：PO平面平面ABCDBDCPAOP.F. Productions 72求证：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在求证：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面上的射影垂直，平面上的射影垂直， 那么这条直线就和这条斜线垂直。那么这条直线就和这条斜线垂直。ABDEBCDEDECBABACAB 求证：求证：上的射影是上的射影是在平面在平面，平面平面的

31、一条斜线，的一条斜线，是平面是平面已知：已知：,逆命题是：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜逆命题是：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面上的射影垂直。线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面上的射影垂直。 lBACDEP.F. Productions 73小结小结 1、线面垂直的定义、线面垂直的定义 2、线面垂直的判断定理、线面垂直的判断定理P.F. Productions 7414.3(2) 空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系P.F. Productions 75复习复习 线面垂直的定义线面垂直的定义 线面垂直的判断定理线面垂直的

32、判断定理P.F. Productions 76空间图形中的有关距离：空间图形中的有关距离： 1、点、点 M 和平面和平面 的距离的距离 设设M是平面是平面 外一点，过点外一点，过点M作平面作平面的垂线，的垂线，垂足为垂足为N，我们把点，我们把点M到垂足到垂足N之间的距离叫做之间的距离叫做点点M和平面和平面 的距离。的距离。 MNP.F. Productions 772、直线、直线l和平面和平面 的距离的距离 设直线设直线 l 平行于平面平行于平面 ，在直线，在直线 l 上任取一点上任取一点M，我们把点我们把点M到平面到平面 的距离叫做的距离叫做直线直线 l 和平面和平面 的距离。的距离。 Nl

33、MP.F. Productions 783、平面、平面 和平面和平面 的距离的距离 设平面设平面 平行平面平行平面 ，在平面，在平面 上任取一点上任取一点M，我，我们把点们把点M到平面到平面 的距离叫做的距离叫做平面平面 和平面和平面 的距离。的距离。 MNP.F. Productions 79在正方体中，观察给出的三条棱所在直线的关系：在正方体中，观察给出的三条棱所在直线的关系：P.F. Productions 804、异面直线、异面直线 a 和和 b 的距离的距离 设直线设直线 a 和直线和直线 b 是异面直线，当点是异面直线，当点M、N分别分别在在 a 和和 b上，且直线上，且直线MN既

34、垂直于直线既垂直于直线a，又垂直于直，又垂直于直线线b时，我们把直线时，我们把直线MN叫做异面直线叫做异面直线a和和b的的公垂线公垂线，垂足垂足M、N之间的距离叫做之间的距离叫做异面直线异面直线a和和b的距离的距离。abNMP.F. Productions 81说明：说明： (1)异面直线间距离具有存在性、唯一性、最小性；异面直线间距离具有存在性、唯一性、最小性； (1)找出公垂线段；找出公垂线段；(2)异面直线间距离的求法：先异面直线间距离的求法：先“证证”后后“算算”。5、异面直线距离的方法、异面直线距离的方法(2)转化为线面距离。转化为线面距离。 P.F. Productions 82例

35、例1、如图、如图, 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1 = 4 cm、 AB = 5 cm、AD = 6 cm 。求。求(1)求点求点A和点和点C1的距离；的距离；(2)求点求点A到棱到棱B1C1的距离；的距离；(3)求棱求棱AB和平面和平面A1B1C1D1的距离；的距离；(4)求异面直线求异面直线AD和和A1B1的距离。的距离。774144P.F. Productions 83例例2、已知线段、已知线段AB的两端点的两端点A、B到平面到平面 的距离分别的距离分别 是是3 0cm和和50 cm。求分线段为。求分线段为AP:PB=3:7的点的点P到到 平面平面 的距离。的距

36、离。 3 6cm 或或 6cm BAPP1A1B1 BAB1A1PP1P.F. Productions 84例例3、AB是是 O的直径，的直径，C为圆上一点，为圆上一点，AB2， AC1，P为为 O所在平面外一点，且所在平面外一点，且PA O， (1)证明：证明：BC平面平面PAC ； (2)若若PBA=45，求点，求点A到平面到平面PBC的距离。的距离。D552P.F. Productions 85例例4、正方体、正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a, O为正方形为正方形ABCD的中心，的中心，求求PQ与与C1O间的距离。间的距离。OP

37、Qa42MP.F. Productions 86例例4、如图，已知空间四边形、如图，已知空间四边形OABC各边及对角线各边及对角线长都是长都是1，D、E分别是分别是OA、BC的中点，连结的中点，连结DE。(1)求证：求证：DE是是OA和和BC的公垂线；的公垂线；(2)求求OA和和BC间的距离。间的距离。OABCDE22P.F. Productions 87小结小结 (1)点面距离；点面距离； (2)线面距离；线面距离； (3)面面距离；面面距离； (4)异面直线间的距离。异面直线间的距离。P.F. Productions 88练、如图练、如图, 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中

38、，AA1 = 5 AB = 12 ，AD = 13 。 (1)求点求点B和点和点D1的距离；的距离；(2)求点求点C到棱到棱A1B1的距离；的距离；(3)求棱求棱CD和平面和平面AA1B1B的距离；的距离；(4)求异面直线求异面直线DD1和和B1C1的距离。的距离。P.F. Productions 8914.3(3)(4) 空间直线与平面的位置关系直线与平面所成的角P.F. Productions 90线面关系直线与平面的位置关系：1.直线在平面内：2.直线与平面相交：3.直线与平面平行：有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点a a AaaAa/a线面相交的特殊情况线面垂直定义：定理2：如

39、果一条直线 l 与平面上的任何直线都垂直如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂直，那么直线 l 与平面 垂直。今天研究线面相交的一般情况P.F. Productions 911、平面的斜线 当直线 l 与平面 相交且不垂直时，叫做直线 l 与平面 斜交，直线 l 叫做平面的斜线。 斜线 l 与平面 的交点M叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。 lMAP.F. Productions 922、射影lMA 设直线 l 与平面 斜交于点 M，过 l 上任意点 A （异于点M），作平面 的垂线，垂足为O，我们把点O叫做点A在平面 上的射影，直线OM叫做直线 l 在

40、平面 上的射影。 O斜线上一点与垂足间的线段叫做这个点到平面的垂线段。垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是否有关？P.F. Productions 93思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是否有关？AlMAOO假设在直线l上另取点A（异于M），在面AMO内过A作AO/AO交MO于点O。因为AO平面 ，所以AO平面 。所以直线l在平面 上的投影是直线MO（即MO）直线l在平面上的射影与点A在l上的取法无关！即对于任意一条斜线在平面内的射影是唯一的！P.F. Productions 94例1、如图：正方体ABCD-A1B

41、1C1D1中，（1）线段AB1在面BB1D1D中的射影（2）线段AB1在面A1B1CD中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1OP.F. Productions 95A1D1C1B1ADCBE线段B1E例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）线段AB1在面BB1D1D中的射影（2）线段AB1在面A1B1CD中的射影P.F. Productions 96思考一：通过观察比萨斜塔，如果把斜塔看成斜线，地面看成面，如何用数学知识来描述斜塔的倾斜程度呢？如何求得呢？线面所成的角思考二：异面直线所成的角是如何定义的？思考三：那么斜线与平面所成角是否也可类比定义，转化为两相交直线所成的角？

42、转化为两相交直线所成角来定义但经过斜足的直线有无数条，选取哪条直线与斜线所成的角来定义直线与平面所成的角呢？由于斜线在一个平面内的射影是确定的，而面内其它的直线却具有不确定性！P.F. Productions 97AOBC探究：斜线与射影所成角和斜线与平面内任意一条直线的所成角之间的大小关系？斜线与射影所成角是斜线与平面内任意一条直线的所成角中的最小值！P.F. Productions 983、直线和平面所成的角lMAO 规定斜线 l 与其在平面 上的射影OM所成的锐角叫做直线 l 与平面 所成的角。规定： 当直线 l 与平面 垂直时，它们所成的角等于90 若直线 l 与平面 平行或直线 l

43、在平面 上时，它们所成的角为0 。P.F. Productions 99说明：(1)直线和平面所成角的范围是2, 0(2)斜线和平面所成角的范围是2, 0P.F. Productions 100例例2、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为中的棱长为1， (1)求直线求直线D1B1和平面和平面A1B1BA所成的角；所成的角；,1111111ABABADBDD上的射影是上的射影是在平面在平面上的点，且上的点，且是是解：解：上的射影。上的射影。在平面在平面是是即即BABABDBA111111所成的角。所成的角。和平面和平面是直线是直线BABABDABD1111111 45111

44、111ABDABDRt中，中，在在 451111所成的角是所成的角是和平面和平面直线直线BABABDBABADA1111平面平面 P.F. Productions 101(2)求直线求直线D1B和平面和平面ABCD所成的角。所成的角。 ,111DABCDDBDD上的射影是上的射影是在平面在平面上的点，且上的点，且是是上的射影。上的射影。在平面在平面是是即即ABCDBDDB1所成的角。所成的角。和平面和平面是直线是直线ABCDBDBDD11 ,2, 11111 DBDDABDRt中，中，在在22arctan1所成的角是所成的角是和平面和平面直线直线ABCDBD解：解：22tan1 BDD得得22

45、arctan1 BDD即即P.F. Productions 102练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0oP.F. Productions 103练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB

46、1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90oP.F. Productions 104练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角C45oA1D1C1B1ADBP.F. Productions 105练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角

47、（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30oP.F. Productions 106小结：求直线与平面所成的角方法小结：求直线与平面所成的角方法(1)先判断直线与平面的位置关系；先判断直线与平面的位置关系；(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出作出(找出找出)斜线上的点到平面的垂线；斜线上的点到平面的垂线；作出作出(找出找出)斜线在平面上的射影；斜线在平面上的射影；求出斜线段、射影、垂线段的长度；求出斜线段、射

48、影、垂线段的长度；解此直角三角形。解此直角三角形。其中关键是确定斜足和垂足其中关键是确定斜足和垂足P.F. Productions 107思考题：已知正六边形思考题：已知正六边形ABCDEF的棱长为的棱长为1，PA垂直于垂直于正六边形正六边形ABCDEF所在的平面所在的平面M，且，且PA=1。求点。求点P与正与正六边形各顶点连线和平面六边形各顶点连线和平面M所成的角；所成的角； BEACDFP；2 ；4 ；6 21arctanP.F. Productions 108(2)点点P到正六边形各边的距离。到正六边形各边的距离。BEACDFP；1；272P.F. Productions 109AOBC

49、ABAOACAO ACABCOBO COBOACAB ACABCOBO COBOACAB 观察：从平面外一点引平面的垂线段和斜线段及观察：从平面外一点引平面的垂线段和斜线段及其射影，你有何发现？其射影，你有何发现？P.F. Productions 110ACB O从平面外一点向这个从平面外一点向这个平面所引的垂线段和平面所引的垂线段和斜线段中，斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短）垂

50、线段比任何一条斜线段都短垂线段和斜线段长定理垂线段和斜线段长定理P.F. Productions 111 例例2、点、点P是是ABC所在平面外一点，所在平面外一点，且且P点到点到ABC三三个顶点距离相等，个顶点距离相等，则则P点在点在ABC所所在平面上的射影是在平面上的射影是ABC的的_心。心。PCBAO外外P.F. Productions 112回顾有关概念：回顾有关概念：MAM线段线段AM点点OAO直线直线OM线段线段OM lMAO点点A在平面在平面上的射影上的射影点点A到平面到平面的垂线段的垂线段平面平面的一条斜线的一条斜线斜足斜足斜线段斜线段斜线斜线AM在平面在平面上的射影上的射影斜线

51、段斜线段AM在平面在平面上的射影上的射影连连看连连看P.F. Productions 113 例例2、点、点P是是ABC所在所在平面外一点，且平面外一点，且P点到点到ABC三边所在直线的距三边所在直线的距离相等，则离相等，则P点在点在ABC所在平面上的射影所在平面上的射影O是是ABC的的_心。心。PCBAO内内P.F. Productions 114PABCHD例例3、正四面体、正四面体P-ABC中，求侧棱中，求侧棱 PA与底面与底面ABC 所所 成的角。成的角。33arccosP.F. Productions 115PABCHD例例3、正四面体、正四面体P-ABC中，求侧棱中，求侧棱 PA与

52、底面与底面ABC 所所 成的角。成的角。33arccosP.F. Productions 116SACBOFE例例4、如图如图 ACB=90 ，S为平面为平面ABC外一点，外一点， SCA= SCB= 60 ，求，求SC与平面与平面ACB所成的角。所成的角。4 P.F. Productions 117AOBC例例5、直线、直线OA与平面与平面 所成的角为所成的角为 ，平面内一条直线，平面内一条直线 OC与与OA的射影的射影OB所成的角为所成的角为 1 ，设，设AOC为为 2 求证：求证：cos 2= cos 1 cos 1 2P.F. Productions 118ABCDA1B1C1D1例例

53、6、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线中，求直线B1C和和 平面平面D1AC所成的角。所成的角。 HP.F. Productions 11914.3(5) 空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系P.F. Productions 120(1)直线在平面内（有无数个公共点）；线面位置关系：线面位置关系： 平平行行：相相交交： l l (2)直线在平面外Pl Pl （仅有一个公共点）（仅有一个公共点）（无公共点）（无公共点） l ll或或/P.F. Productions 121感受校园生活中线面平行的例子感受校园生活中线面平行的例子:天花板平面天花板平面P.F.

54、Productions 122 如果如果和这个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。平行，那么这条直线和这个平面平行。a b已知：直线已知：直线a不在平面不在平面 上，上，b，a b求证：求证： a 1、直线和平面平行的判定定理、直线和平面平行的判定定理简称：线线平行简称：线线平行线面平行线面平行P.F. Productions 123./ 矛矛盾盾，与与则则baPba .,bbba ，又又即即 ./ 确确定定一一个个平平面面、，babaPa 证证明明：假假设设abP /a.,bPPP P.F. Productions 124用该定理判断直线和平面是否平行时必

55、须具备三个条件：用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件：直线直线a在平面在平面外，外， 直线直线b在平面在平面内，内，两条直线两条直线a、b平行平行这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可.P.F. Productions 125 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。简称：线面平行简称：线面平行线线平行线线平行已知：已知：a/ ，a ，=b求证：求证：a/b 2、直线和平面平行的性质定理、直线和平面平行的性质定理 abP.F. Productions 1

56、26 ab已知：已知：a/ ，a ，=b求证：求证：a/b .,/ aa证证明明：., bab./,baba P.F. Productions 127例例1、判断题、判断题(4)如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有 直线平行。直线平行。(3)如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数 条直线平行；条直线平行；(2)如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直 线和平面平行；线和平面平行；(1)如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行；如果一条直线在平面外，那么直线和

57、平面平行；P.F. Productions 128说明：使用直线与平面平行的判定定理和性质说明：使用直线与平面平行的判定定理和性质 定理时，定理时，必须都具备三个条件。必须都具备三个条件。(1)线线平行线线平行线面平行；线面平行；(2)线面平行线面平行线线平行。线线平行。P.F. Productions 129例例2、正方体、正方体ABCD- A1B1C1D1 中，中，P 是平面是平面A1B1C1D1 上的点，过点上的点，过点 P 画一条直线使之与截面画一条直线使之与截面A1BCD1 平行。平行。A1AB1D1CBPC1DP.F. Productions 130例例3、已知空间四边形、已知空间

58、四边形ABCD中，中，M、N、P、Q分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点。的中点。 求证：求证：BD平面平面MNPQ.ABCDMPNQP.F. Productions 131例例4、在三棱柱、在三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是AC的中点。的中点。 求证：求证：AB1/平面平面DBC1PB1BC1CA1DAP.F. Productions 132例例5、在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过中，试作出过AC且且 与直线与直线D1B平行的截面，并说明理由。平行的截面，并说明理由。 OMP.F. Productions 133l 如果两个相交平面分别经过两条平行直线中如果两

59、个相交平面分别经过两条平行直线中的一条的一条, ,那么它们的交线和这两条直线平行。那么它们的交线和这两条直线平行。 ab例例6、求证：、求证：P.F. Productions 134小结：小结：2、 “线线平行线线平行”与与“线面平行线面平行”在一定条件下可在一定条件下可互相互相 转化，它们互为条件，互为结论；转化，它们互为条件，互为结论；3、在解题过程中，常需将判定定理与性质定理相在解题过程中，常需将判定定理与性质定理相 结合，得到需要的结论。结合，得到需要的结论。1、判定定理和性质定理三要素；、判定定理和性质定理三要素；P.F. Productions 13514.4(1) 空间平面与平面

60、的位置关系空间平面与平面的位置关系P.F. Productions 136一、一、二面角二面角1、半平面：半平面：平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，其部分，其 中的每一部分都叫做一个中的每一部分都叫做一个半平面半平面。l半平面半平面半平面半平面P.F. Productions 137 AB，由，由、的半平面及其交线的半平面及其交线AB所组成所组成的空间图形叫做的空间图形叫做二面角二面角。记作：。记作： AB2、二面角的定义：、二面角的定义： 交线交线AB叫做叫做二面角的棱二面角的棱棱棱面面面面AB PQQABP 也记作：也记作：两个半平面两个半平面、叫做叫做二面角的面。