2020年高考一轮复习数学(文)对数与对数函数

1、第七节对数与对数函数_ry=前前0肆籟肆籟）必过数材美必过数材美1.对数概念如果 ax= N（a0，且 a* 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x= logaN, 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax= N? x = logaNloga1 = 0 , logaa= 1 , alogaN = N运算法则loga(M N) = logaM + logaNa 0，且 a* 1, M 0, N 0logaN=logaM - logaNlogaMn= nlogaM_( (n R)换底公式换底公式：logab=lgca|(a0，且

2、 a* 1, c0,且 c* 1, b0)2.对数函数的图象与性质y=logaxa10vav1rtrt*=1严住r图象1 I定义域为(0,+ )值域为 R过定点（1,0），即 x= 1 时，y= 0性质当 x 1 时，y 0;当 0vxv1 时，yv0当 0vxv1 时，y 0当 x 1 时，yv0;在区间（0,+ ）上是增函数在区间（0,+ ）上是减函数3.反函数指数函数 y= ax（a0 且 a* 1）与对数函数 y= logax（a0 且 a* 1）互为反函数，它们的图 象关于直线 y=x x对称.小题体验1.已知 a 0,且 a* 1,函数 y= ax与 y= loga（- x）的图象

3、可能是 _ （填序号）.答案：2._ 函数 f(x)= loga(x+2) 2(a 0,且 a* 1)的图象必过定点 _ .答案：( (一 1, 2)3._ 函数 f(x) = log5( (2x+ 1)的单调增区间是_ .答案：2,+m2 4 4._(1)2log33 log37 31 + log32 = ;1(2)42 (lg 2+ lg5) =_ .答案：5(2)1必过易措美1.在运算性质 logaM = alogaM 中，要特别注意条件，在没有 M 0 的条件下应为 logaM“ =%loga|M|(aN，且a为偶数).2. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1) 务必先研究函数

4、的定义域；(2) 注意对数底数的取值范围.小题纠偏1._函数 y= 7 log0.5( (4x 3 的定义域为 .答案：3,12._函数 f(x) = log(x+1)(2x 1)的单调递增区间是 _ .答案：2+3.已知函数y= loga(2 ax)(a0,且 a* 1)在0,1上为减函数，则a 的取值范围为解析：因为 a 0,所以 g(x) = 2 ax 为减函数，即任取 x1, x2 0,1，且 x1g(X2) ),又 logag(X1)logag(X2) ),所以 a 1.而又因为 g(x)= 2 ax 在0,1恒大于 0,所 以 2a0，所以 a 2,综上，1 a1)的图象上，则实数

5、 a 的值为_解析：设 C( (X0, logaxo),则 2logaXB= logaXO, 即 xB= X0,解得XB=X0,故 XcXB=XO Xo= 2,解得 Xo= 4,即 B(2,2loga2), A(2,3loga2),由AB=2,可得3loga22loga2=2，解得a=2.答案： ,22 若不等式logaX(X1)2恰有三个整数解，则解析：由不等式logaX(X1)2恰有三个整数解，角坐标系中画出y= logax(a 1)与 y= (x 1)2的图象，a 的取值范围为得 a 1.在同一直可知不等式的整数解集为2,3,4，则应满足loga44 =解得165 1 或 0vav1 这

6、两种不同情况.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.即时应用(2018 常州一中模拟) )设 f(x) = |lg x|, a, b 为实数，且 0vavb.(1)若 a, b 满足 f(a)= f(b)，求证：ab= 1;在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)= 2f 所得到的关于 b 的方程 g(b) = 0,存在 b) ) (3,4)，使 g(b0) = 0.证明：( (1)结合函数图象，由 f(a)= f(b)可判断+m),从而一 lg a = lg b,即 lg ab= 0.a (0,1), b (1,故 ab= 1.因为 0vavb, 所以号上

7、 ab= 1.由已知可得，即 4b= a2+ b2+ 2ab,得占+ b2+ 2 4b = 0, g(b)=刍+ b2+ 2bb4b,因为 g(3)v0, g(4) 0,根据零点存在性定理可知，函数 g(b)在(3,4)内一定存在零点,Oa 1b=即存在 b (3,4)，使 g(bo) )= 0.考点三对数函数的性质及应用题点多变型考点一一多角探明锁定考向高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档 都有.常见的命题角度有：(1) 比较对数值的大小；(2) 简单的对数不等式；(3) 对数函数性质的综合问题.题点全练角度一：比较对数值的大小1._ 已知 a= Iog

8、29 log2.3, b= 1 + log27, c= 2+ log213，贝 U a, b, c 的大小关系为_(用“”表示 ).解析：a= Iog29 Iog2. 3 = Iog23；3,1 _ _b= 1 + Iog2,7= Iog22 7, c= ? + Iog2叨 13= Iog226,因为函数 y= Iog2x 是增函数，且 2 7 3 3 26,所以 b a c.答案：b a c角度二：简单的对数不等式2.(2018 启东联考) )已知一元二次不等式f(x) 0 的解集为( (一31)U(2,+ )，则f(Ig x)v0 的解集为 _ .解析：因为一元二次不等式 f(x) 0 的

9、解集为( (一, 1)U(2,+3)，所以一元二次不等 式 f(x)v0的解集为(1,2),由 f(Ig x)v0 可得 1vIg xv2,从而解得 10vxv100,所以不等 式的解集为(10,100).答案：(10,100)角度三：对数函数性质的综合问题3.(2019 盐城中学第一次检测) )已知函数 f(x) = Ig(2 + x) + Ig(2 x).(1) 求函数 f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2) 记函数 g(x) = 10f(x)+ 3x,求函数 g(x)的值域；(3) 若不等式 f(x) m 有解，求实数 m 的取值范围.解：( (1) 函数 f(x) = l

10、g(2 + x) + lg(2 x),2 + x 0,2 x 0,函数 f(x)的定义域为( (一 2,2).解得2vxv2. f(- x) = lg(2 x) + lg(2 + x) = f(x),f(x)是偶函数./ f(x) = lg(2 + x)+ lg(2 x)= lg(4 x2),g(x) = 10f(x)+ 3x= x2+ 3x+ 4函数 g(x)的值域是 6,芳.不等式 f(x) m 有解， mVf(x)max, 令 t= 4 x2，由于2Vxv2, 0Vtw4,mvIg 4.实数 m 的取值范围为( (一a,Ig 4).通法在握1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤E

11、S卜匸亲苗新亙基文冠.mm。鯉=一判I亦斷内出幣数和F.1朋 敦的单调他，込冃刼介懈数；“同增异鹹原则判斷函数的臥调強I_ J_J*2.比较对数值大小的方法(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母, 则需对底数进行分类讨论.(2) 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.若底数与真数都不同，则常借助1,0 等中间量进行比较.演练冲关1. (2019 苏州模拟) )已知函数 f(x)= logax2+ a|x|(a0,且 1)，若 f( 3)vf(4)，则不 等式 f(x2 3x)vf(4)的解集为 _ .解析：易知函数 f(x)的定

12、义域为( (一a,0)U(0,+a), f( x) = logax2+ a|x|= f(x),. f(x)在定义域上为偶函数， f( 3) = f(3). f( 3)vf(4), f(3)vf(4), a 1, f(x)在(0, +a)上单调递增.f 22x 3XM0,故不等式 f(x2 3x)vf(4)满足 f2解得1vxv4，且 x丰0,XM3.x3x|v4,故不等式 f(x2 3x)vf(4)的解集为(1,0)U(0,3)U(3,4).2),- g(x)maxg(x)min= g(2)=6.答案：( (一 1,0)U(0,3)U(3,4)22.已知函数 f(x)= log4( (ax +

13、 2x+ 3).(1)若 f(1) = 1，求 f(x)的单调区间；是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解：因为 f(1) = 1,所以 log4(a + 5) = 1,因此 a + 5= 4, a = 1,这时 f(x)= log4( - x1 2 3+ 2x+ 3).由一 x2+ 2x+ 30，得一 1vXV3,函数 f(x)的定义域为( (1,3).令 g(x)= x + 2x + 3,则 g(x)在( 1,1)上递增，在(1,3)上递减.又 y= Iog4x 在(0, +)上递增，所以 f(x)的单调递增区间是( (一 1,1)，递

14、减区间是(1,3).假设存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0,则 h(x)= ax2+ 2x+ 3 应有最小值 1,F o,/1因此应有*3a1解得 a = -._= 12I a一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018 淮安调研) )函数 f(x) = Iog2(3x 1)的定义域为解析：由 3x10,解得 x所以函数 f(x)的定义域为 1,+s.1故存在实数 a= 2,使 f(x)的最小值为 0.2 函数 f(x) = Iog3(x2 2x+ 10)的值域为 _ .解析：令 t= x2 2x+ 10 = (x 1)2+ 99，故函数 f(x)可化为 y= Iog3t, t9,此函

15、数是 一个增函数，其最小值为Iog39 = 2,故 f(x)的值域为2,+s).答案：2,+s)3 计算 Iog23Iog34 + (V3)Iog34Iog34=_.解析：Iog23 Ioga4 + ( 3)也4=需+ 32 = 2+ 3Ioga2 = 2+ 2 = 4.Si0 口1=1答案： 3+s4. (2019 长沙调研) )已知函数y y=loga(x + 3)- 1(a0, a丰1)的图象恒过定点 A，若点 A 也在函数 f(x)= 3x+ b 的图象上，贝 U f(loga2) =_ .解析：函数 y= loga(x+ 3)- 1(a0, a 1)的图象恒过定点 A(-2, - 1

16、)，将 x=- 2, y=- 1 代入 f(x)= 3x+b,得 32+ b=- 1，二 b=10108则f(|og32) = 3log32 9-=2 = 9.答案：8x+6,xW2,5.若函数 f(x) =(a0，且 a 1)的值域是4,+ )，则实数 a的取3 + logax ,x2值范围是_.解析：当 x4.因为 f(x)的值域为4,+a),所以当 a 1 时，3+ logax 3+ loga2 4,所以 loga2 1,所以 1vaw2;当 0vav1 时，3+ logaxv3+ loga2，不合题意.故 a (1,2.答案：(1,26._(2018 镇江期末) )已知函数 f(x)是

17、定义在 R 上的奇函数，当 x0时，f(x) = 1- log2x, 则不等式 f(x)v0 的解集是.解析：当 xv0 时，f(x)=- f(- x)= log2(- x) - 1, f(x)v0，即 log2( x) - 1v0,解得 2vxv0;当 x 0 时，f(x)= 1 log2X, f(x)v0,即卩 1 log2xv0，解得 x2，综上，不等式 f(x)v0 的解集是( (一 2,0)U(2,+).答案：( (2,0)U(2,+a)二保咼考，全练题型做到咼考达标1._(2019 镇江中学调研) )函数 y= log2x+ log2(4 x)的值域为 _.解析：由题意知，x 0

18、且 4 x 0,. f(x)的定义域是(0,4).函数 f(x)= log2x + log2(4 x) = log2x(4 x), 0vx(4 x)时，1器0,即爭1 1v1,所以 av2x，所以 xga.令 log2a=得 a=冷=2,所以实数 a 的值为，2.答案：23. 若函数 f(x)= lg(x2 2ax+ 1 + a)在区间( (一, 1上递减，贝 V a 的取值范围为 _解析：令函数 g(x) = x2 2ax+ 1+ a= (x a)2+ 1 + a a2,对称轴为 x = a，要使函数在gf1 0,2 a 0,(a,1 上递减，则有 厂 即=解得 K av2,即 a 1,2)

19、.a 1,a 1,答案：1,2)4._(2019 连云港模拟) )已知函数f(x)= lg；+：，若 f(a)=弓，则 f( a)=_.解析：1 一 x因为 f(x) lg的疋义域为一 1vxv1,1 + x 所以 f( x)= lg1 x4 |x| 0,解析：由 x2 5x+ 6 0,x 3答案：(2,3)U(3,4x+8,xW2,(a0,且 a 1)的值域为6, + ),logax + 5, x2则实数 a 的取值范围是解析：当 xw2 时，f(x) 6,+)，所以当 x 2 时，f(x)的取值集合 A? 6, +).当0vav1 时，A =(m, loga2+ 5),不符合题意；当 a

20、1 时，A= (loga2+ 5,+a)，若A? 6, +a)，则有 loga2 + 5 6，解得 1vaw2.答案：(1,27.函数 f(x)= loG logQ2(2x)的最小值为 _.1f12111 x叽=f(x),所以 f(x)为奇函数，所以1f( a)= f(a)= *5.函数 f(x)= j4|x|+ lg兰的定义域为4WxW4,得故函数定义域为( (2,3)U(3,4. x 2 且XM3,6. (2018 苏州调研) )若函数f(x)=解析：依题意得 f(x) = ?log2X (2 + 2log2x)= (log2x)2+ log2x= log2x + ?i ;, 当且仅当 l

21、og2x =：，即卩 x =屮时等号成立，因此函数 f(x)的最小值为一-418 设函数log2x,X0,f( (x)=log!X,XV0,2若 f(a) f( a)，则实数 a 的取值范围是解析：由 f(a) f( a)得a 0, log2a log1a、2aVo,或 log1 a log2 a ,、2ra 0,即*log2a log2af亠av0,或.log2( aIog2( a 解得 a 1 或1vav0.答案：(1,0)U(1,+s)9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(0)= 0，当 x0 时，f(x)= log1x.2(1)求函数 f(x)的解析式；2(2)解不等式

22、f(x 1) 2.解：( (1)当 xv 0 时，一 x0，贝 y f( x)= log1( x).2因为函数 f(x)是偶函数，所以 f( x)= f(x).所以函数 f(x)的解析式为log1x,x0,2f(x)=0,x=0,log1x,xv0.2因为 f(4) = log14= 2, f(x)是偶函数，2所以不等式 f(x2 1) 2 可化为 f(|x2 1|)f(4).又因为函数 f(x)在(0,+g)上是减函数，所以 |x2 1|v4,解得一5vxv.5,即不等式的解集为( (一 5,5).10. (2019 东上学期第一次阶段检测) )已知函数 f(x)= loga(x+ 1) +

23、 loga(3 x)(a0 且a 1)，且 f(1) = 2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域;1(2)若不等式 f(x)wc 恒成立，求实数 c 的取值范围.解：因为 f(1) = 2,所以 2loga2 = 2,故 a = 2,所以 f(X) )= lOg2( (1 + X) )+ lOg2( (3 X) ),1 + X 0 ,要使函数 f(x)有意义，需有13 X 0,解得1 XV3,所以 f(X)的定义域为( (1,3).(2)由(1)知，f(X) )= log2(1 + X) + Iog2( (3 X) )2=Iog2(1 + x)(3 X) = Iog2( X + 2X+ 3

24、)2=log2 (x 1)+4,故当 X = 1 时，f(X)有最大值 2,所以 c 的取值范围是2,+).三上台阶，自主选做志在冲刺名校2X121. (2019 南京五校联考) )已知函数 f(X)=X+ e -(X0)与 g(x) =X+ ln(x + a),若函数f(x)图象上存在点 P 与函数 g(x)图象上的点 Q 关于y y轴对称，则 a 的取值范围是 _ .解析：设点 P(xo, yo)(xo0)，则点 P 关于y y轴的对称点 Q( Xo, yo)在函数 g(x)的图象 上,所以y0=X2+01,yo= Xo2+ In Xo+ a ,消去 yo,可得 Xo+ e%0 2= ( Xo)? + ln( xo+ a),1所以 exo 2= ln( x0+ a)(x0 0).x1令 m(x)= e 2( (x 0), n(x)= ln(a x)(x 0)，问题转化为函数m(x)与函数 n(x)的图象在 x 0 时有交点.在平面直角坐标系中分别作出函数m