2020高考理数总复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例

1、1课后限时集训（二十六）(建议用时：60 分钟)A 组基础达标一、选择题TT1 在边长为 1 的等边 ABC 中，设 BC = a, CA= b, AB = c,贝 U a b+ b c+ca=()33A. 2B. 0C.2D. 31113A 依题意有 a b+ b c+ c a= 2 + 2 + 2 = 22.(2019 合肥模拟)已知不共线的两个向量 a,b 满足|a b|= 2 且 a 丄(a 2b),则 b 匸()A. 2B. 2C. 2 2 D. 4B 由 a 丄(a 2b)得 a (a 2b) = |a|2 2a b= 0.又v|a b|= 2,：|a bf= |af2a b+ |

2、b|2= 4,则 |b|2= 4, |b 匸 2,故选 B.3. （2019 昆明模拟）已知平行四边形 OABC 中，O 为坐标原点，A（2,2）, C（1,T T2),则 OB AC=(A. 6TTT T TTOA= (2,2), OC= (1, 2),则 OB = OA+ OC = (3,0),又 AC= ( 1,T T4),所以 OB AC= 3X( 1)+ OX( 4)= 3.故选 B.T T4.已知点 A(0,1), B( 2,3), C( 1, 2), D(1,5),则向量 AC 在 BD 方向上的投影为（）A 血A. 1313C. 3 D. 6C.J313132133D AC=

3、(- 1,1), BD 二(3,2),T TTT、T TTAC BD-1X3+1X2-1I AC 在 BD 方向上的投影为 AC|cosAC, BD= T=L22=|BD|W+2W3吕3故选 D.5已知非零向量 a, b 满足|b|= 4|a|,且 a 丄(2a + b)，则 a 与 b 的夹角为()nn2n5nA3B2C亏DC ta 丄(2a+b),二 a (2a+b)=0,22|a|+a b=0,即 2|a|2+ |a|b|cos a, b= 0.|b 匸 4|a|, 2|af+4|a|2cosa, b= 0,1 cos a, b= 2 /0 =筍二、填空题6. (2016 全国卷I)设向

4、量 a= (x, x+ 1), b= (1,2),且 a 丄 b,则 x=_2 23ta 丄 b, a b=0,即卩 x+2(x+1)=0, x= 3.-( n . n(5n. 5n .7.已知 a= fos6, si 门 6 丿，b=, sin 丿，贝U|a b|=.n5n n53由题意知 |a|= |b|= 1, a b= cocos + ssn=2.所以 |a b| a 2a b+ |b| 2 + 2X2 3,即 |a b| .3.TTT T8.已知锐角三角形 ABC 中，AB| 4,AC| 1, ABC 的面积为.3,则 AB ACn52n66n= cos3 二4由SMBC=1AB|A

5、C|sin A=V3 得 sin，又 A 0,AB AC=|AB|AC|cos A= 4X1X亍 2.三、解答题9.已知 |a| = 4, b 匸 3, (2a-3b) (2a+ b) = 61.(1) 求 a 与 b 的夹角 9;(2) 求 |a+ b|;TT(3) 若 AB= a, BC= 0 求厶 ABC 的面积.解(1)因为(2a- 3b) (2a + b) = 61,所以 4|a|24a b-3|b|2= 61.又因为|a 匸 4, |b 匸 3,所以 64-4a b-27= 61,所以 a b=- 6.又因为 ow n所以9= 2 2 2 2 2 2(2)|a+ b| = (a +

6、 b) = |a| + 2a b+ |b| = 4 + 2X(- 6) + 3 = 13,所以 |a + b|=13.T T2n2n(3)因为 AB 与 BC 的夹角9=，所以/ABC=n三=TT又因为 |AB|= |a|= 4, |BC|= |b|= 3,1T T1迟 厂所以SAABC=2AB| | BC|sin/ABC = X4X3X亏=3.3.10. 在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,向量 m = (cos(A- B),口3sin(A-B), n = (cos B,- sin B), 且 m -n=- 5.n贝UA=3,故所以 cos9=a b =丽=-

7、64X3=12.5(1)求 sin A 的值;若 a = 4,2, b= 5,求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影.3解由 m n= 5,得 cos(A B)cos B sin(A B)sin B= |,3化简得 cos A= 5.因为 OvAv n4bsin A5x5 2a4 22，n因为 ab,所以 AB,且 B 是厶 ABC 一内角，贝 U B=4*由余弦定理得(4 2)2= 52+ c2 2X5cX1,解得 c= 1, c= 7(舍去), 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为|BA|cos B = ccos B= 1XB 组能力提升 1. (2019 黄冈模拟)已知

8、AB= (cos 23 , cos 67), BC= (2cos 68 , 2cos 22 ),则厶 ABC 的面积为()A. 2B. .2C. 1D. 所以 sin A=；1 COS2A=a(2)由正弦定理，得而二sin B45.6D 因为 AB= (cos 23 ,osin 23), BC= (2sin 22 , cos 22), 所以 cosAB, BC=2(cos 23 sin 22 半 sin 23 cbs 22 :cos223+ sin223 2sin 222+ 2cos 2227=sin 45所以 AB 与 BC 的夹角为 45故/ABC= 1351 1V2 y/2所以SAABC

9、=2AB|BC|sin 135=X1X2X于=丐，故选 D.2.（2019 太原模拟）向量a,的夹角的余弦值为（）eg3.已知点 OABC 的外心，且|AC| = 4,6因为点 O ABC 的外心，且|AC|= 4, 所以 AO BC= AO (AC AB) =AO AC AO AB = AO|AC|cosAO, AC AO|AB| cosAO, AB=AC|AC|X2|AB|AB|X2=6.4. （2019 合肥模拟）已知在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c3且 a, b, c 成等比数列，cos B=4.11求而+赢的值；3b 满足 a+ b 匸 2.3|a|

10、,且(a- b) a= 0,贝 U a, b2B (a-b) a= 0? a2= b a,|a+ b|= 2 3|a|?a2+ b2+ 2ab= 12a2? b2= 9a2,所以 cosa, b=咅臭=7|b|a| 3|a|a厂 5. |AB|= 2,则 AOBC=|AB|= 2,8设 BA BC = 2,求 a+c 的值.(1)由 cos B=3,0vBv n得 sin B=9Ta, b, c 成等比数列， b2= ac,由正弦定理，可得 sin2B= sin Asin C,曰 11 cos A cos C sin Ceos A+ cos Cs in A于疋 tan A+tan C sin A+sin C sin Asin CsinA+ C s