2020高考理科数学一轮复习学案：12.3直接证明与间接证明及数学归纳法

1、112.3 直接证明与间接证明及数学归纳法考点梳理考点梳理1.直接证明（1）综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 _ ，最后推导出所要证明的结论 _，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或 _法.（2）_ 分析法：一般地，从要证明的 _出发，逐步寻求使它成立的 _ ，直至最后，把要证明的 _ 归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证 明方法叫做分析法.分析法又叫逆推证法或法.（3）综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.2.间接证明反证法：一般地，假设原命题_（即在原命题的条件下

2、，结论_ ）,经过_ ，最后得出 _.这个矛盾 可以是与已知条件矛盾， 或与假设矛盾，或与定义、 公理、定理、事实等矛盾.因此说明假设_,从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证 法.反证法是间接证明的一种基本方法.3.数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当 n取第一个值 no（nN N*）时命题成立.（2）_（归纳递推）假设（k no, k N N*）时命题成立，证明当 _ 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有_ 都成立.4.数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与 _有关的数学命题，证明时

3、，它的两个步骤（归纳奠基与归纳递 推）缺一不可.自查自纠：1.（1）推理论证成立由因导果（2）结论充分条件结论执果索因2.不成立不成立正确的推理 矛盾错误3.(2)n = k n= k+ 1 正整数 n4.正整数基础自测基础自测 要证明.3 + .72.5,以下方法中最合理的 是（）A.分析法 B .综合法C .反证法 D .数学归纳法解：执果索因”最佳，即分析法.故选 A.A.1）时，第一步应验证不等式（）C.1+ 2+33D.1+2+ +41 ,所以 n 取的第一个数为112,左端分母最大的项为 歹二！=3 故选 B.B.（2018 辽宁期末）用反证法证明“若x +yw0,贝 U xw0

4、或 yw0”时，应假设_.解：用反证法证明“若 x+ yw0,贝 U xw0 或yw0”时，应假设结论反面成立，即x0 且 y0.故填 x x 0 0 且 y y 0.0.（2018 河南八市高二测评）用数学归纳法 证明设 a,b R R，且b, a + b= 2,则必有(.孑+b2_.a2+b2A.1wabw2B.ab122 2a+bC.ab 212 2a+bD. 21ab解:1包用数学归纳法证明12n- 1A. 1 + *2B. 1 + 2+32a2+ b2 1)”时,232 I由 n = k 不等式成立，推证 n = k+ 1 时，不等式左边 应增加的项数是_.解：不等式左边的特点：分母

5、逐渐增加1，末31 1项为2n1.由 n= k，末项为 2二 7，至 U n= k+ 1，末 项为朋=4k,所以不等式左边应增加的2 12 1 + 2k项数为 2k.故填 2 2k k. .证明：要证 a+ 2 + .b+ *0, b0,若 a+ b ab= 0,求证：a+ 2b 3 + 2 2;(2) 当 a 1 时，求证：2 a a 1 a+ 1 0.证明：(1)因为 a+ b ab = 0, a 0, b 0，所11a 2b所以 a + 2b = (a + 2b)( +)= 3 + 二+一3 + a bba2 2,当且仅当a= 2b 即卩 a = . 2b 时，等号成立， 所以 a+2b

6、 3+ 2 2.(2)要证 2 ,a .a 1 a + 1 0,只需证 2 ia ./ a 1 + a + 1, 只需证(2 岑 a)2(;a 1 + a +1)2, 只需证 4a2a+ 2 a2 1,只需证a ,a21, 由于 a 1，只要证 a2a2 1，即证 0 1, 这显然成立，所以 2 a a 1 a + 1 0 成立.点拨：用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结 论，即“由因导果”；逆向思维是用分析法证题的 主要思想，即“执果索因”， 要保证分析过程的每 一步都是可逆的.证明较复杂的问题时，常用两头 凑的方法，即用分析法找出某个与结论等价(或充分) 的中间结论，再用综合法证明这个

7、中间结论，从而 使原命题得证.1因为 a0, b0, 1 = a + b 2 ab,所以 ab be(其中e 是自然对数 的底数)，求证:ba ab.证明：因为 abe,所以 ba0, ab0.所以 要证 ba ab,只需证 alnb blna，只需证罟皿b a In x,1 lnx令f(X)=：(xe)，则 f(x)= 厂,当 xe 时，f (x)v0，函数 f(x)在(e, + g)上单调递减.所以当 abe 时，有 f(b)f(a)，即罟罟.故原不等式成立.类型二间接证明1(1)设 a, b, c 都是正数，则 a+-, b+ b1 11 c+1三个数()caA 都大于 2B .都小于

8、2C 至少有一个大于 2D .至少有一个不小于 2解：假设 a + b + -, c+ 均小于 2,则 a+2b c ab1 1 1+b+1+c+；V6.因为a，b,c 都是正数，则a+計典例解析典例解析只需证 a +1 1 1+ 2 =ab+(a+ b) + 4 三1,类型一直接证明只需证 ab0, b0, a + b = 1.11,111b+c+c+a=(a+；)+(b+b)+(c+；)4,又 a+ b = 1，故只需证1,1 1只需证a+尹b+2求42、Jbb + 2、JcC = 6(当且仅当 a= b = c= 1 时等号成立)，这与假设矛盾故三个数至少有一个不小 于 2故选 D.D.

9、(2)(2017 湖南模拟)设函数 f(x) = |2x- a|, g(x) =x+2.(I)当 a = 1 时，求不等式 f(x)+ f( x)wg(x)的 解集；(n)求证：f(b), f( b), f(1)中至少有一个不小解:(I)当 a= 1 时，不等式即 |2x 1|+ |2x + 1| x+ 2,贝 U2无解；4x x+ 2,11或22解得 0wx1;2 2，12或2解得 x0, y0, z0, a = x 2 筋 +-n, b3=y 2 z+n,c= z2 x+n求证：a, b, c 中至少有一个大于 0.证明：假设 a, b , c 都不大于 0,即 aw0 , bw0 ,c

10、0 , (.y1)2 0 , (z 1)2 0 ,n30,所以 a+ b+ c0,与 a+ b + cw0 矛盾.所以假设错误，原命题正确，即a , b , c 中至少有一个大于 0.-1V1a 21113由+得，一1 a1，与1 a右边，所以不等式成立.假设 n= k (k2，且 k N N*)时不等式成立,1+31+14：1=4，左边v右边，即不等式成立2X1+13假设 n = k(k N N*)时，不等式成立,则当 n= k + 1 时,1+丄1+1_2k 1 .2 ( k+ 1) 1fek+ 1 2k+ 2 = 2k+ 24k2+ 8k+ 422k+ 1 2 2k+ 12；2k+ 1U

11、4k2+ 8k + 32 2k+ 12( k+ 1)+ 12 .所以当 n= k+ 1 时，不等式也成立.由知，对于一切大于 1 的自然数 n,不等 式都成立.2k+ 3 .2k + 12 2k + 1 111 1即 1+尹孑+4+RV则当 n= k+ 1 时,1(k+1)2,4k2k+ 11 1+k2+(k + 1)问题可通过证明盘+4 ( k + 1)2 (k+ 1)+ 1来实现4k2k+ 14k2V2k+11(k+ 1)214 (k+ 1)2 eV(k+ 1)2 (k+ 1)+ 14k+ 42k + 3,那么，当 n= k+ 1 时,1k+ 2丄+ +加亠+k+32k 2k+ 112k+

12、 2.只需证只需证4k2k+ 16名师点睛名师点睛71综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件综合法的解题步骤 用符号表示是：P(已知)？Qi? Q2? Q3? ? Qn? Q(结论)2分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是 从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论)？Bi?B2?Bn?A(已知)3分析法与综合法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方 法，二者各有优缺点分析法思考起来比较自然， 容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，

13、叙 述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述， 缺点是探路艰难，易生枝节在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析 法探索证明途径，然后再用综合法表述4用反证法证明命题的一般步骤(1)分清命题的条件和结论(2)做出与命题结论相矛盾的假设(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与 已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、 事实等矛盾的结果(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结 论成立，从而间接地证明命题为真5可用反证法证明的数学命题类型(1)结论是否定形式的命题(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题(4)用直接

14、法较难证明或需要分成多种情形进7 用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“ n=k 时命题成立”为条 件，证明“当 n= k+ 1 时命题成立”这里，易出 现的错误是：不使用“ n= k 时命题成立”这一条件， 而直接将 n=k+ 1代入命题，便断言此时命题成 立注意：没有运用归纳假设的证明不是数学归纳 法.在 n= k 到 n= k+ 1 的证明过程中寻找由n= k到 n= k+ 1 的变化规律是难点，突破的关键是分析 清楚p(k)与 p(k+ 1)的差异与联系，利用拆、添、并、 放、缩等手段，从 p(k+ 1)中分离出 p(k

15、)8证明不等式的方法多种多样，故在用数学 归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分 析法等要灵活运用课时作业课时作业1(2018 烟台期中)分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的()A.充分条件B.必要条件C 充要条件D.既不充分又不必要条件解：分析法是从要证的不等式出发，寻求使它 成立的充分条件故选 A.A.2(2018 上杭月考)用反证法证明“？x R R ,2x 0 ”，应假设为()A? xR R,2xo0 B? xgR R,2xV0C?xR R,2xW0 D.?xgR R,2xW0 解：“？x R R,2x 0” 的否定为 “？x R R , 2xoW0”故选 D.D.3.(2

16、018 南阳期末)用反证法证明某命题时， 对结论：“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”正确原结论词反设词原结论 词反设词至少有一个没有一个? x 成立? x0不成立至多有一个至少有两个? x 不成立? X0成立至少有 n 个至多有 n 1 个p 或 q綈 p 且綈q至多有 n个至少有 n +1 个p 且 q綈 p 或綈 q行分类讨论的命题6常见的“结论词”与“反设词的假设为()A . a, b, c 中至少有两个偶数B . a, b, c 中至少有两个偶数或都是奇数C . a, b, c 都是奇数D . a, b, c 都是偶数解：结论：“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数” 的否定

17、是 “a, b, c 中至少有两个偶数或都是奇 数”.故选 B.B.4.(2018 长安一中高二期末)用数学归纳法证n2n4+ n则当 n= k+ 1 时左端应在 n= k 的基础上加上A . k2+ 1B. (k+ 1)289C.(k+ 1)4+( k+ 1)a b+ b c a b+ b c+a bb cb c a b+a b b cD . (k2+ 1) + (k2+ 2) + (k2+ 3) + + (k+ 1)2解：当 n = k 时，等式左端为 1 + 2 + k2,当 n= k+ 1 时，等式左端为 1 + 2 + + k2+ (k2+ 1) + (k2=4，当且仅当 bc=ab

18、 时等号成立.因为+ 2) + (k2+ 3) + + (k+ 1)2故选 D.D.5 .（2018 济宁微山一中高二期中）若 P= a + a+ 5, Q= .a+ 2 + a + 3（a 0）,则 P, Q 的大小 关系是（）C. PvQD .由 a 的取值确定解：因为 P= ：.,$ + 爲:a + 5, Q= a + 2+g+3 (a 0)，所以 P2= 2a + 5 + 2 a2+ 5a, Q2= 2a+ 5 + 2 .a2+ 5a+ 6，因为 a2+ 5ava2+ 5a + 6，所以a2+ 5ava2+ 5a+ 6，所以 P2vQ2，所以 PvQ. 故选C.C.6.（2018 龙岗

19、区期末）分析法又称执果索因 法，若用分析法证明： 设 abc,且 a+ b+ c= 0, 求证b2ac0 B. a c0C. (a b)(a c)0 D . (a b)(a c)0 解： b2ac ,3a? b2 ac3a2? (a + c)22 2 2 2 2ac3a ? a + 2ac + c ac 3a 0? 一 2a + ac +2 2 2c 0? (a c)(2a + c)0? (a c)(a b)0.故选 C.C.7.设 a, b 是两个实数，给出下列条件：a + b1 ; a+ b= 2;a+ b2;a2+ b22 ；ab1.其中能推出：“ a, b 中至少有一个大于 1”的 条

20、件是_.(填序号)1 2解：若 a= 2, b = 3,贝 U a+ b1，但 a1 , b2，故推不出；若 a= 2, b= 3，则 ab1，故推不出；对于， 若 a + b2，则 a, b 中至少有一个大于 1，反证法： 假设 a 1 且 b 1，贝 U a+ b2 矛盾，因 此假设不成立，故 a, b 中至少有一个大于 1故填. .18.（2016 滨州高二期中）若 a bc,则使七a b1k+ -恒成立的最大的正整数 k 为b c a c解：因为 abc,所以 a b0, b c0, aa c a cc 0 ,且 a c = a b + b c. +=a b bckwc+a一恒成立，所

21、以 k 的最大值为 4.故填 4.4.a b b c9.（2017 驻马店期末）设非等腰厶 ABC 的内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列，用分析法证明:证明：因为 ABC0, c b丰0.1 , 1七+bbab cb ab+c非等腰三角形，所以a 要证 +,a b c b a b + c只需证只需证只需证一ab）,只需证只需证只需证a + c 2b3(a b)( c b) = a b+ c，(a + c 2b)(a b + c) = 3(a b)( c b),(a + c b)2 b(a + c b) = 3(ac + b2 bcb2= a2+ c

22、2 ac,coSB = h 1nB=nA+C因为 A, B, C 成等差数列，所以B=专nBn专，所以 B = 3 显然成立.故结论成立.n*10证明：1 (x+ 3) (n N N )能被 x+ 2 整除.证明：(1)当 n = 1 时，1 (x+ 3) = (x+ 2)，能被 x + 2 整除；(2)假设 n = k(k N N )时命题成立，即 1 (x+ 3)k能被 x + 2 整除，则可设 1 (x+ 3)k= (x+ 2)f(x)(其中 f(x)为 k 1 次多项式).当 n= k+ 1 时，1 (x+ 3)k+1= 1 (x+ 3)(x+ 3)kk=(X + 3)1 (x+ 3) (x+ 2) = (x + 3)(x+ 2)f(x) (x +2) = (x+ 2)(x+ 3)f(x) 1能被 x+ 2 整除，所以， 当 n =k+ 1 时，命题仍然成立.由(1)(2)可知，对于？n N N*命题成立.x x 211.已知