四年级(新课标)数学第四章控制系统的时域分析(1)(教学课件)

1、第四章 线性系统的时域分析法1.1.本讲内容本讲内容1 1）动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程 2 2）一阶一阶系统的时域分析系统的时域分析3 3）二阶二阶系统的时域分析系统的时域分析4.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型分析控制系统的第一步是建立模型 第二步第二步 分析控制性能分析控制性能 分析有多种方法：有时域分析法，频域分分析有多种方法：有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。析法，根轨迹法等。 每种方法，均有它们的适用范围和对象。每种方法，均有它们的适用范围和对象。 本章讨论时域法。本章讨论时域法。（1）控制系统性能评判标准 在分析和设计控制系统时，对各种控制系在分析和设计控制系

2、统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。统性能得有评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统加上各这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。响应来建立。（2）试验信号评价系统性能 实际系统的输入信号不可知性；实际系统的输入信号不可知性； 系统对典型试验信号的响应特性，与系统系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系一定的关系 设计准则设计准则建立在典型试验信号的基础上建立在典型试验信号的基础上建立在系统对初始条件变化（无任何试验

3、信号建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上）的基础上经常采用的试验输入信号：经常采用的试验输入信号： 电压试验信号是时间的简单函数，便于分电压试验信号是时间的简单函数，便于分析突然受到恒定输入作用或突然的扰动。析突然受到恒定输入作用或突然的扰动。 如果控制系统的输入量是随时间逐步变化如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。4.2 典型试验信号典型试验信号Typical test signals经常采用的试验输入信号：（单位）阶跃函数（单位）阶跃函数（Step functionStep function） 室温调节系

4、统和水位调节系统室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（单位）斜坡函数（Ramp functionRamp function） 速度速度 （单位）加速度函数（单位）加速度函数（Acceleration Acceleration functionfunction）抛物线抛物线 0,)( 1tt0,tt0,212tt经常采用的试验输入信号：（单位）脉冲函数（单位）脉冲函数（Impulse functionImpulse function） 正弦函数（正弦函数（Simusoidal functionSimusoidal function）Asinut Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。

5、当输入作用具有周期性变化时。0,)(tt 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。系统的特性进行比较和研究。 本章讨论系统非周期信号本章讨论系统非周期信号绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability , R e l a t i v e S t a b i l i t y ,Steady_state Error 在设计控制系统时，我们能够根据元件的在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。性能，估算出系统的动态特性。 控制

6、系统动态特性中，最重要的是绝对稳控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。 如果控制系统没有受到任何扰动，或输入如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。态上，控制系统便处于平衡状态。绝对稳定性是前提 如果线性定常控制系统受到扰动量的作用如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。那么，这种系统是稳定的。 如果线性定常控制系统受到扰动量作用后如果线

7、性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。不稳定的。 4.2 动态过程和稳态过程在典型输入信号作用下，任何一个控制系统在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应分为的时间响应分为瞬时响应和稳态响应瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Transient Response & Steady_state ResponseResponse 瞬态响应瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态指系统

8、从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。、摩擦、阻尼等原因。 稳态响应稳态响应 是指当是指当t t趋近于无穷大时，系统趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。入量的程度。相对稳定性： 因为物理控制系统包含有一些贮能元件，因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。统达到稳态之前，表现为瞬态响

9、应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程阻尼振荡过程。称动态过程。称动态过程。 稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。态误差。这个误差表示系统的准确度。 稳态特性：稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。扰动能力的一种度量。 在分析控制系统时，我们既要研究系统的在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳

10、定状态所需的时瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。定对输入信号跟踪的误差大小。动态性能指标： 在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0 0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。 实际控制系统的瞬态响应

11、，在达到稳态以前，常常表现为实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。0tMp超调量允许误差10.90.50.1trtpts图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h 延迟时间延迟时间 ：（：（Delay TimeDelay Time）响应）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。，

12、叫延迟时间。 上升时间上升时间 （Rise TimeRise Time）响应曲线从）响应曲线从稳态值的稳态值的10%10%上升到上升到90%90%，所需的时间。，所需的时间。5%5%上升到上升到95%95%，或从，或从0 0上升到上升到100%100%，对于欠，对于欠阻尼二阶系统，通常采用阻尼二阶系统，通常采用0 0100%100%的上升时的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用间，对于过阻尼系统，通常采用101090%90%的的上升时间上升时间，上升时间越短，响应速度越，上升时间越短，响应速度越快。快。dt:rt 峰值时间峰值时间 （Peak TimePeak Time）：响应曲线达）：响应曲线

13、达到过调量的第一个峰值所需要的时间。到过调量的第一个峰值所需要的时间。 调节时间调节时间 （Settling TimeSettling Time）：在响）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取通常取5%5%或或2%2%）作一个允许误差范围，响）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。围内，所需的时间。pt:st 最大超调量最大超调量 （Maximum OvershootMaximum Overshoot）：指响应的最大偏离量）：指响应的最大偏离量h(tp)h(tp)与终值与终值

14、 之差的百分比，之差的百分比， 即即 t tr r 或或 t tp p 评价系统的响应速度；评价系统的响应速度；t ts s同时同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 评价系统的阻尼程度。评价系统的阻尼程度。:pM)(h%100)()()(%hhthp%4.3 一阶系统的时域分析 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图（系统。图（a a）所示的）所示的RCRC电路，其微分方程电路，其微分方程为为 其中其中C(t)C(t)为电路输出电压，为电路输出电压，r(t)r(t)为电路输为电路输入电压，入电压，T=RCT=RC

15、为时间常数。为时间常数。)(trUdtduRCcc)()()(trtCtCT一阶系统电路图、方块图及等效方块图 i(t)+r(t)c(t)+（a）电路图RCR(s)C(s)（c）等效方块图R(s)C(s)（b）方块图I(s) 当初始条件为零时，其传递函数为当初始条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。 下面分别就不同的典型输入信号，分析该下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。系统的时域响应。 11)()()(TSsRsCs单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order Unit-St

16、ep Response of First-order System System 因为单位阶跃函数的拉氏变因为单位阶跃函数的拉氏变 ，则，则系统的输出由前式可知为系统的输出由前式可知为 111111)()()(TSSSTSsRssCSsR1)( 对上式取拉氏反变换，得对上式取拉氏反变换，得Ttetc1)(0t图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t) 注：注：R(s)R(s)的极点形成系统响应的稳态分量的极点形成系统响应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一

17、个结论不仅适用于一阶线性定常量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。系统，而且也适用于高阶线性定常系统。 响应曲线在响应曲线在 时的斜率为时的斜率为 ，如果系统输出响应的速度恒为，如果系统输出响应的速度恒为 ，则只要则只要t tT T时，输出时，输出c(t)c(t)就能达到其终值就能达到其终值。如上图所示。如上图所示。 0tT1T1 由于由于c(t)c(t)的终值为的终值为1 1，因而系统阶跃输入，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。时的稳态误差为零。 动态性能指标：动态性能指标：Ttd69. 0Ttr20. 2误差带）%5(3Tts不存在和pt特性：1 1、可以

18、用时间常数、可以用时间常数T T度量系统输出量的数值度量系统输出量的数值此特定可用实验方法测定一阶系统的时间常数，此特定可用实验方法测定一阶系统的时间常数，或判断所测系统是否属于一阶系统或判断所测系统是否属于一阶系统2 2、响应曲线的斜率初始值为、响应曲线的斜率初始值为1/T1/T，并随时间，并随时间的推移而下降。的推移而下降。初始斜率特性也是确定一阶系统的时间常数的方初始斜率特性也是确定一阶系统的时间常数的方法之一法之一一阶系统的单位脉冲响应 当当输入信号为理想单位脉冲函数时，输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)R(s)1 1，输出量的拉氏变换与系统的传，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相

19、同，即递函数相同，即 11)(TSsC这时相同的输出称为脉冲响应记作这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)g(t)，因为因为 )()(1sGLtg其表达式为其表达式为 01)(teTtcTt一 阶 系 统 的 单 位 斜 坡 响 应Unit-ramp Response of first-order Systems 当当2S1R(s) TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222对上式求拉氏反变换，得：对上式求拉氏反变换，得： tTtTTeTteTttc11)1 ()(因为因为 )1 ()()()(1tTeTtctrteTteetss)(lim所以一阶系统跟所以一阶系统跟踪单位斜坡信

20、号踪单位斜坡信号的稳态误差为的稳态误差为r(t)c(t)r(t)c(t)t0图3-5一阶系统的斜坡响应上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同输入和输出信号的变化率完全相同 1)(,1)(ttctr 由于系统存在惯性，从由于系统存在惯性，从0 0上升到上升到1 1时，对应的时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T T，这就是稳态误差产生的原因。这就是稳态误差产生的原因。 减少时间常数减少时间常数T T不仅可以加快瞬态响应的速不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡

21、信号的稳态误差。度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。一阶系统的单位加速度响应221)(ttr31)(SsRTST11TSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()()(2223233)83()0()1 (21)(122 teTTtttctT)83()1 ()()()(12 tTeTTttctrte上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。对加速度输入函数的跟踪。 一阶系统对典型输入信号的响应式 )(t)0(1teTTt11TSS101teTt2

22、1S0tTeTtTt221t31S0)1 (2122teTTttTt输入信号输入信号 输出响应输出响应 传递传递函数函数 微微 分分 1微微 分分 1(t)tST11等价关系： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；对该输入信号响应的积分； 积分常数由零初始条件确定。积分常数由零初始条件确定。 等价关系是线性定常系统的一个重要特性等价关系是线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用，适用于任何阶线

23、性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。于线性时变系统和非线性系统。 因此，研究线性定常系统的时间响应，不因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。往往只取其中一种典型形式进行研究。 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析4.4 二阶系统的数学模型 表示为如下标准形式表示为如下标准形式 2222)()()(nnnSsRsCs 自然频率（或无阻尼振

24、荡频率）自然频率（或无阻尼振荡频率） 阻尼比（相对阻尼系数）阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的标准形式，相应的方块图如图二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示所示 nS(S+2n)n2R(s)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_二阶系统的动态特性，可以用二阶系统的动态特性，可以用 和和 这这两个参量的形式加以描述两个参量的形式加以描述n二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程： 0222nnSS122, 1nnS二阶系统的单位阶跃响应 020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82二阶系统的极点分布0两个正实部的特征根两个正实部

25、的特征根 发散发散 10闭环极点为共扼复根，位于右半闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，平面，这时的系统叫做欠阻尼系统这时的系统叫做欠阻尼系统 1为两个相等的根为两个相等的根 ，临界阻尼，临界阻尼1为两个不相等的根为两个不相等的根 ，过阻尼，过阻尼0虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡 图3-9二阶系统极点分布左半平面001=1两个相等根jn=0d=njn=0j右半平面1两个不等根0(1)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应 10二阶系统的特征方程的根：二阶系统的特征方程的根： 0222nnSS122, 1nnS二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程： 令令 衰减系数衰减系数 n21nd阻尼振荡频率阻尼振荡频率 22, 11nnjSdj2222)()()(nnnSsRsCsSsR1)(SSSsRssCnnn12)()()(2222222)()(1dnndnnSSSS2211dnnddnd对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 sin1cos1)(2ttethddtn0