北师版高数必修一第9讲：指数运算与指数函数(教师版)

1、No. TimeDate Name我的个性化教材YOU WIN SPECIALIZATION指数运算与指数函数大脑体操) 电作业完成情网，教学目标)1、 理解根式、分数指数鬲的概念，掌握有理指数鬲的运算性质.2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。，出趣味引入)电知识梳理)一、有理数指数幕及运算性质1、有理数指数幕的分类史(1)正整数指数幕=白" a (neiV*); (2)零指数幕= 1 (。n0);(3)负整数指数幕=("0,亡解)(4) 0的正分数指数幕W于0, 0的负分数指数暴没有意义。2、有理数指数塞的性质(1) aman =am=n («>0,/?

2、,/? eg) (2)(")"="加(a > 0,m, £ Q)(3) (ab)m = a'"bm (n > 0,Z? > Ojn g Q)二、根式1、根式的定义：一般地，如果/=，那么x叫做，的次方根，其中 乂?叫做根式，叫做根指数，。叫被开方数。2、对于根式记号跖，要注意以下几点：。工奥耀例胜教肓www. youwinedu. comW 400-610-6869TimeNameNo.Date以我的个性化教材I VYOU WIN SPECIALIZATION（1） nwN,且>1；（2）当是奇数，则。=；当是偶

3、数,贝丽邮=<a 67 >0a a <0（3）负数没有偶次方根;3、规定：（4）零的任何次方根都是零。工耍燃!例胜教肓www. youwinedu. com400-610-6869nt1) an = yja(« > Ojnji e > 1);a > 0,inji e N*, > l)m三、对指数函数定义的理解一般地,函数产优（a > 0且a ¥ 1）叫做指数函数。1、定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在 。>0的前提下，戈可以是任意实数。2、规定。>0,且。工1的理由：(1)若 4 = 0,(

4、2)若。<0,当x>0!时，优恒等于0；当x«0l讨，,无意义。如y = （-2）、，当x = 1、1等时，在实数范围内函数值不 42存在。（3），= r=i,是一个常量，没有研究的必要性。为了避免上述各种情况，所以规定。>0,且。W1。3、式上的严格性：指数函数的定义表达式丁 =，中，/前的系数必须是lo自变量x在指 数的位置上。比如），=2",，= "+1,>，= ,产等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如），= （00且awl）,因为它可以化其中L>o,且，工1。aa四、指数函数的图象和性质:a>0

5、<a<图象yQX性质定义域：R值域：（0,”）图像都过点（0,1）在R上是增函数在R上是减函数No. TimeDate Name我的个性化教材YOU WIN SPECIALIZATION特别提醒:角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律: 在)，轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在)，轴左侧，图像从上往 下相应的底数由小变大。即不论在)，轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。五、比较嘉值得大小底数相同：利用函数的单调性进行比较；指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数 图像进行比较。指数函数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：

6、即无论在y 轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。六、指数方程的可解类型，可分为：形如="巾)(>0,4工1)的方程，化为/(x) = g(x)求解。形如= 0的方程，可令”"进行换元，转化成/+加+ c = 0(，>0) 一 元二次方程进行求解。七、指数不等式的解法：当 >1时，>>C*与/>g(x)同解，当0V4V1时，/V，)与f (x)vg(x)同解。典例讲练)类型一根式与分数指数幕的互化139例L (1)用根式表示下列各式：枝；乂 ； &一小用分数指数幕表示下列各式：工；工

7、；。工耍燃!例胜教肓www. youwinedu. com400-610-6869No. TimeDate Name我的个性化教材YOU WIN SPECIALIZATION解析：及=解；1；Q Q(2)句？ = &3 ；=才；2=a 3<93答案：见解析练习1：把根式化为分数指数幕的形式：晒1 3答案：/M31练习2：用根式表示下列各式：*；31=3 + (23)4 X24 +23,1 1233 - 42+ 1 - 3 2to/l-1 - 3 4 - 9类型二根式与分数指数幕的混合运算3 解析：原式=（万）例 2：计算：1. 5-1+8°25X 2+ (2X/3)4-

8、 J112 -X2-+62-(-)3 =2+36 = 38.答案：38练习 1：化简：1.5l x+8-5X答案：110练习2： （2014-2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考）化简 Q 7 3-兀 5+- n -3 3=()9A. 2 JiB. 6 C. 2 兀 D. -6答案:D类型三指数函数的定义例3：下列函数中，哪些是指数函数？ y=10x； y=10x+1； p=l（T+l； y=2 10r；尸（一10）、 p= （10 + a）"（a> 10,且 aW 9）；尸追解析：尸10,符合定义，是指数函数；y=10f是由 尸10,和y=10这两个函数相乘得到的复合函数

9、，不是 指数函数；尸10'+1是由 尸10,和 尸1这两个函数相加得到的复合函数；y=2-10,是由尸2和p=l（T这两个函数相乘得到的复合函数，不 是指数函数；夕=（-10）£的底数是负数，不符合指数函数的定义；由于10 + a>0,且10 + aWl,即底数是符合要求的常数，故尸（10 + “（8- 10,且a#9）是指数函数;y=/的底数不是常数，故不是指数函数.综上可知，、是指数函数.答案：、练习1：若函数y=（a3）-（2a1广是指数函数，求a的值.答案：4练习2： （2014-2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试） 函数尸（才一3a+3） d是

10、指数函数，则有（）A. a=l 或 a=2B. a=lC. a=2D. a>0 且TimeNameNo.Date以我的个性化教材I VYOU WIN SPECIALIZATION类型四指数函数的图象和性质例4：函数F（x）=a"的图象如图所示，其中a、6为常数，则下列结 论正确的是（）a>l, b>0 C. 0水 1,核0 D- 0水 1,从0解析：由图象呈下降趋势可知0水1,又由图象与p轴的交点的纵坐标小于1可知即一力0, AK0.答案:D)A. a>l答案：B练习1：若函数y=a*+%一1（於0）的图象经过第一、三和第四象限，则B. al,且水0C. 0&

11、lt;a<l,且勿0D. 0水 1练习2： （20142015学年度山西太原市高一上学期期中测试）在同一 坐标系中，函数y=2'与尸化）的图象之间的关系是（A.关于原点对称B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于直线尸x对称答案:C类型五指数函数性质的应用例5:比较下列各组数的大小：（1） 1. 72-5,1. 73；（2）0.801,0.8-°-2；（3） 1. 70 3 0. 93 1；解析：（1）考察指数函数y=1.7:由于底数所以指数函数y=1.7，在（-8, +8）上是增函数.。工耍燃!例胜教肓www. youwinedu. com400-610-6869

12、V2. 5<3, Al. 7： 5<1. 73.(2)考察函数y=0.80由于0<0.8<L所以指数函数尸0.8'在(-8, +8)上为减函数.V-0. 1>-0.2, .*.0. 8 01<0. 80 2.(3)由指数函数的性质得1. 70 3>1. 7°=1,0. 931<0. 9°=1,Al. 70 3>0. 931.答案：<<>练习1：比较下列各题中两个值的大小.(1)0. 3s与 0. 3f ；(1-7与22 .I乙/答案：>>练习2： （20142015学年度潍坊四县市高

13、一上学期期中测试）函数f（x）+ 2(a>0, aWl)恒过定点答案：（1,3）类型六指数函数性质的综合应用例 6:函数 f(x) =1Bx+c,满足 f(l + x) =F(1x),且 f(0)=3, 比较/'（£）与f（寸的大小.解析：.F(l+x) =f(l x),fx) =/8x+c 的对称轴为 x=l.h即5=lnb=2.又 /(O) =3, /. c=3.:,fW) = A20 , F(c') = f(3)若x20,则3s22、21,而f(x)=1 2x+3在1,+8)上为增函数,A30 2f(2、),即 AcO,若 x<0,则 0<3&

14、lt;2<1,而 F(x)=*2x+3 在(-8, 1)上为减函数，A31) >/(20 ,即，综上所述，(g2f(6).No. TimeDate Name我的个性化教材YOU WIN SPECIALIZATION、不备我的个性化教材No. Timef YOU WIN SPECIALIZATIONDate Name答案：答案2 f(切.练习1: (2015 陕西文，4改编)设F(x)=F5.2 水0则 nr(-2)=.答案，练习2：设函数F(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=l对称, 且当时，F(x) =3 -1,则F$)、f(|)、F(|)的大小关系为.931答案：JNJ盛

15、当堂检测)1、把下列各式中的写成分数指数累的形式(1 ) as = 256 ； ( 2 )= 28 ;答案：(1) = 2561(2)。= 2822、计算(1) 9冬 (2) 16433333.答案：(1) 9 =(32)2 =3- 2 =33 =27 ; (2) 16 1 =(42) =4-3 =64-1 =3、求下列各式的值问 ；(2) ；答案：(1) N(一2)3 = -2 ;(2)，(一2=24、用分数指数鬲的形式表示下列各式：(1 ) a yja( 2 ) / i/cT】 M 52 以2 II答案：(1) a' >a = a2 a2 = a 2 = a2 ；( 2 )

16、a' /a = a' a5 = a 3 = a35、若函数)，= (12-3)'是一个指数函数，求实数的取值范围。答案：(-+ >/?+5/5,4-00)6、函数尸2-+3恒过定点答案：（3,4）3fe；当堂总结）电家庭作业）基础巩固1. （20142015学年度河北刑台二中高一上学期月考）下列命题中正确 命题的个数为（）安"=3；若 a£R,则（/一a+l” = l；赤工+y； ®y-iA. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. （20142015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试）设力0,将 J 写成分数指数幕,其结果

17、是（） q a ."31A./B. a257C> <9gD. 86TimeNameNo.Date借我的个性化教材f YOU WIN SPECIALIZATION3. （20142015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试）计算：24. （20142015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试）若水方则化4,简寸4/-1 :的结果是（A.也一4aC. 4a答案：AB. '4a1D. yj4a 15. （20142015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试）函数y=d在0,1上的最大值与最小值的和为3,则a=（）1 A.B. 2C. 4答案:B能力提升6. （2014

18、2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试）若函数f (x)=<f x+22r G2,则£（一3）的值为（W 400-610-6869B.A. 2D.答案：Do工奥耀例胜教肓www. youwinedu. comTimeNameNo.Date备我的个性化教材YOU WIN SPECIALIZATION7. (2014-2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y=a +1+l(>0且aWl)的图象必经过定点答案：(一1,2)8. (2014-2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设F(x) 是定义在R上的奇函数，且当x>0时，F(x)=2”-3

19、,则当水0时，f(x) =答案：3-2、9. (20142015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x) = ka-a '(a>0且a#l)是奇函数.求常数A的值;若卧1,试判断函数f(x)的单调性，并加以证明.答案：(1)函数f(x)的定义域为R.又为奇函数，f(0) = 0,即 A1=0, /.k=l.当a>l时，函数f(x)是R上的增函数.由知由出= a-a f(xz) -F(&) = ax2-ax2 aa= axL a 八W 400-610-6869=(a» -a“1+浑xKxz， a>l, 二 a ", / a ta ">0.O工奥耀例胜教肓www. youwinedu. com、不备我的个性化教材No. Timef YOU WIN SPECIALIZATIONDate Name又1+.7+