高一数学曲线和方程检测试题

1、典型例题一例1如果命题“坐标满足方程fx,y=0的点都在曲线C上不正确,那么以下正确的命题是(A)曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0.(B)坐标满足方程fx,y=0的点有些在C上,有些不在C上.(C)坐标满足方程fx,yi；=0的点都不在曲线C上.(D)一定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程fx,y=0.分析：原命题是错误的,即坐标满足方程fx,y=0的点不一定都在曲线C上,易知答案为D.典型例题二例2说明过点P(5,-1)且平行于x轴的直线I和方程Iy=i所代表的曲线之间的关系.分析：“曲线和方程的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的

2、坐标都是方程f(x,y)=0的解,即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准那么.解：如下列图所示,过点P且平行于x轴的直线I的方程为y=,因而在直线i上的点的坐标都满足|y=1,所以直线i上的点都在方程|y|=i表示的曲线上.但是以|y=i这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上,因此方程y=i不是直线的方程,直线只是方程y=i所表示曲线的一局部.yox说明：此题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性.典型例题三例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y=x所

3、表示的直线之间的关系.分析：该题应该抓住“纯粹性和“完备性来进行分析.解：方程y二x所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹上的点不都满足方程y=x,例如点(-3,3)到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程y二x.因此不能说方程y二x就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程y二x所表示的轨迹.说明：此题中“以方程的解为坐标点都在曲线上,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线.典型例题四例4曲线/+(y1)2=4与直线y=k(x2)+4

4、有两个不同的交点,求k的取值范围.有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于X的一元二次方程的判别式A分别满足.0、解:*y=k(x-2)+4,落(y1)2=4.得(1k2)x22k(32k)x(3-2k)2-4=0=4k2(3-2k)2-4(1k2)(3-2k)2-4二-4(4k212k5二-4(2k-1)(2k-5)iA.当.：01P(2k-1)(2k-5)0那么有：a2-1a4飞0.31又TaO解之得:a1.二所求实数a的范围是(1,*).解法二：y=ax的曲线是关于y轴

5、对称且顶点在原点的折线,而y=xa表示斜率为1且过点(0,a)的直线,由下列图可知,当a乞1时,折线的右支与直线不相交.所以两曲线只有一个交点,当a1时,直线与折线的两支都相交,所以两条直线有两个相异的交点.yo说明：这类题较好的解法是解法二,即利用数形结合的方法来探求,假设题设条件中“aO改为aR呢,请自己探求.典型例题六例6AOB,其中A(6,0),0(0,0),B(0,3),那么角AOB平分线的方程是y=x(如下列图),分析：此题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度,关键是理解三角形内角平分线是一条线段.解：不对,由于AOB内角平分线是一条线段OC,而方程y二x的图形是一条直线.如点P(

6、8,8)坐标适合方程y=x,但点P不在AOB内角AOB的平分线上.综合上述内角AOB平分线为：y=xgx4.说明：判断曲线的方程或方程的曲线,要紧扣定义,两个条件缺一不可,关键是要搞清楚曲线的范围.典型例题七例7判断方程y-X2-2x1所表示的曲线.分析：根据方程的外表形式,很难判断方程的曲线的形状,因此必需先将方程进行等价变形.解：由原方程丫=仃2-2*1可得：-x+1(xA1),/-1(XV1),方程y=_X2-2x-1的曲线是两条射线,如下图：说明：判断方程表示的曲线,在化简变形方程时要注意等价变形.如方程x-1y-2等价于(x.1)2=y.2且x_1,即y=(x-D2,2(x_i),原

7、方程的曲线是抛物线一局部.典型例题八例8如下图,A、B是两个定点,且AB=2,动点M到定点A的距离是4,线段MB的垂直平分线I交线段MA于点P,求动点P的轨迹方程.M分析：此题首先要建立适当直角坐标系,动点P满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出,要从题意中分析找出等量关系.连结PB,贝yPM=PB,由此|PA+|PB=PA+PM|=AM|=4,即动点P到两定点A,B距离之和为常数.解：过A,B两点的直线为X轴,A,B两点的中点O为坐标原点,建立直角坐标系JAB=2、二A,B两点坐标分别为91,0),(1,0).连结PB.JI垂直平分线段BM,二PM|=PB,PA+|PB|=|PA+|PM=

8、|AM|=4.设点P(x,y),由两点距离公式得.(x1产产(x-1)2y2=4,化简方程,移项两边平方得(移项)2、(x-1)2y2=4-x.两边再平方移项得：22=1,即为所求点P轨迹方程.43说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质,找出P点与两定点A,B距离之和为常数4,是解此题的关键.方程化简过程也是很重要的,且化简过程也保证了等价性.典型例题九例9过P2.4点作两条互相垂直的直线li,I2,假设h交h轴于A,I2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.解：连接PM,设M(x,v),那么A(2xQ),B(0,2y).4PAB为直角三角形.由直角三角形性质知PM=-AB2_22+(y_

9、4$=1(4x2+4y22化简得M的轨迹方程为x2y5二0说明：此题也可以用勾股定理求解,还可以用斜率关系求解,因此此题可有三种解法.用斜率求解的过程要麻烦一些.典型例题十例10求与两定点A、B满足|PA2PB二k2(k是常数)的动点P的轨迹方程.分析：按求曲线方程的方法步骤求解.解法一：如图甲,取两定点A和B的连线为x轴,过AB的中点且与AB垂直的直线为y轴建立坐标系.22设A(-a,0),B(a,O),P(x,y),那么：PA=(x+a)2+y2,PB=(x-a)2+y2.据题意,PA?-PB$=k2,有(x+a)2+y2L(x-a)2+y2=k2得4ax=k2.2由于k是常数,且a“,所

10、以乂=匕为动点的轨迹方程,即动点P的4a轨迹是一条平行于y轴的直线.解法二：如图乙,取A与B两点连线为x轴,过A点且与AB垂直的直线为y轴建立坐标系.设A(0,0),B(a,O),P(x,y),贝心PA=x2+y2,PB=(x-a)2+y2.据题意,PA2PB,=k2,有(x?+y2xa)2+y2=k2,2/2/得x=aL,即动点P的轨迹方程为X=aL,它是平行于y轴2a2a的一条直线.解法三:如图丙建立坐标系,设A(xi,yi),B(x2,y2),P(x,y),那么力I班Xi0图丙PA2=(xxj2+(yyj2,PB2=(xx?)2+(yy?)2.据题意,|PA-PB2=k2,有(x-xj2

11、(y-yj2L(xX2)2(y-y2)2】=k2,整理后得到点p的轨迹方程为：2(x2-xjx2(y2-yjyxy/-xA-y2?-k2=0,它是-条直线.说明：由上面介绍的三种解法,可以看到对于同一条直线,在不同的坐标系中,方程不同,适当建立坐标系如解法一、解法二,得到的方程形式简单、特性明显,一看便知是直线.而解法三得到的方程烦琐、冗长,假设以此为根底研究其他问题,会引起不必要的麻烦.因此,在求曲线方程时,根据具体情况适中选取坐标系十分重要.另外,也要注意到此题所求的是轨迹的方程,在作解答表述时应强调曲线的方程,而不是曲线.典型例题十例11两直线分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面内转动

12、,且转动时保持相互垂直,求两直线的交点P的轨迹方程.分析：建立适当的直角坐标系,利用直角三角形的性质,列出动点所满足的等式.解：取直线AB为X轴,取线段AB的中点O为原点建立直角坐标系,那么：A(-a,O),B(a,O),P属于集合C=*P|PA?+PB2=AB2.设P(x,y),那么(xa)2y2(xa)2y2=(2a)2,化简得x2y2=a2.这就是两直线的交点p的轨迹方程.说明：此题易出现如下解答错误：取直线AB为X轴,取线段AB的中点O为原点建立直角坐标系,那么：A(-a,0),B(a,0),交点P属于集合C=PPAPBPkPAkpB=_1.设P(xy),贝SkpA二V(x=-a),k

13、pB二V(x=a),x+ax-a故一八V1,即x2y2=a2(x=二a).xax-a要知道,当PAx轴且另一直线与x轴重合时,仍有两直线互相垂直,此时两直线交点为A.同样PB_x轴重合时,且另一直线与x轴仍有两直线互相垂直,此时两直线交点为B.因而,A(-a,0)B(a,0)应为所求方程的解.纠正的方法是:当PA或PB的斜率不存在时,即x二a时,A(-a,0)和B(a,0)也在曲线上,故所求的点P的轨迹方程是x2丫八a2.求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解为坐标的点作考察,既要剔除不适合的局部,也不要遗漏满足条件的局部.典型例题十二例12如图,RtABC的两

14、条直角边长分别为a和b(a,b),A与B两点分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动,求直角顶点C的轨迹方程.分析：由.ACB是直角,人和B两点在坐标轴上滑动时AOB也是直角,由平面几何知识,A、C、B、O四点共圆,贝S有ABC-AOC,这就是点C满足的几何条件.由此列出顶点C的坐标适合的方程.解：设点c的坐标为(x,y),连结CO,由,ACB-AOB=90,所以A、O、B、C四点共圆.从而.AOC-ABC,由tanABC二匕,tanAOC二,有丫,即axxabyx.注意到方程表示的是过原点、斜率为-的一条直线,而题目中的A与B均在两坐标轴的正半轴上滑动,由于a、b为常数,故C点的轨迹不会是一条

15、直线,而是直线的一局部.我们可考察A与B两点在坐标轴上的极端位置,确定C点坐标的范围.如下列图,当点A与原点重合时,如下列图,当点由射影定理,b1Sabc9ABXB与原点重合时,C点的横坐标x=BD.x.a2b2,有BC2=BDAB,即a?二2a由aho22).va2+b2ab,所以一：32U2故c点的轨迹方程为：yx(av,a2+b2说明：求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解为坐标的点作考察,剔除不适合的局部.例13过点P(3,2)作两条互相垂直的直线h、I?,假设h交X轴于A,I2交y轴于B,M在线段AB上,且AM:|BM=1:3,求M点的轨迹方程.分析：

16、如图,设M(x,y),题中几何条件是h,在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为-1,所以要求M的轨迹方程即x、y之间的关系,首先要把1、I?的斜率用x、y表示出来,而表示斜率的关键是用X、y表示A、B两点的坐标,由题可知M是A、B的定比分点,由定比分点坐标公式便可找出A、B、M坐标之间的关系,进而表示出A、B两点的坐标,并求出M点的轨迹方程.O/褊解：设M(x,y),A(a,O),B(O,b)/M在线段AB上,且AM:BM=1:3.M分Ab所成的比是34/曰a_x-b,得3,L=4yi-34.A(-x,O)、B(0,4y)3又P(3,2),二1一的斜率k一二八,12的斜率k2=4

17、y23_3-3T12,二竺Z1.34X-33化简得：4x-8y113=0.说明：此题的上述解题过程并不严密,由于k需在.时才能成4立,而当x=-时,A(3,0),卜的方程为x=3,所以12的方程是y=2.故4B(0,2),可求得M(,-),而-)也满足方程4x8y.i3=0.故所求4242轨迹的方程是4x8y-13=0.这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性.典型例题十四例14如图,两点P(-2,2),Q(0,2)以及一直线1：y=x,设长为2的线段AB在直线1上移动.求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.分析1:设M(x,y),题中的几何条件是|AB=V2,所以只需用(x,y)表示出A、B两点

18、的坐标,便可求出曲线的方程,而要表示A点坐标可先找出A、M两点坐标的关系,显然P、A、M三点共线.这样便可找出A、M坐标之间的关系,进而表示出A的坐标,同理便可表示出B的坐标,问题便可以迎刃而解.解法一:设M(x,y)、A(a,a)、B(b,b)(ba).由P、A、M三点共线可得：皂三乂口(利用PA与MP斜率相等a+2x十2得至)2x2Va=x-y4由Q、B、M三点共线可得二号.2xx-y2又由AB=J2得2(a_b)2=2./12x2x2y1/.D-a=1一x-y2x-y4化简和所求轨迹方程为：x2.y22x.2y8=0.分析2：此题也可以先用P、A、M三点共线表示出A点坐标,再根据AB2表示出B点坐标,然后利用Q、B、M三点共线也可求得轨迹方程.解法二：设M(x,y),A(a,a)由AB二运且B在直线y=x上且B在A的上方可得：B(a+1,a+1)由解法一知a=由xy+4一口/3xy43xy4)、Ax_y4x_y4又由Q、B、M三点共线可得:3xy4_2xy4y-23xy4-xxy4化简得所求轨迹方程为：x2y22x2y-8=0.解法三：由于AB2且AB在直线y