第3章 随机信号分析

1、2.1引言引言2.2随机过程的一般表述随机过程的一般表述2.3平稳随机过程平稳随机过程2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.5高斯过程高斯过程2.6窄带随机过程窄带随机过程2.7正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 2.8随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统第第 2 章章 随机信号分析随机信号分析返回主目录作业作业P613-33-53-93-122.1 引言引言 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其变化过程具有确定的形式，或者说具有必一类是其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，

2、用数学语言来说，其变化过程可以然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称的确定函数来描述，这类过程称为为确定性过程确定性过程。返回本章返回本章 而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为的确定函数来描述，这类过程称为随机随机过程过程。下面我们给出一个例子：。下面我

3、们给出一个例子： 设有设有n台台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录和测试条件下记录各台各台接收机的输出接收机的输出噪声波形噪声波形（这也可以理解（这也可以理解为对为对一台一台接收机在接收机在一段时间一段时间内持续地进行内持续地进行n次次观测）。测试结观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。时间的变化

4、是不可预知的，因而它是一个随机过程。 由此我们给随机过程下一个更为严格的由此我们给随机过程下一个更为严格的定义定义：设：设Sk(k=1, 2, )是随机试验。是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体，所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一随机过程，记作就构成一随机过程，记作(t)。简言之，。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫做无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。随机过程。如图如图 2 - 1 所示所示。 图 2- 1样本函数的总体 x1(

5、t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk随机过程随机过程基本特征基本特征体现在两个方面体现在两个方面(两重性两重性)： 它是一个它是一个时间函数时间函数； 在任一时刻观察到的值是不确定的，即是在任一时刻观察到的值是不确定的，即是一个一个随机变量随机变量 。 因此，我们又可以把随机过程看成因此，我们又可以把随机过程看成是是在在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。合。 通信系统中用于表示信息的信号不通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的可能是单一的确定的, , 而是各种不同的而是各种不同的信号。信息就包含于出现信号。信息就包含于

6、出现的的信号之中。信号之中。例如二元信息需用二种信号表示例如二元信息需用二种信号表示, , 具体具体出现哪个信号是随机的出现哪个信号是随机的, ,不可能准确不可能准确预预测测( ( 如能如能预预测测, ,则无需通信了则无需通信了) )。 我们称这我们称这种具有随机性的信号为种具有随机性的信号为随机信号随机信号。随机信号随机信号 信号的某个或某几个参数不能预知或信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知，这种具有随机性的不能完全被预知，这种具有随机性的信号称为随机信号信号称为随机信号随机噪声随机噪声 不能预测的噪声统称为随机噪声不能预测的噪声统称为随机噪声2.2 随机过程的一般表述随机过程的

7、一般表述 设设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用性可以用分布函数分布函数或或概率密度函数概率密度函数来描述。我们把随机来描述。我们把随机变量变量(t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率 P(t1)x1，简记为，简记为F1(x1, t1)， 即即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.2-1)式式(2.2 - 1)称为随机过程称为随机过程(t)的一的一维分布函数维分布函数。如果。如果F1(x1, t1)对对x1的偏导数存

8、在，即有的偏导数存在，即有返回本章返回本章图 2- 1样本函数的总体 F1(x1,t1)=P(t1)x1),(),(1111111txfxtxF 则称则称f1(x1, t1)为为(t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数。显然，随。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻任给两个时刻t1, t

9、2T，则随机变量，则随机变量(t1)和和(t2)构构成一个二元随机变量成一个二元随机变量(t1), (t2)，称，称 F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 (2.2-3)为随机过程为随机过程(t)的的二维分布函数二维分布函数。 如果存在如果存在);,();,(21212212, 12122t txxfxxttxxF 则称则称f2(x1,x2; t1,t2)为为(t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数。 同理，任给同理，任给t1, t2, , tnT, 则则(t)的的n维分布函数维分布函数被定义为被定义为 Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)= P(t1)x

10、1,(t2)x2, (tn)xn 若若).,;.,(.).,.;,(2121212, 121nnnnnnntttxxxfxxxtttxxF 则称则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为为(t)的的n维概维概率密度函数率密度函数。显然，。显然，n越大，对随机过程统计越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。函数就已经足够了。 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述分布函数或概率密度函数虽然能够较全面

11、地描述随机过程的统计特性随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望数学期望 设随机过程设随机过程(t)在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值(t1)是一是一个随机变量，其一维概率密度函数为个随机变量，其一维概率密度函数为f1(x1, t1)，则，则(t1)的数学期望为的数学期望为图图 2- 1样本函数的总体样本函数的总体 F1(x1,t1)=P(t1)x111

12、111),()(dxtxfxtE 注意，这里注意，这里t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把t1直接直接写为写为t, x1改为改为x, 这时上式就变为随机过程在任这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是于是dxtxfxtEta),()()(1a(t)是时间是时间t的函数，它表示随机过程的的函数，它表示随机过程的n个个样本函数曲线的摆动中心。样本函数曲线的摆动中心。a(t)2. 方差方差2)()()(tatEtD)()(),()()(221222ttadxtxfxtatE D(t)常记为常记为2(t)，它表示样本偏离均值的程，它表示样本偏离均值

13、的程度。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它度。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻表示随机过程在时刻t对于均值对于均值a(t)的偏离程度。称的偏离程度。称E2(t)为为均方值均方值。称方差的平方根。称方差的平方根(t)为为标准差标准差、均方差均方差或或均方根差均方根差。(t)的均值和方差都存在，则称的均值和方差都存在，则称(t)为为二阶矩过程二阶矩过程。3. 自相关函数和自协方差函数自相关函数和自协方差函数 均值和方差都只与随机过程的一维概率均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特

14、征。为了描述随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二还需利用二维概率密度引入新的数字特征维概率密度引入新的数字特征。 衡量同一随机过程在任意两个时刻获得衡量同一随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数函数B(t1, t2)和相关函数和相关函数R(t1, t2)来表示。来表示。自协方差函数自协方差函数定义为定义为B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2)()(2211taxtax 式中，

15、式中，t1与与t2是任取的两个时刻；是任取的两个时刻；a(t1)与与a(t2)为在为在t1及及t2时刻得到的数学期望；时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。为二维概率密度函数。特例：当特例：当t1=t2 =t时，时， B(t1,t2)= D(t)用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。是否相关。 自相关函数自相关函数定义为定义为二者的关系二者的关系: B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)用途：用途： a 用来判断广义平稳；用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率

16、。用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) 若若 a(t1)=0或或a(t2)=0，则，则B(t1, t2)=R(t1, t2) 若若 t2t1，并令，并令t2=t1+， 则则 R(t1, t2)可表示为可表示为R(t1, t1+)。 这说明，相关函数依赖于起始时刻这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及及t2与与t1之间之间的时间间隔的时间间隔,即相关函数是即相关函数是t1和和的函数。的函数。 由于由于B(t1, t2)和和R(t1, t2)是衡量同

17、一过程的相关程是衡量同一过程的相关程度的，度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。协方差及互相关函数。设设(t)和和(t)分别表示两个随机过程，则分别表示两个随机过程，则互协方差函数互协方差函数定义为定义为B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 互相关函数互相关函数定义为定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2)B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 2121212212121),;,()()()

18、,(dxdxttxxfxxttEttR2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.3.1定义定义 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程推移而变化。设随机过程(t)，tT,若对于任意若对于任意n和任意选定和任意选定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及，以及为任意值，且为任意值，且x1, x2, , xnR，有：，有： fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+ ) (2.3-1)则称则称(t)是是严平稳随机过程严平稳随机过程

19、或或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。 返回本章返回本章该定义说明，平稳随机过程的概率密度函数并不随该定义说明，平稳随机过程的概率密度函数并不随着时间的推移而变化，即着时间的推移而变化，即狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程是是统计统计特性与时间起点无关的随机过程特性与时间起点无关的随机过程。具体到它的一维。具体到它的一维分布分布, 则与时间则与时间t无关，无关， 而二维分布只与时间间隔而二维分布只与时间间隔有有关，即有关，即有 f1(x1, t1)=f1(x1, t1 + )= f1(x1) (2.3-2) f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;t1+ ,t2+ )=f2(x1,x2

20、;) (2.3-3)以上两式可由式（以上两式可由式（2.3-1）分别令）分别令n=1和和n=2, 并取并取=-t1得证。得证。对于平稳随机过程对于平稳随机过程(t) (1)adxxfxdxtxfxtE111111111)(),()( 为一常数，为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏绕着一水平线起伏。(2) R(t1, t2)=(t1)(t1+) = )();,(2121221Rdxdxxxfxx 仅是时间间隔仅是时间间隔=t2-t1的函数，而不再是的函数，而不再是t1和和t2的二的二维函数。维函数。 若若 (1) a(t)=a (2) R(t

21、1, t1+)=R() 则称则称(t)为为宽平稳随机过程宽平稳随机过程或或广义平稳随机过程广义平稳随机过程 因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、 二维概率密度有关的数字特征。可以证明二维概率密度有关的数字特征。可以证明一个严平稳一个严平稳随机过程只要它的均方值随机过程只要它的均方值E2(t)有界，则它必定有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。 即：即： 广义平稳不一定狭义平稳，狭义平稳也不一定广广义平稳不一定狭义平稳，狭义平稳也不一定广义平稳。义平稳。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为

22、通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程，简称且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。平稳过程。 2.3.2 各态历经性各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下，有平稳随机过程在满足一定条件下，有“各态历各态历经性经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为特征（均为时间平均时间平均）来替代。也就是说，假设）来

23、替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为和时间相关函数分别为2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR图 2- 1样本函数的总体 如果平稳随机过程依概率如果平稳随机过程依概率1使下式成立：使下式成立： aa )()(RR 则称该平稳随机过程具有则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性。 “各态历经各态历经”的含义：的含义：随机过程中的任一实现随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态都经历了随机过程的所有可能状态。因此

24、，。因此， 我们无我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，就可获得它的所有的数字特征， 从而使从而使“统计平均统计平均”化为化为“时间平均时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简，使实际测量和计算的问题大为简化。化。 注意：注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声

25、，在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能一般均能满足各态历经条件。满足各态历经条件。 2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 2.4.1 平稳随机过程自相关函数平稳随机过程自相关函数 对于平稳随机过程而言，对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如性，如数字特征数字特征等，等， 可通过自相关函数来描述；其可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性谱特性有着内在有着内在的联系。因此，我们有必

26、要了解平稳随机过程自相的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。关函数的性质。 设设(t)为实平稳随机过程，为实平稳随机过程， 则它的自相关函数则它的自相关函数 R()=E(t)(t+) (2.4-8)返回本章返回本章具有下列主要性质：具有下列主要性质： R()=E(t)(t+) (1) R(0)=E2(t)=S ，(t)的平均功率的平均功率 (2.4-9） (2) R()=E2(t)，(t)的直流功率的直流功率 (2.4-10） 时，时， (t)与与(t+) 统计独立统计独立 (3) R()=R(-) ，的偶函数的偶函数 (2.4-11) R(-)=E(t)(t-) = E(

27、t +)(t)= R() (4) |R()|R(0) ，R()的上界的上界 (2.4-12) (5) R(0)-R()=2 ，方差，方差，(t)的交流功率的交流功率 (2.4-13) 当均值为当均值为0时，有时，有R(0)=2。 )()()(2limTFEPEPTTf 那么，如何方便地求功率谱那么，如何方便地求功率谱P()呢？呢？ 我们知道，我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程对于平稳随机过程，也有类似，也有类似的关系的关系:2.4.2 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱

28、密度 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。而对于任意的确定功率信号的。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度，它的功率谱密度为为 deRj)()(PdePRj)(21)(2.4-17）称为维纳称为维纳辛钦公式。辛钦公式。dPR)(21)0(2.4-18）R(0)=E2(t)=S ，(t)的平均功率的平均功率或或deRfPfj2)()(dfefPRfj2)()( 简记为简记为 R() P() 关系式（关系式（2.4-17）在平稳随机过程的理论和应用）在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两中是一个非常重要

29、的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。种分析方法的基本关系式。(2.4-19） 根据上述关系式及自相关函数根据上述关系式及自相关函数R()的性质，不的性质，不难推演功率谱密度难推演功率谱密度P()有如下性质：有如下性质： （1） P()0，非负性；，非负性； （2.4-20） （2） P(-)=P()，偶函数，偶函数 （2.4-21）例例2 1 某随机相位余弦波某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中，其中A和和c均为常数，均为常数，是在是在(0,2)内均匀分布的随机变量。内均匀分布的随机变量。 （1） 求求(t)的自相关函数与功率谱密度；的自相关函数与功率谱密度； （2

30、） 讨论讨论(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。解：解： (1) 先考察先考察(t)是否广义平稳。是否广义平稳。 (t)的数学期望为的数学期望为dtAtEtac21)cos()()(20dttAcc)sinsincos(cos220常数）(0sinsincoscos22020dtdtAccdxtxfxtEta),()()(1(t)的自相关函数为的自相关函数为)()(),(2121ttEttR)cos()cos(21tAtAEcc2)(cos)(cos212122ttttEAccdttAttAcc212)(cos2)(cos212202122)(cos20)(cos22122RAttA

31、cc可见可见(t)的数学期望为常数，的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间而自相关函数只与时间间隔间隔有关，有关， 所以所以(t)为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即：傅里叶变换，即：)()(PR而而)()(cosccct所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为)()(2)(2ccAP平均功率为平均功率为2)0(2ARS(2) (t)的时间平均。的时间平均。 根据式（根据式（2.2 - 6）可得）可得0)cos(12/2/limdttATaTTcTdttAtATRcTTcT)(cos()co

32、s(1)(2/2/limdttdtTAcTTcTTcT)22cos(cos22/2/2/2/2limcAcos22即：即： aa )()(RR统计平均统计平均=时间平均，因此，随机相位余弦波是各态时间平均，因此，随机相位余弦波是各态历经的。历经的。 2.5 高斯随机过程高斯随机过程 2.5.1定义定义 若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1, 2, ）分布都）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其其n维正态概率密度函数表示如下：维正态概率密度函数表示如下： ),;,(2121nnntttxxxf)(21exp.)2(1

33、11212121kkkjjjnkjknjnaxaxBBB 式中式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化为归一化协方差矩阵的行列式，即协方差矩阵的行列式，即返回本章返回本章B b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1 |B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子，的代数余因子，bjk为为归一化协方差函数归一化协方差函数kjkkjjjkatatEb )()( 2.5.2 重要性质重要性质 （1） 由上式可以看出由上式可以看出, 高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协个随机变量的数学期望、方

34、差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。数字特征就可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质点无关，由性质(1)知，它的知，它的n维分布与时间起点无关。维分布与时间起点无关。 所以，所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关

35、的， 即对所有即对所有jk有有bjk=0，这时上式为，这时上式为 2)(exp)2(1),;,(122122121njjjjnjjnnnnaxtttxxxf2)(exp212212jjjnjaxj= f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相不相关关的，的， 那么它们也是那么它们也是统计独立统计独立的，以后分析问题时，的，以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，程在任一时刻上的样值是一个一维

36、高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为其一维概率密度函数可表示为)2)(exp(21)(222axxf 式中，式中，a为高斯随机变量的数学期望，为高斯随机变量的数学期望，2为方为方差。差。f(x)曲线如图曲线如图 2 - 3所示。所示。 由上式和图由上式和图2 - 3可知可知f(x)具有如下特性：具有如下特性： (1) f(x)对称于对称于x=a这条直线。这条直线。f(a+x)=f(a-x) (2)x，f(x) 0，在点在点a处达到极大值处达到极大值21 (3) 1)(dxxf且有且有21)()(aadxxfdxxf图图2-3 正态分布的概率正态分布的概率f (x)12Oax （4） a表示

37、分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，f(x)图图形将随着形将随着的减小而变高和变窄；随的减小而变高和变窄；随a的变化左右平的变化左右平移移 。 一维正态概率密度函数一维正态概率密度函数当当a=0，=1时，称时，称f(x)为标准正态分布的密度函数，为标准正态分布的密度函数，N(0,1)：)2exp(21)(2xxf正态分布函数正态分布函数dzazxPxFx2)(exp21)()(22这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式可以在数学手册上查出积分值的特殊函个积分式可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数

38、：数联系起来，一般常用以下特殊函数： 误差函数和补误差函数误差函数和补误差函数误差函数误差函数:xtdtexerf022)(它是自变量的递增函数，它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf()=1，且，且erf(-x)=-erf(x)。 补误差函数补误差函数:dtexerfxerfcxt22)(1)( 它是自变量的递减函数，它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且，且erfc(-x)=2-erfc(x)。实际应用中只要。实际应用中只要x2即可近似有即可近似有21)(xexxerfc可推得可推得:)2(211)2(2121)(axerfcaxerfxF用误差函数或互补误

39、差函数表示用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。性能。 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 通信的目的在于传输信号，信号和系统总通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，对于平稳随机过程通过线性时不变都是随机的，对于平稳随机过程通过线性时不变系统，其输出过程类似于确知信号通过线性系统，系统，其输出过程类似于确知信号通过线性系统，即：即：dthvthtvtvii)()()()()(0返回

40、本章返回本章(2.8-1)dtvhtvthtvii)()()()()(0 若若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()，则，则有有 Vo()=H()Vi() (2.8-2)如果把如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程程i(t)的每个样本与输出过程的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间都的相应样本之间都满足式满足式(2.8-4)的关系。就整个过程而言，便有的关系。就整个过程而言，便有 (2.8-5)假定输入假定输入i(t)是平

41、稳随机过程，是平稳随机过程， Ei(t)=a(常数常数)系统的输出过程系统的输出过程o(t)的统计特性：的统计特性：1. 输出过程输出过程o(t)的数学期望：的数学期望： 对式（对式（2.8-5）两边取统计平均）两边取统计平均 dthti)()()(0dhadtEhtthEtEii)()()()()()(0求得求得dtthH)()0(所以所以 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数与直流传递函数H(0)的乘积，且的乘积，且Eo(t)与与t无关。无关。 2. 输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 )()(),(1010110tt

42、EttRdtethHtj)()()0()()0()(0HtEHatEi直流传递函数直流传递函数)()()()()()(),(111010110dthdaatahEttEttRii)()()()(11ddtatEhahii 可见可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔的自相关函数只依赖时间间隔而而与时间起点与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的稳的，那么输出过程也是平稳的。 )()()(11iiiRtatE)()()()(),(0110RddRha

43、httRi 而而则则 3. 输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度 对对 进行傅里叶变换进行傅里叶变换, 有有deRPj)()(00dedadRhahji )()()(令令则有则有deRdehdeahPjijaj)()()()(0即即)()()()()()(20iiPHPHHP)(0RdeahHdeahHajaj)()(,)()( 可见，系统输出功率谱密度是输入功可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度率谱密度Pi()与系统功率传输函数与系统功率传输函数|H()|2的乘积。这是一个很重要的公式。的乘积。这是一个很重要的公式。 当我们当我们想得到输出过程的自相关函数想得到输出过程的自相

44、关函数Ro()时，比时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度较简单的方法是先计算出功率谱密度Po()，然后求其反变换，这比直接计算然后求其反变换，这比直接计算Ro()要简要简便得多。便得多。)()()()(),(0110RddRhahttRi 例例2 带限白噪声。试求功率谱密度为带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为其他0|)(0HtjeKH解解: 由上式得：由上式得：HKH| ,| )(|202输出功率谱密度：

45、输出功率谱密度：HinKPHP|,2)()()(02020可见，可见， 输出噪声的功率谱密度在输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀内是均匀的，的， 在此范围外则为零，如图在此范围外则为零，如图 2-8(a)所示，通常所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。把这样的噪声称为带限白噪声。fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2 （a) (b) 图图2-8 带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数其自相关函数为：其自相关函数为：dePRj)(21)(00dfenKfjffHH20202HHHfnksin020式中，式中，H=2fH。由此可见，带限白噪

46、声只有在。由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。如图如图 2-8(b)所示，带限白噪声的自相关函数所示，带限白噪声的自相关函数Ro()在在=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:HfnkR0200)0(kkkkiihtdthtk)()(lim)()()(00004. 输出过程输出过程o(t)的分布：的分布： 一个线性系

47、统的输入过程是高斯型的，则系统一个线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。的输出过程也是高斯型的。 与输入正态过程相比，输出过程的数字特征与输入正态过程相比，输出过程的数字特征改变了。改变了。 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。2.6 窄带随机过程窄带随机过程 窄带系统窄带系统，是指其通带宽度，是指其通带宽度f fc，且，且fc远离零远离零频率的系统。随机过程通过以频率的系统。随机过程通过以fc为中心频率的窄带系为中心频率的窄带系统的输出，即是统的输出，即是窄带过程窄带过程。实际中，大多数通信系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的

48、，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带窄带随机过程随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则。如用示波器观察一个实现的波形，则如图如图2-6(b)所示，它是一个频率近似为所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位包络和相位随机缓变的正弦波。随机缓变的正弦波。返回本章返回本章图图2-6 窄带过程的窄带过程的频谱频谱和波形示意和波形示意改变改变带宽带宽、载波载波对窄带波形的影响对窄带波形的影响 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )缓慢变化的包络a(t

49、)频率近似为 fc(b)窄带随机过程窄带随机过程(t)可用下式表示：可用下式表示： (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.6-1)等价式为等价式为: (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.6-2 ) 其中：其中： c(t)=a(t)cos(t) ( 2.6-3) s(t)=a(t) sin(t) (2.6-4) 式中式中, , a(t)及及(t)分别是分别是(t)的随机包络和随机相的随机包络和随机相位，位， c(t)及及s(t)分别称为分别称为(t)的同相分量和正交分量，的同相分量和正交分量， 它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波它们也是随机过程，显然

50、它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。 由式由式(2.6-1)至至(2.6-4)看出看出，(t)的统计特性可由的统计特性可由a(t)、(t)或或c(t)、s(t)的统计特性确定。反之，如果的统计特性确定。反之，如果已知已知(t)的统计特性则可确定的统计特性则可确定a(t)、(t)以及以及c(t)、s(t)的统计特性的统计特性。 2.6.1 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程设窄带过程(t)是是平稳高斯窄带过程平稳高斯窄带过程，且均值为，且均值为0，方差为方差为2。下面将证明它的同相分量下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t

51、)也是零均值的平稳高斯过程，而且与也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同具有相同的方差。的方差。 1. 1. 数学期望数学期望 E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct= 0 (2.6-5) 则则： Ec(t)=0 Es(t)=0 (2.6-6) E(t)= Ec(t)= Es(t)=0 2. 自相自相关关函函数数R(t, t+)=E(t)(t+) =Ec(t)cosct-s(t) sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+) sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+) -R c s(t, t+) cosctsinc(t+) -R s c(t

52、, t+) sinc tcosc(t+) +R s(t, t+) sinc tsinc(t+) （2.6-7）式中：式中： R c(t, t+)=Ec(t)c(t+) R c s(t, t+)=Ec(t)s(t+) R s c(t, t+)=Es(t)c(t+) R s(t, t+)= Es(t)s(t+) 因为因为(t)是平稳的，则有是平稳的，则有 R(t, t+)=R() 这就要求式这就要求式(2.6-7)的右边也应该与的右边也应该与t无关，而仅无关，而仅与时间间隔与时间间隔有关。有关。 令令 t=0 ，则式，则式(2.6-7)应变为应变为 ctctttRttRRsccsin| ),(co

53、s| ),()(00(2.6-8)这时，显然应有这时，显然应有)(),()(),(scscccRttRRttR则式（则式（2.6-8）变为）变为ccsccRRRsin)(cos)()(2.6-9)再取使再取使t=/2c，同理可求得，同理可求得(2.6-10) 其中应有其中应有 R s(t, t+)=R s() R s c(t, t+)=R s c() 式（式（2.6-9）和式（）和式（2.6-10）应同时成立）应同时成立ccsccRRRsin)(cos)()(cccssRRRsin)(cos)()( 故有故有 R c()=R s() (2.6-11) R c s()= -R s c() (2.

54、6-12)由以上的数学期望和自相关函数分析可知，由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如如果窄带过程果窄带过程(t)是平稳的，则是平稳的，则c(t)与与s(t)也必将是平稳也必将是平稳的。同相分量的。同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)具有相同的自相关具有相同的自相关函数函数，而且根据互相关函数的性质，应有，而且根据互相关函数的性质，应有R c s()=R s c(-) (R(t1, t1+)=E(t1)(t1+)将上式代入式（将上式代入式（2.6-12），可得），可得 R s c()=-R s c(-) (2.6-13)同理可推得同理可推得 R c s()=-R c s(-) (2

55、.6-14)即即c(t)、s(t)的互相关函数的互相关函数R s c()、R c s()都是都是的的奇函数，在奇函数，在=0时时 R s c(0)=R c s(0)=0 (2.6-15)于是，由式（于是，由式（2.6-9）及式（）及式（2.6-10）得到）得到 R (0)=R c(0)=R s(0) (平均功率平均功率) (2.6-16) 则则 2 =2 c =2 s (2.6-17)这表明这表明(t)、c(t)和和s(t)具有相同的平均功率或方具有相同的平均功率或方差差（因为均值为（因为均值为0）。）。 ccsccRRRsin)(cos)()(cccssRRRsin)(cos)()( 另外，

56、因为另外，因为(t)是平稳的，所以是平稳的，所以(t)在任意时刻的在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，取值都是服从高斯分布的随机变量， 故在式（故在式（2.6 -2）中取：中取： (t)=c(t)cosct-s(t)sinct t=t1=0 时，时， (t1)=c(t1)t=t2=/2c时，时，(t2)=s(t2) 所以所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而也是高斯随机变量，从而c(t)、 s(t)也是高斯随机过程也是高斯随机过程。而。而c(t)、s(t)在同一在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还因而它们还是统计独立的。是统计独立

57、的。 综上所述，我们得到一个重要结论：综上所述，我们得到一个重要结论：一一个均值为零的窄带平稳高斯过程个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的，它的同相分量同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也是平稳高斯也是平稳高斯过程，过程， 而且均值都为零，方差也相同。此而且均值都为零，方差也相同。此外，外， 在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的c和和s是互不相关是互不相关的或统计独立的。的或统计独立的。2.6.2 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性 由于由于c和和s统计独立，联合概率密度函数为统计独立，联合概率密度函数为 2exp21)()(),(2222scscscfff 设设a,的联合

58、概率密度函数为的联合概率密度函数为f(a, )，则利，则利用概率论知识，用概率论知识， 有有 ),(),(),(),(afafscsc 而而sincosaasc 得到得到 于是于是2)sin()cos(exp2222aaa2exp2222aa 注意，这里注意，这里a0, 而而在在(0，2)内取值。内取值。 再利用概率论中边际分布知识将再利用概率论中边际分布知识将f(a,)对对积分，积分， 可求得包络可求得包络a的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为scscscaaa),(),(cossinsincosaaa),(),(scfaafdaadafaf2exp2),()(202220,2exp22

59、2aaa 可见，可见，a服从瑞利分布服从瑞利分布。 同理，同理，f(a, )对对a积分可求得相位积分可求得相位的一维概的一维概率密度函数为率密度函数为20,21)2exp(21),()(22020daaadaaff可见，可见，服从均匀分布服从均匀分布。 且有：且有： f(a,)=f(a)f() (2.6-23) 综上所述，我们又得到一个重要结论：综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零，一个均值为零， 方差为方差为2的窄带平稳高斯的窄带平稳高斯过程过程(t)，其包络，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，的一维分布是瑞利分布，相位相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一的一维分布是均匀分布

60、，并且就一维分布而言，维分布而言，a(t)与与(t)是统计独立的是统计独立的，即，即有下式成立：有下式成立： f(a,)=f(a)f() (2.6-23)2.7 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通常见的是