【公开课课件】人B版（2019）数学-必修第二册-第四章指对幂-§1.1实数指数幂及其运算

1、第四章第四章 指数函数、对数函数与幂函数指数函数、对数函数与幂函数4.1.14.1.1实数指数幂及其运算实数指数幂及其运算 数学凶杀案：宁为真理葬身大海，也数学凶杀案：宁为真理葬身大海，也不循规蹈矩的希伯索斯不循规蹈矩的希伯索斯 公元前五世纪公元前五世纪，古希腊有一个数学学古希腊有一个数学学派派，名叫毕达格拉斯学派，毕达哥拉斯学名叫毕达格拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题派提出的著名命题“ “万物皆数万物皆数” ”是该学派的是该学派的哲学基石哲学基石. .而而“ “一切数均可表示成整数或整一切数均可表示成整数或整数之比数之比” ”则则是这一学派的数学信仰是这一学派的数学信仰. . 对于这一

2、理论对于这一理论, ,其其学派中的一个成员学派中的一个成员希伯索斯希伯索斯考虑了一个问题考虑了一个问题：边长为边长为1 1的正方形，其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能的正方形，其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数用整数，也不能用分数表示也不能用分数表示，而，而只能用一个只能用一个新新数来表示数来表示. .希伯索斯的希伯索斯的发现导致了数学史上第一个无理数发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生的诞生. .小小小小 出现出现，却在当时却在当时的数学界掀起了一场巨大的风的数学界掀起了一场巨大的风爆爆. .史称史称“ “第一次数学危机第一次数学危机”. ”.希伯索斯也希伯索斯也引发

3、引发现了现了 . .撼动了学派的基石而被扔进了大海撼动了学派的基石而被扔进了大海. .222 国家统计局有关数据显示，我国科研和开发国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长; ;20132013年为年为221.59221.59亿元亿元, ,20142014年、年、20152015年、年、20162016年年的年增长率分别为的年增长率分别为16.84%16.84%，14.06%14.06%，14.26%14.26%. . 你能根据这三年增长率的数据算出年平均增你能根据这三年增长率的数据算出年平均增长率，并以长率，并以201

4、32013年的经费支出为基础，预测年的经费支出为基础，预测20172017年以及以后各年的经费支出吗？年以及以后各年的经费支出吗？ 为了解决类似情景中的问题，我们需要进一步的学习指数运算为了解决类似情景中的问题，我们需要进一步的学习指数运算. .1.1.理解理解n n次方根及根式的概念次方根及根式的概念. .2 2. .正确运用根式的运算性质进行根式运正确运用根式的运算性质进行根式运算算. .3 3. .掌握根式与分数指数幂的互化掌握根式与分数指数幂的互化. .4 4. .掌握有理数指数幂的运算性掌握有理数指数幂的运算性质质1.1.通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养通过根式与分

5、数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养2.2.通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养. .50332_;3_;15_.5探究点探究点1 1 有理指数幂有理指数幂22222 32321 11125一般地，一般地， 中中a称为底数，称为底数，n称为指数称为指数. .整数指数幂运算的运算法则有：整数指数幂运算的运算法则有： 特别的：特别的：,(),().mnm nmnmnmmma aaaaaba bna100;0=0.nnaana无意义 2xa0;= 00;0.aaxaa没有平方根39_;8_.3 32 2 2(),aaaaa babbb3xa3=.xa

6、aRnxa4581,_;32,_.xxxx则则32 00,;,0-0,nnnnnNaaxnaaaaR n为偶数；没有意义，为奇数.nxa思考：思考： 在方根的表示中，你知道式子在方根的表示中，你知道式子 叫什么吗？叫什么吗？ 当当 有意义的时候，有意义的时候， 叫做根式，叫做根式，n n称为根指数，称为根指数，a a称为称为被开方数被开方数. .na根指数根指数 被开方数被开方数根式根式nanana根式的性质：根式的性质：（1）（2）当）当n为奇数时，为奇数时， ； 当当n为偶数时，为偶数时， .();nnaannaannaa尝试与发现： 你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使 的特例，

7、的特例吗？ 2m nmnaaaa（）成为（）()mmma baba bab成为2( 5)5,将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算由于 所以112222(5 )55,1255.3、分数指数幂、分数指数幂一般地，如果n是正整数，那么：当 有意义时，规定对于一般的正分数 ，也可作类似规定，即 na1nnaamnmnmmnnaaa（）当a0 且m与n都是正整数时， 一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数，此时当指数的分母为偶数的时候，则底数就必须为正数 . 11mnmnmnaaa 现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂）.一般情况下,当s与t都是有理数时，有运算法则,(),().

8、sts tsstsssa aaaaaba b【即时训练】【即时训练】计算下列各式的值，如何运用指数幂的运算性质计算下列各式的值，如何运用指数幂的运算性质3225532133634111111222222288_;8_;3 333_;()_;()()_;()_ .a bababab489324a bab11222aa bb证明：假设 ,即 , 根据不等式的性质与根式的性质,得 ，这都与 矛盾.因此假设不成立，从而 .思考：根据前面的知识，猜测 的相对大小，以及 的相对大小.例1. 求证：如果 是大于1的自然数，那么0,abn11.nnab11nnab1111nnnnabab或abab或ab11n

9、nab322与422与探究点探究点2 2 实数实数指数幂指数幂有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂.应该怎样理解2这个数呢?比较下列两组数据：3 34 4， 2 23 32 22 24 4, ,3.13.13.23.2， 2 23.13.12 22 23.23.2，3.143.143.15 23.15 23.143.142 22 23.153.153.1413.1413.142 23.142 23.1413.1412 22 23.1423.1423.14153.14153.1416 23.1416 23.14153.14152 22 23.14163.14163.141593.141593.1

10、4160 23.14160 23.141593.141592 22 23.141603.14160 也就是说，两个序列3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，.；3.2.，3.15，3.142，3.1416，3.14160，.中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近，从而两个序列23.1，23.14，23.141，23.1415，23.14159，.；23.2，23.15，23.142，23.1416，23.14160，.；中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数， 这个实数就是2. 一般地，当a0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方

11、法找出它的任意精度的近似值。因此，当a0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立.,(),().sts tsstsssa aaaaaba b例例2 2 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1 1） （2 2）10339332335125解解：(1)=(3 ) (3 )3(1)=(3 ) (3 )3103111 111102 ()102332 33233.93 332323323333(2)5(5 )525.5125例例3 3 化简下列各式：化简下列各式：（1 1） （2 2）y yx xyyyyxxxx12231111

12、26351546m mm mmmmm111222解解：(1)(1)原原式式= =21111111033226662452424.5xyx yy (2)(2)原原式式= =111111112222222222211112222(m )2(m)(mm)mm.mmmmm m探究点探究点3 3 用信息技术求实数指数幂用信息技术求实数指数幂 实数指数幂的值可以通过计算器或计算机实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得软件方便地求得. . 在在GeoGebraGeoGebra中，在中，在“运算区运算区”利用符号利用符号“ ”，就可以得到实数指数幂的精确值或近，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值

13、似值. .如右图所示，前面三个是在符号计算模式如右图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果。计算模式下得到的结果。 下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率. . 假设年平均增长率为假设年平均增长率为x x，则应该有，则应该有(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3 3 从而从而x=x= 由此可预测由此可预测20172017年的科研和开发机构基础研究经费支出为年的科研和开发机构基础研究经费支出为221.59221.59(1+15.05%)4388.24(1+15.05%)4388.24（亿元）（亿元） 其他年份的预测值可用类似的方法算出其他年份的预测值可用类似的方法算出. .3 3(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)%(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)