高中数学必修五正弦定理共个课时

1、1.1.1正弦定理12018.9_)sin( BA_)cos( BA_2cosA_2sinA_)sin( A_)sin( A_)cos( A_)cos( A_)2sin( A_)23cos( A课前回顾如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河一侧，如在B点所在一侧，选择点C，先测BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a, B，C的值，能否算出AB的长。经纬仪：测量水平角/ /竖直角的仪器Q:三角形中知两个角和所夹边长，如何求其它边？4基础概念角A的对边：a角B的对边：b角C的对边：cbc一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形

2、的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。Q:直角三角形中存在什么边和角的数量关系？cbB sincaA sin1sinCccCcBbAaACBRtsinsinsin中，有在Q:锐角或钝角三角形中是否也存在这种关系？Q:如何证明你的猜想？作高，转化为在直角三角形中证明（化归）证明：在锐角三角形中都有各边边长与所对角的正弦值之比相等。BCADA作过bADCcADBsin,sinCbBcADsinsinCcBbsinsinACBEB作过,sin,sinaBECcBEACaAcBEsinsinCcAasinsinCcBbAasinsinsin锐角三角形中有证明：在钝角三角形中都有各边边长与所对角的正弦

3、值之比相等。BCADABC作并过延长;sin,bADCADCRt中,sinsinCbBcADCcBbsinsinACBEB作过aADCcBEAsin,sinCaAcBEsinsinCcAasinsinBcADBADBRtsinsin,中在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦值之比相等。正弦定理CcBbAasinsinsin任意三角形中有caCAcbCBbaBAsinsin,sinsin,sinsin变形：CBAcbasin:sin:sin:CBAcbaAasinsinsinsinCAcasinsinBAbasinsinCBcbsinsinBcCbAcCaAbBasinsin,sinsin,s

4、insin练习1 1：求解下列各题)(,cossin,) 1 (的值为则若中BbBaAABC90.60.45.30.DCBA_:, 1:1:4:,)3(cbaCBAABC则中1:1:3.1:1:2.1:1:2 .1:1:4 .DCBA)(,sinsin,)2(的大小关系为与则若中BABAABC不能确定.DBACBABBAA45,cossinBBB.,sinsinBAbaBA大边对大角1:1:3sin:sin:sin:,30,120CBAcbaCBA题、组第思考并尝试解答课本21-10 BP1.1.1正弦定理22022-4-72018.9在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦值之比相等。正弦定

5、理CcBbAasinsinsin任意三角形中有作用：实现边角关系的转化注意：多结合三角形内角和定理、大边对大角baBABAABCsinsin,中变形：常用结论：例题1 1：解三角形.75,60, 8,) 1 (CBaABC已知中.457560180:A解,由正弦定理得. 6445sin60sin8sinsinABab45sin75sin8sinsinACac426)3045sin(75sin知两角一边，求其他边和角求第三个角由正弦定理求其它边434例题2 2：解三角形. .60, 2, 32)2(Aba. 4sinsin,90,30BCbcCB时舍去时,180,150BAB,21sinsin:

6、aAbB由正弦定理得解15030 或B知两边及其中一边的对角，求其他边和角验证,21sinsin:aAbB由正弦定理得解15030 或B.30,BBAba. 4sinsin,90,30BCbcCB时大边对大角内角和定理例题2 2：解三角形. .60, 2, 32)2(Aba. 4sinsin,90,30BCbcCB时舍去时,180,150BAB,21sinsin:aAbB由正弦定理得解15030 或B.30, 32, 2Aba.60, 2, 3Aba.30, 34, 2Aba知两边及其中一边的对角，求其他边和角验证例题2 2：知两边和其中一边的对角解三角形. .30, 32, 2Aba.60,

7、 2, 32Aba4,90,60cCB时2,30,120cCB时4,90,30cCB时舍去不符合时,180,150BAB.60, 2, 3Aba901sinBB不存在BB13sin12060123sin或BB15030121sin或BB.30, 34, 2Aba此三角形无解1,30,90cCB时知两边及其中一边的对角解三角形的结果：AbaABC,知中在aAbBsinsinBcC .90,1sinsinBBaAbB只有一解时.,1sinsin无解时若BaAbB)(,1sinsin一锐一钝有一解或两解时BaAbB符合条件的三角形个数为0 0符合条件的三角形个数为1 1符合条件的三角形个数为1 1或

8、2 2例题例题2 2：知：知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角解三角形解三角形. .30, 32, 2Aba.60, 2, 32Aba4,90,60cCB时2,30,120cCB时4,90,30cCB时舍去不符合时,180,150BAB12060123sin或BB15030121sin或BB._25, 4, 2个有的满足ABCAba知知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，判断三角形个数，判断三角形个数. .,判断三角形解的个数知Aba一解时:sin Aba 无解时:sin Aba 两解时:sinbaAb一解时:ba ,/直角为钝若A一解无解则:baba,为锐角若A一解时:ba 知知

9、两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，判断三角形个数，判断三角形个数. .,判断三角形解的个数知Aba一解时:sin Aba 无解时:sin Aba 两解时:sinbaAb一解时:ba ,/直角为钝若A一解无解则:baba,为锐角若A(大边对大角大边对大角)._25, 4, 2个有的满足ABCBcb在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦值之比相等。正弦定理CcBbAasinsinsin任意三角形中有运用：知两边及其中一边的对角，求其他边和角知两角一边，求其他边和角注意：结合三角形内角和为180、验证.,.45,2, 3,) 1 (cCABbaABC和边求角中1课内作业.,1312cos,

10、322cos,26,的值求中bBAaABC.,135cos,54cos, 1,)2(的值求中bCAaABC.,coscos) 3(的形状判断若ABCcbCaBa1.1.1正弦定理32018.9正弦定理的推广的几何意义是什么？则比值中若kkCcBbAaABC,sinsinsin.的外接圆直径是比值ABCk直角三角形的斜边长等于其外接圆直径。.2sinsinsinRCcBbAaABCRt中有在RAaAa2sinsinRCcCc2sinsinRBbBb2sinsin.2sinsinsinRCcBbAaABC中有在锐角等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。CC圆内接四

11、边形对角互补RAaAa2sinsinRBbBb2sinsinRCcCcCc2sin) sin(sin.2sinsinsinRCcBbAaABC中有在钝角正弦定理的推广)(2sinsinsin即外接圆直径中有任意RCcBbAaABC变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2)(边化角RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin)(角化边例例3 3：利用边角互化解题：利用边角互化解题_,3sin2,) 1 (AbBaABC则角若中在锐角边化角边化角.60,AA是锐角又,23sin,sin3sinsin2ABBA即由题意得.,sinsinsin)2(222的形状判断若ABCCBA,sin

12、:sin:sin:CBAcba,222cba.为直角三角形ABC例例3 3：利用边角互化解题：利用边角互化解题.,coscos. 210) 3(的形状判断若ABCBbAaBP.,22为等腰三角形时当ABCBABA,cossincossinBBAA由题意得,2sin2sinBA即.,2,2222为直角三角形时即当ABCBABA),2 , 0(2 ,2BA.,23,23222三角形不存在时即当BABA例例3 3：利用边角互化解题：利用边角互化解题.,cos)2(cos)4(的形状判断若ABCAbaBac,cossincossin2cossinsinABAABAC由题意得,cossin2)sin()

13、sin(AABABA即.,90,0cos为直角三角形时ABCAA.角形为等腰三角形或直角三ABC,cossin2cossin2AAAB即.,sinsin,0cosBABAA 时baBABAABCsinsin,中常用结论：常用结论：BABAABCsinsin,中.,.45,2, 3,) 1 (cCABbaABC和边求角中1课内作业.,135cos,54cos, 1,)2(的值求中bCAaABC.,coscos) 3(的形状判断若ABCcbCaBa周四上午第三节前上交，要求过程规范详细周四上午第三节前上交，要求过程规范详细.,135cos,54cos, 1,).2(的值求中作业bCAaABC,13

14、12sin,53sin:CA由题意得解,sinsinABab 由正弦定理得656313125413553)sin(sinCAB又.1321b.,coscos).3(的形状判断若作业ABCcbCaBaCBCABAsinsincossincossin由题意得代入得),sin(sin),sin(sinBACCAB, 0cos)sin(sinACB. 0cos, 0sinsinACB.90为直角三角形ABCA2017FIGHTING在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦值之比相等。正弦定理CcBbAasinsinsin任意三角形中有caCAcbCBbaBAsinsin,sinsin,sinsin变形

15、：CBAcbasin:sin:sin:CBAcbaAasinsinsinsinCAcasinsinBAbasinsinCBcbsinsinBcCbAcCaAbBasinsin,sinsin,sinsin知两边及其中一边的对角解三角形的结果：AbaABC,知中在aAbBsinsinBcC .90,1sinsinBBaAbB只有一解时.,1sinsin无解时若BaAbB)(,1sinsin一锐一钝有一解或两解时BaAbB符合条件的三角形个数为0 0符合条件的三角形个数为1 1符合条件的三角形个数为1 1或2 2例题例题2 2：知：知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角解三角形解三角形. .30, 32, 2Aba.60, 2, 32Aba4,90,60cCB时2,30,120cCB时4,90,30cCB时舍去不符合时,180,150BAB12060123sin或BB15030121sin或BB._25, 4, 2个有的满足ABCAba在任意三角形中都有各边边长与所对角的正弦值之比相等。正弦定