仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型

1、.2007.082007.08赛题内容赛题内容赛题分析赛题分析2模型的建立与应用模型的建立与应用3模型的改进模型的改进4模型的推广和思考模型的推广和思考512007.082007.08赛题内容赛题内容 工厂生产需定期地定购各种原料，商家工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法

2、。高经济效益的有效途径和方法。2007.082007.08问题问题 1 1 某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为不变的，记为 ，每次进货的订货费为常数，每次进货的订货费为常数 ，与商品的数量，与商品的数量和品种无关；使用自己仓库贮存时，单位商品每天的贮存费用和品种无关；使用自己仓库贮存时，单位商品每天的贮存费用记为记为 ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的贮存费用记为库存贮商品，单位商品每天的贮存费用记为 ，且，且 ；允许商品缺货

3、，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为损失记为 ；每次订货，设货物在；每次订货，设货物在 天后到达，交货时间天后到达，交货时间 是随机的；自己的仓库用于存贮商品的最大容量为是随机的；自己的仓库用于存贮商品的最大容量为 ，每次到货后使用这种商品的存贮量，每次到货后使用这种商品的存贮量 补充到固定值补充到固定值 为止，且为止，且 ；在销售过程中每当存贮量；在销售过程中每当存贮量 降到降到 时时开始订货。请给出使总损失费用达到最低的订货点开始订货。请给出使总损失费用达到最低的订货点 （最优（最优订货点）的数学模型。订货点）的数学模型。

4、 1cr2c3c32cc 4cXXQQ 0qQ0QqL*L2007.082007.08问题问题 2 2 以下是来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据：以下是来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据： 商品一：康师傅精装巧碗香菇炖鸡面商品一：康师傅精装巧碗香菇炖鸡面2007.082007.08商品二：心相印手帕纸商品二：心相印手帕纸10小包装小包装2007.082007.08商品三：中汇香米商品三：中汇香米5KG装装 按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点点 。*L2007.082007.08问题问题 3 3 问题问题1是只有一种商品

5、需要订货的情形。实际上常遇到在库存是只有一种商品需要订货的情形。实际上常遇到在库存容量有限的情况下，有多种商品需要同时订货的情形，这时需容量有限的情况下，有多种商品需要同时订货的情形，这时需考虑充分利用存贮体积的问题。设有考虑充分利用存贮体积的问题。设有 种商品需要订货，它们种商品需要订货，它们每次一同从一个供应站订货，每次进货的订货费为常数每次一同从一个供应站订货，每次进货的订货费为常数 ，与，与商品的数量和品种无关；订购的货物同时到达，到货天数商品的数量和品种无关；订购的货物同时到达，到货天数 如问题如问题1所述是随机的。这所述是随机的。这 种商品的销售速率分别为种商品的销售速率分别为 （

6、袋或盒（袋或盒/天）天） ，每袋（盒）的体积分别，每袋（盒）的体积分别为为 。使用自己的仓库和租借的仓库时单位体。使用自己的仓库和租借的仓库时单位体积商品每天的存贮费分别记为积商品每天的存贮费分别记为 和和 ，单位体积商品每天的缺货损失记成单位体积商品每天的缺货损失记成 ，自，自己的仓库用于存贮己的仓库用于存贮), 2 , 1(3miciic2Xm1cmir), 2 , 1(mi), 2 , 1(mivi), 2 , 1(4mici2007.082007.08 这这 种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量 为止，为止，且且 。每当这。每当这 种商品的存贮量

7、总体积种商品的存贮量总体积 降到降到 时时即开始订货。即开始订货。 试通过建立数学模型说明应如何确定最优订货点试通过建立数学模型说明应如何确定最优订货点 和自和自己的仓库用于存贮这己的仓库用于存贮这 种商品的各自体积容量种商品的各自体积容量 以及在订货到达时使这以及在订货到达时使这 种商品各自存贮量补充到的固定体种商品各自存贮量补充到的固定体积积 ，才能使总损失费用达到最低？，才能使总损失费用达到最低？), 2 , 1(0miQim), 2 , 1(miQiQQQ 0mqL*Lmm2007.082007.08问题问题 4 4 如果把问题如果把问题2中的三种商品按问题中的三种商品按问题3的方法同

8、时订货，其中的方法同时订货，其中 立方米，立方米， 立方米，立方米， 立方米，自己的仓库用于立方米，自己的仓库用于存贮在存贮在3种商品的总体积容量种商品的总体积容量 立方米，每次到货后这立方米，每次到货后这3种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量 立方米为立方米为止，且该供应站从接到订货通知到货物送达商场的天数止，且该供应站从接到订货通知到货物送达商场的天数 服服从从1天到天到3天间的均匀分布。其余数据同问题天间的均匀分布。其余数据同问题2中相应的商品中所中相应的商品中所列出的数据。试按问题列出的数据。试按问题3的模型求出这的模型求出这3种商品的最优订货点

9、种商品的最优订货点 和自己的仓库用于存贮这和自己的仓库用于存贮这3种商品的各自体积容量种商品的各自体积容量 以及在订货到达时使这以及在订货到达时使这3种商品各自存贮量补充到的固定体种商品各自存贮量补充到的固定体积积 。) 3 , 2 , 1(0iQiX05. 01v04. 02v10. 03v60Q10Q*L) 3 , 2 , 1( iQi2007.082007.08问题问题 5 5 商品的销售经常是随机的，订货情况在一段时间后是会发商品的销售经常是随机的，订货情况在一段时间后是会发生变化的，相应地商家就应该调整订货和存贮策略。你们能否生变化的，相应地商家就应该调整订货和存贮策略。你们能否对此

10、建立数学模型加以讨论。对此建立数学模型加以讨论。2007.082007.08赛题分析赛题分析费用的分类：费用的分类：1、订货费：、订货费：2、存贮费：自己的仓库存贮、存贮费：自己的仓库存贮 ，其他仓库存贮，其他仓库存贮3、缺货造成的损失：、缺货造成的损失： 1c2c3c4c存贮的容量：存贮的容量：1、自己仓库最大容量：、自己仓库最大容量：2、存贮费的补充：、存贮费的补充： 到到 ，且，且 3、订货点：、订货点： 降到降到 时开始订货时开始订货 0QQqQQ 0qL2007.082007.08赛题分析赛题分析随机变量随机变量 的分析：的分析： ：交货时间：交货时间随机变量类型？随机变量类型？服从

11、何种分布？服从何种分布？ 单一商品的存贮与多种商品存贮之间的关系？单一商品的存贮与多种商品存贮之间的关系？ XX2007.082007.08模型的建立与应用模型的建立与应用 1)：商家在销售商品时，不会把所有商品均售出再订货，：商家在销售商品时，不会把所有商品均售出再订货，即即 ； 2)：销售时优先考虑租用仓库的商品，存贮时优先考虑自：销售时优先考虑租用仓库的商品，存贮时优先考虑自身仓库；身仓库； 3)：支付的费用按天计算，每天的贮存费在该天结束时支：支付的费用按天计算，每天的贮存费在该天结束时支付，若未结束时销售完毕，则不支付该天费用；付，若未结束时销售完毕，则不支付该天费用； 4)：最优订

12、货点：最优订货点 在考虑了随机变量在考虑了随机变量 的数学期望后的数学期望后制定。制定。模型假设模型假设0L*LX2007.082007.08 销售周期销售周期 ：从最大存贮容量：从最大存贮容量 到下一次达到最大存到下一次达到最大存贮容量贮容量 之间的时间差。之间的时间差。问题问题1模型的建立模型的建立 总损失费用总损失费用 ：订货点：订货点 和交货时间和交货时间 的函数：的函数： 下引入三个描述不同情况的时间的参量：下引入三个描述不同情况的时间的参量：TQQCLX ：租借仓库存贮量的销售时间：租借仓库存贮量的销售时间/ )(00rQQX ：最长销售时间：最长销售时间/1rQX / )(2rL

13、QX ：准备订货前的销售时间：准备订货前的销售时间2007.082007.08 考虑可能存在的销售情况：考虑可能存在的销售情况：问题问题1模型的建立模型的建立 情形一：在下一销售周期到来之前一直在销售租借仓情形一：在下一销售周期到来之前一直在销售租借仓库的商品，表示为库的商品，表示为 ： 此时产生的费用（平均每天的损失费用）：此时产生的费用（平均每天的损失费用）：XXcXXQcrtQQcTCXXt21202103)()(/2020XX 2007.082007.08问题问题1模型的建立模型的建立 情形二：在下一销售周期到来之前先销售租借仓库的情形二：在下一销售周期到来之前先销售租借仓库的商品，再

14、销售自身仓库的商品，没有缺货，表示为：商品，再销售自身仓库的商品，没有缺货，表示为： 此时产生的费用（平均每天的损失费用）：此时产生的费用（平均每天的损失费用）：XXcrtQcXQcrtQQcTCXXXtXt21102002103200)()(/21120,XXXXXX2007.082007.08问题问题1模型的建立模型的建立 情形三：在下一销售周期到来之前先销售租借仓库的情形三：在下一销售周期到来之前先销售租借仓库的商品，再销售自身仓库的商品，缺货，表示为：商品，再销售自身仓库的商品，缺货，表示为： 此时产生的费用（平均每天的损失费用）：此时产生的费用（平均每天的损失费用）：XXcQXXrc

15、rtQcXQcrtQQcTCXXtXt2124102002103)()()(/10021120,XXXXXX2007.082007.08问题问题1模型的建立模型的建立 下面假设下面假设 满足某一离散型分布（泊松分布、二项分满足某一离散型分布（泊松分布、二项分布等），则可求出其数学期望：布等），则可求出其数学期望：0)()(XXXfXEX 将将 代入上面费用表达式，可得到关于代入上面费用表达式，可得到关于订货点订货点 的函数表达式，令其对的函数表达式，令其对 求导，可得出对应最求导，可得出对应最小值小值 ，即为所求最优订货点，即为所求最优订货点 。210,),(XXXXELLminL*L2007

16、.082007.08问题问题2 模型的求解模型的求解 确定确定 满足的分布，可将其假定为满足泊松分布，由满足的分布，可将其假定为满足泊松分布，由题中所给出的数据，可算出不同商品所对应的交货时间的数题中所给出的数据，可算出不同商品所对应的交货时间的数学期望，进而计算出不同最优订货点学期望，进而计算出不同最优订货点 分别为分别为35,39,40。X*L2007.082007.08问题问题3模型的建立模型的建立 种商品需订货（订货费常数），到货天数种商品需订货（订货费常数），到货天数 为一为一随机变量，相关参数（单位商品）：随机变量，相关参数（单位商品）：Xmi 第第 种商品的销售速率：种商品的销售

17、速率： 第第 种商品的体积：种商品的体积： 第第 种商品租用仓库的贮存费：种商品租用仓库的贮存费： 第第 种商品使用自家仓库的贮存费：种商品使用自家仓库的贮存费： 第第 种商品缺货时造成的损失：种商品缺货时造成的损失： iiii2007.082007.08问题问题3模型的建立模型的建立m 自身仓库存贮时，自身仓库存贮时， 种商品总体积容量：种商品总体积容量： 每次订货后，每次订货后， 种商品存贮量的总体积补充到固定体积：种商品存贮量的总体积补充到固定体积： 种商品总体积从种商品总体积从 降到降到 时开始订货时开始订货 所求为：所求为： 最优订货点：最优订货点： 自身仓库存贮自身仓库存贮 种商品

18、的各自体积容量：种商品的各自体积容量： 种商品各自存贮量补充到的固定体积：种商品各自存贮量补充到的固定体积：mmmm0QQqL*LiQ0iQ2007.082007.08问题问题3模型的建立模型的建立 设在一个销售周期设在一个销售周期 内，内， 、 和和 体积容量的体积容量的商品中含有的商品个数分别为商品中含有的商品个数分别为 、 和和 ，则有，则有需为一销售周期内一天的平均损失费用寻找一统一表达式，要需为一销售周期内一天的平均损失费用寻找一统一表达式，要求：求：考虑到某种商品的出现时，表达式中出现与此有关项，否则此考虑到某种商品的出现时，表达式中出现与此有关项，否则此项为零；项为零；具体为某种

19、情况时，表达式中某项可出现，其他情况所对应式具体为某种情况时，表达式中某项可出现，其他情况所对应式子为零。子为零。Tin0QQLvlQvkQvnmiiimiiimiii1011,Likil0, 00, 1)(xxxyinikilinik2007.082007.08问题问题3模型的建立模型的建立 由此可得一销售周期内平均每天损失费用的数学表达式：由此可得一销售周期内平均每天损失费用的数学表达式：)(/()()()()()()()()()(/)(01100410021021)(121130XETcnXETnXETrvcXETXETkvcXETkvct rkt rkvct rknt rknvcTCC

20、EmiiiiiimiiiiimiiiiiimiXETtiiiiiimitiiiiiiiiii 2007.082007.08问题问题3模型的建立模型的建立 此式为关于此式为关于 、 和和 的函数表达式，即求这三个的函数表达式，即求这三个变量在上面所给出条件下的最小值，可用拉格朗日乘数法解决，变量在上面所给出条件下的最小值，可用拉格朗日乘数法解决，构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：inikilLvlQvkQvnlknCElknFmiiimiiimiiiiiiiii1301211321);)(),;(求偏导：求偏导：), 2 , 1( , 0, 0, 0, 0miFlFkFnFiiii可得驻点可得

21、驻点 、 和和 ，从而得最优订货，从而得最优订货点点 ，及，及*in*ik*ilmiiivlL1*iiiiioivnQvkQ*,2007.082007.08问题问题4 模型的求解模型的求解 可直接按照问题可直接按照问题3所给方法求解，但是应用在此实际问题所给方法求解，但是应用在此实际问题中计算量复杂，所以可根据实际所给出数据，分析其特点，进中计算量复杂，所以可根据实际所给出数据，分析其特点，进而求解。而求解。10, 6,1025. 1,08. 0,06. 0, 1 . 0,205 . 1,04. 0,03. 0,04. 0,1595. 0,02. 0,01. 0,05. 0,120143332

22、3114232221241312111QQccccvrcccvrcccvr 服从服从1到到3上的均匀分布，即上的均匀分布，即 =2. 从数据可看出，缺货造成的损失远大于存贮费，所以在制从数据可看出，缺货造成的损失远大于存贮费，所以在制定最优订货点时应该非缺货情况：定最优订货点时应该非缺货情况：X)(XE2007.082007.08问题问题4 模型的求解模型的求解 没有缺货，应满足：没有缺货，应满足：iinXETr)(0 即应尽量使中汇香米存入到自己仓库，即先令即应尽量使中汇香米存入到自己仓库，即先令 达到最大，达到最大，再令再令 尽量大尽量大3k 另一方面：另一方面： 可得可得101 . 00

23、4. 005. 0321332211nnnvnvnvn7640,12030,9624321nnn 再看费用的取值情况，有：再看费用的取值情况，有：313233212223,CCCCCC2k766060, 0,120,7661 . 004. 005. 03*3*2*12233321332211nkkknknkkkkvkvkvk2007.082007.08问题问题4 模型的求解模型的求解 满足以上式子，可解得满足以上式子，可解得0T 利用穷举法可得出满足上述条件的所有整数解，进而可得利用穷举法可得出满足上述条件的所有整数解，进而可得出最优值：出最优值： 分别为分别为56，30，60，0，0，60，36，15，48，可得最优订货点为：，可得最优订