人教版九年级数学上册第二十四章24.1.2 垂直于弦的直径

1、 AM=BM垂径定理垂径定理AB是是 O的一条弦的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由. 作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?ABCDM CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC= BC AD= BD题设题设结论结论直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE即即，垂径定理：垂直于弦的直径平分垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的

2、条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是否否是是否否OEDCAB CDAB垂径定理的推论垂径定理的推论AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的与同伴说说你的想法和理由想法和理由. 过点过点M作直径作直径CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?CD由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC = BC AD = BD MAB平分弦（不是直径）的直径垂直平分弦（不是直径）的直径垂直于弦于弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .问

3、题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解得：R 279在RtOAD中，由勾股定理R 2=18.72+（R7.2）2答：赵州桥的主

4、桥拱半径约为27.9m.OA 2=AD 2+OD 2,7.184.372121ABAD解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2如图，用 表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是的中点，CD 就是拱高BODACR7.218.7解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题已知： O中弦ABCD. 求证：ACBD.证明：作直径MNAB.MCDABON夹在两条平行弦间的弧相等夹在两条平行弦间的弧相等.垂径定理的应用ABCDMNCD则AMBM，CMDMAMCMBMDMACBD

5、一、判断：一、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所弦所 对的另一条弧对的另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。A

6、 AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。二、填空：二、填空：2 cm38cm2 cm31 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径的半径OABE三、解答题：三、解答题：解：解：OE

7、AB2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答：O O的半径为的半径为5cm.5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 2 2、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点。两点。 求证：求证：ACACBDBD。 证明：证明： 过过O O作作OEABOEAB，垂足为，垂足为E E， 则则AEAEBEBE，CECEDEDE。 AEAECECEBEBEDEDE。 即即ACACBDBDE.ACDBOOABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的

8、两侧3 3、OO的半径为的半径为5cm5cm，弦，弦ABCDABCD，AB=8AB=8，CD=6CD=6， 求求ABAB、CDCD间的距离间的距离. .1cm或或7 cm小结小结: : 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO1 1、如图，、如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦AB=8AB=8，P P是弦是弦ABAB上一个动点，求上一个动点，求OPOP的取值范围的取值范围. .OABP33OPOP55学以致用2 2、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB、ACAC为互相垂直且相等的两

9、为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODODABAB于于D D，OEOEACAC于于E E，求证四边形，求证四边形ADOEADOE是是正方形正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.3 3、如图，弓形、如图，弓形ABCABC中，弦中，弦ACAC的长为的长为8 8厘米，厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是弦的中点到劣弧中点间的长度是2 2厘米，求厘米，求圆的半径。圆的半径。ABCDOx42x-24 4、在直径是、在直径是20c

10、m20cm的的O O中，中，AOBAOB的度数是的度数是6060, , 那么弦那么弦ABAB的弦心距是的弦心距是. . 5 3cmDABO圆的圆心到圆上弦的圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距。距离叫做弦心距。1 1、圆是轴对称图形、圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. .2 2、垂径定理、垂径定理: :垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧. . 3 3、在解决有关圆的在解决有关圆的计算问题时，可以利用垂径定理将其转计算问题时，可以利用垂径定理将其转 化为化为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 ，利用勾股定理求解，利用勾股定理求解. .（1 1）过圆心）过圆心 （2 2）垂直于弦）垂直于弦 （3 3）平分弦）平分弦（4 4）