2017-2018学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案

1、1.绝对值三角不等式对应学生用书PH绝对值三角不等式(1) 定理 1 :如果a,b是实数，则|a+b| |a| + |b|，当且仅当ab0时，等号成立. 几何解释：用向量a,b分别替换a,b.1当a与b不共线时，有|a+b|a| + |b| ,其几何意义为：三角形的两边之和大于第 三边.2若a,b共线，当a与b同向时,|a+b|= |a|+ |b|，当a与b反向时,|a+b|a|+|b|.由于定理 1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.3定理 1 的推广：如果a,b是实数，则|a| - |b| |ab| |a| + |b|.(2) 定理 2：如果a,b,c是实数，那么 |

2、a-c| |a-b| + |b-c|.当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.几何解释：在数轴上，a,b,c所对应的点分别为A, B, C,当点B在点A C之间时，|ac| 二|ab| + |bc|.当点B不在点A C之间时：点B在A或C上时，|ac|二|ab| + |bc| ；点B不在A, C上时，|ac|ab| + |bc|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.对应学生用书 P11含绝对值不等式的判断与证明sss例 1已知 |Aa|3, |Bb|3，|Cc|.求证：|(A+B+C) (a+b+c)|分组思路点拨定理2w|( Aa)+( Bb)|+| Cc|w|Aa|+|B一b|

3、+| Cc|.sss因为 |Aa|3, |Bb|3，|Cc|3,所以 | Aa| + | Bb| + | Cc| + =s.333方法规律小结F含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式|a| |b|ab| 0, |xa|, |ya|.求证：|2x+ 3y 2a 3b| .证明：|2x+ 3y 2a 3b| = |2(xa) + 3(yb)|w|2(x-a)| + |3(yb)| = 2|x-a| + 3|yb|小2X +3X = .46绝对值三角不等式的应用例 2 (1)求函数y=|x 3| -

4、|x+ 1|的最大值和最小值.如果关于x的不等式|x-3| +1x 4|va的解集为空集，求参数a的取值范围.思路点拨利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解.3解(1)法一：|x- 3| - |x+ 1|W|(x3)(x+1)1=4,4W|x3|x+1|w4. ymax= 4 ,ymin= 4法二：把函数看作分段函数.4,x3.- 4wyw4. ymax= 4 ,ymin= 4.(2)只要a不大于|x 3| +1x 4|的最小值，则|x 3| +1x 4|va的解集为空集，而|x 3| + |x 4| = |x 3| + |4 x| |x 3 + 4x| = 1,当且仅当(X 3)(4 x)

5、 0,即 3wxW4时等号成立.当 3wxw4时，|x 3| + |x 4| 取得最小值 1.a的取值范围为(一a,1.方法规律小结q(1) 利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不 等式的形式.(2) 求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.r-I3若a,b R,且|a|w3, |b|w2则|a+b|的最大值是 _ ，最小值是_解析：|a| |b| w|a+b| w|a| + |b| ,-1=32w|a+b|w3+2=5.答案：514.求函数f(x) = |x 1| + |x+ 1|的最小值.解:V|x 1| + |x+ 1| = |1 x| + |x

6、+ 1| |1 x+x+ 1| = 2,当且仅当(1 x)(1 +x) 0,即一 1wxwi时取等号.4当一 1wxwi时，函数f(x) = |x 1| + |x+ 1|取得最小值 2.55若对任意实数，不等式|x+ 1| - |x 2|a恒成立，求a的取值范围. 解：a|x+ 1| |x2|对任意实数恒成立，a|X+ 1| |X 2|min.-IIX+1|x2|w|(X+1)(x2)1=3, 3|x+ 1| |x 2| 3.二(Ix+ 1| Ix 2|)min= 3 3.即a的取值范围为(一a, 3) 对应学生用书 P121 .对于|a| |b| 1a+b| 0 时，右边等号成立；当a+b|

7、b|时左边等号才成立 A 不正确；显然 B 正确; 时，右边等号不成立， C 不正确；D 显然不正确.答案：B2.已知a,b,cR,且abc，则有()A. |a|b|c|B . |ab|bc|C.|a+b|b+c|D . |ac|ab|解析：a,b,cR, 且abc,令a= 2,b= 1,c= 6.|a| = 2, |b| = 1, |c| = 6, |b|a|c|，故排除 A.又|ab| = 2, |bc| = 6, |ab|bc|，故排除 B.又 |a+b| = 3, |b+c| = 5, |a+b|ab|.答案：D3对于实数x,y,若|x1| 1,|y 2| 1,贝U|x 2y+ 1|的

8、最大值为()A. 5B . 4C. 8D . 7解析：由题意得，|x 2y+ 1| = |(x 1) 2(y 1)|x 1| + |2(y 2) + 2| 1+ 2|y 2| + 25,即|x 2y+ 1|的最大值为 5.答案：A4设 |a|1 , |b|2B . |a+b| + |ab|0时|a+b| + |ab| = |(a+b) + (ab)| = 2|a|2.当(a+b)(ab)0 时，|a+b| + |ab| = |(a+b) (ab)| = 2|b|2.答案：B5.(陕西高考)若存在实数x使|xa| + |x1|a 1|，则只需要 |a1| 3,解得一 2a4.答案：2a46._

9、若 1a8, 4b2，则a |b|的取值范围是 _.解析：4b2 贝 U 0|b|4 , 4 |b| 0.1a8,. 3a |b|2(x1): |ab|2(abz0):|x 1| + |x 2| 1,其中恒成立的是 _ (把你认为正确的序号都填上).1解析：logx10+ lgx= -+ lgx2,正确；lgxab0, |a| 7,|b|3.求证： |4a+ 3b|3 证明：|b|22|a|a,3，|4a+3b|w|4a|+13b|=4|a|+3|b|44+333 .29.设f(x) =x-x+b, |x-a|1，求证:|f(x) -f(a)|2(|a| + 1).2 2证明：f(x) -f(a) =x-x-a+a=(x-a)(x+a- 1),|f(x) -f(a)| = |(x-a)(x+a- 1)|=|x-a|x+a- 1|x+a- 1|=|(x-a)+2a-1|w|x-a|+|2a-1|x-a| + 2|a| + 12|a| + 2=2(|a| + 1). |f(x) -f(a)|2(|a| +1).10. 设函数y=|x 4| + |x- 3|.求(1)y的最小值；(2) 使y 7-2X3