第7讲--矩阵的初等变换

1、4 4、矩阵的转置、矩阵的转置5 5、方阵的行列式、方阵的行列式1 1、矩阵的加法、矩阵的加法, ,减法减法2 2、矩阵的数乘、矩阵的数乘矩阵的运算矩阵的运算3 3、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘6 6、方阵的伴随矩阵、方阵的伴随矩阵7 7、方阵的逆矩阵、方阵的逆矩阵1A*AAAT Ams Bsn=CmnAk10( )mmf Aa Aa Aa E8 8、解矩阵方程、解矩阵方程9 9、化矩阵为行阶梯形，行最简形矩阵、化矩阵为行阶梯形，行最简形矩阵方阵的逆方阵的逆：1A实数的倒数实数的倒数：11aaBA不能记作 ! axbxabbxaAXBXAB11XA BXBA11a bba1A不能记作 !方阵

2、多项式方阵多项式：实数多项式实数多项式：26AAE26aaA A的几个多项式可像数的几个多项式可像数x x的多项式一样相乘或分解因式的多项式一样相乘或分解因式 (A 3E)(A 2E)(a 3)(a 2)解矩阵方程解矩阵方程解实数方程解实数方程 第七讲第七讲 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一一 、初等变换初等变换 矩阵的初等变换初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组解线性方程组、求逆阵求逆阵、向量组的线性向量组的线性相关相关、求秩求秩中都起重要的作用二、二、 利用初等变换利用初等变换化化矩阵为矩阵为行阶梯形行阶梯形、 行最简形行最简形三、三、 利用初等变换利用初等变换求逆求逆矩阵、

3、矩阵、解矩阵方解矩阵方程程对调两行，记作对调两行，记作 ；ijrr以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ； irk 某一行某一行 的的k 倍加到上另一行对应元上去：倍加到上另一行对应元上去： . .ijrkr 初等变换初等变换初等初等列列变换变换:初等初等行行变换变换:ijrrirk ijrkr ijccick ijckc P58AB有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等列变换rAB行等价行等价，记作，记作 cAB列等价列等价，记作，记作 矩阵之间的等价关系矩阵之间的等价关系P58P58有限次初等变换有限次初等变换等价等价，记作，记作

4、AB123412cc例：例：214312341202 213rr 1201212r 1234126822r 123411rr等价性质：等价性质：P58123412341202 213rr 1201212r (1) AA(2) 若AB 则 BA1234126822r 212r 则 AC(3) 若AB,BC,510104011030001300000B 411214011100003600000B 行最简形矩阵：行最简形矩阵：4.4.非零行的第一非零行的第一个非零元个非零元( (主元主元) )为为1;1;5.5.主元所在的列主元所在的列（主列主列）的其它元素都为零）的其它元素都为零. .12rr

5、23rr 二、二、 行阶梯形、行最简形矩阵行阶梯形、行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1.1.非零行的第一个非零元素左边画非零行的第一个非零元素左边画一条竖线，用横线连接成一条竖线，用横线连接成阶梯线阶梯线；2.2.每个台阶的每个台阶的高度高度为一行；为一行；3.3.阶梯线的阶梯线的下方下方全为零全为零. .主元00000100002002001211B例例: 判断下列矩阵是否为判断下列矩阵是否为阶梯形阶梯形,行最简形行最简形012030001200000A2 5 1 3 8 4 7 20 0 2 5 6 8 7 50 0 3 4 5 2 6 90 0 0 0 0 4 2 80 0 0 0

6、 0 0 0 0 C=161400030120D任何矩阵任何矩阵行最简形行最简形矩阵矩阵行阶梯形行阶梯形矩阵矩阵有限次初等有限次初等行行变换变换 有限次初等有限次初等行行变换变换 有限次初等有限次初等行行变换变换 .rrmnA 有限次初等有限次初等行行变换变换行阶梯形行阶梯形 .rr行最简形行最简形 .rrmnA 有限次初等有限次初等行行变换变换行阶梯形行阶梯形 .rr行最简形行最简形三、三、 化行阶梯形，行最简形化行阶梯形，行最简形解方程组，求逆、秩、解方程组，求逆、秩、向量组相关性向量组相关性ijrrirk ijrkr 4 4、矩阵的转置、矩阵的转置5 5、方阵的行列式、方阵的行列式1 1

7、、矩阵的加法、矩阵的加法, ,减法减法2 2、矩阵的数乘、矩阵的数乘矩阵的运算矩阵的运算3 3、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘6 6、方阵的伴随矩阵、方阵的伴随矩阵7 7、方阵的逆矩阵、方阵的逆矩阵1A*AAAT Ams Bsn=CmnAk10( )mmf Aa Aa Aa E8 8、解矩阵方程、解矩阵方程9 9、化矩阵为行阶梯形，行最简形矩阵、化矩阵为行阶梯形，行最简形矩阵0 3 -8 6 4 3 -9 8 -5 81 -3 4 -3 2A=1、从、从最左最左的的非非0列列开始，取该列开始，取该列顶端顶端的元，非的元，非0则则为主元为主元；若顶端的元为若顶端的元为0，交换两行使其非，交换两行

8、使其非0。13rr1 -3 4 -3 23 -9 8 -5 80 3 -8 6 42、将、将主元下主元下面的元素面的元素变变成成0.3、暂、暂不管主元不管主元所在的所在的行行及它及它上上面的各面的各行行，对剩下的子矩阵重，对剩下的子矩阵重复上述两个步骤，直到处理完所有的非复上述两个步骤，直到处理完所有的非0行。行。23rr ( 3) 1 -3 4 -3 2 0 0 -4 4 2 0 3 -8 6 4313rr 1 -3 4 -3 2 0 3 -8 6 4 0 0 -4 4 2 1 -3 4 -3 2 0 3 -6 6 4 0 0 -4 4 2行阶梯形行阶梯形不唯一不唯一 1 -3 4 -3 2

9、 0 3 -6 6 4 0 0 2 -2 -1 1 -3 4 -3 2 0 3 -8 6 4 0 0 -4 4 24、从、从最右最右边的主元开始，将每个主元边的主元开始，将每个主元上上方各元方各元变变成成0。 将每个主元将每个主元变变成成1. 1 ( 2) 1 -3 0 -1 4 0 3 0 -2 0 0 0 -4 4 2 1 1 0 0 -3 4 0 3 0 -2 0 0 0 -4 4 222rr13rr232 ()rr 1 0 0 -3 4 0 1 0 -2/3 0 0 0 1 -1 -1/21、从、从最左最左的的非非0列列开始，取该列开始，取该列顶端顶端的元，非的元，非0则则为主元为主元

10、；若顶端的元为若顶端的元为0，交换两行使其非，交换两行使其非0。2、将、将主元下主元下面的元素面的元素变变成成0.3、暂、暂不管主元不管主元所在的所在的行行及它及它上上面的各面的各行行，对剩下的子矩，对剩下的子矩阵重复上述两个步骤，直到处理完所有的非阵重复上述两个步骤，直到处理完所有的非0行行 4、从、从最右最右边的主元开始，将每个主元边的主元开始，将每个主元上上方各元方各元变变成成0。将每个主元将每个主元变变成成1.1 -1 3 -1 12 -1 -1 4 23 -2 2 3 4 A= 例例1 用初等行变换化为用初等行变换化为行阶梯形行阶梯形、行最简形行最简形1 -1 3 -1 10 1 -

11、7 6 00 1 -7 6 10 1 -7 6 01 -1 3 -1 10 0 0 0 10 1 -7 6 00 0 0 0 11 0 -4 5 0行阶梯形行阶梯形不唯一，不唯一，行最简形矩阵行最简形矩阵唯一唯一确定；确定；1 2 3 4 52 4 6 8 100 0 0 0 2A=0 0 0 0 01 2 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 21 2 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1练习：用初等行变换化为练习：用初等行变换化为行阶梯形行阶梯形、行最简形行最简形212rr23rr22r 125rr ( 2) 1 2 3 4 50 0 0 0 21 1 1 1 1 13 2

12、 1 0 -3 60 1 2 3 6 -35 4 3 2 6 1A=练习练习3： 用初等行变换化为用初等行变换化为行阶梯形、行最简形行阶梯形、行最简形121253rrrr1 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 1 2 3 6 -30 -1 -2 -3 1 -43242rrrr1 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 0 00 0 0 0 7 -71 0 -1 -2 0 10 1 2 3 0 30 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 0若矩阵若矩阵A A

13、可逆，求可逆，求1A,11 AAA2 2、若、若 存在，则存在，则 1A3 3、若、若 存在，初等变换方法存在，初等变换方法1A 是数，是数，用于计算二阶用于计算二阶方阵的逆方阵的逆1AABEA 可逆可逆, ,且且1AB1、用于计算用于计算3阶阶及及3阶以上方阶以上方阵的逆阵的逆初等初等行行变换变换A， E E， A-1 不能不能做做列列变换变换化化A,E为为行最简行最简形形四、四、 利用初等行变换利用初等行变换求逆求逆矩阵矩阵初等初等行行变换变换A， E E， A-1 不能不能做做列列变换变换四、四、 利用初等行变换利用初等行变换求逆求逆矩阵矩阵(A-1 存在存在)化化A,E为为行最简行最简

14、形形P61P61定理定理1:1: 行左列右行左列右P63P63推论推论: 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 rAE五、利用初等行变换五、利用初等行变换解解矩阵方程矩阵方程 AX=B (A-1 存在存在)rA， B E， A-1 B初等初等行行变换变换化化A,B为为行最简行最简形形增广矩阵增广矩阵A 的逆矩阵的逆矩阵例例1 1 求矩阵求矩阵12 30 1210 512 30 1210 510 00 1000 1解解 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 2 2 3 0 1r2 2r1r3 3r1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 2 7 2 1r

15、3 2r2 1 0 0 2.5 1 0.5 0 1 0 5 1 1 0 0 2 7 2 1r2 r3r1 0.5r3 1 0 0 2.5 1 0.5 0 1 0 5 1 1 0 0 1 3.5 1 0.5 2.5 5 3.5 1 1 1 0.5 1 0.5A 1 (A,E ) r3 0.5验证：A =E A-1练习：求下列矩阵的逆练习：求下列矩阵的逆P64 P64 例例3 31 2 3A=2 2 13 4 3练习：求练习：求 的逆的逆1 2 3A=2 2 13 4 3 0 0 1解解:(A,E)=1 2 3 1 0 02 2 1 0 1 03 4 30 -2 -6 -3 0 11 2 3 1

16、0 00 -2 -5 -2 1 00 0 -1 -1 -1 11 0 -2 -1 1 00 -2 -5 -2 1 00 0 -1 -1 -1 11 0 0 1 3 -20 -2 0 3 6 -50 0 1 1 1 -11 0 0 1 3 -20 1 0 -3/2 -3 5/2111253232311A矩阵方程矩阵方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 五、解矩阵方程五、解矩阵方程，A,B E,A-1Br例例1 1.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解法一：解法一：( ,)rA B322313 .X1003201023001

17、13化化A,B为为行最简行最简形形例例1 1.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解法二：解法二：113235322111.A 113225353312243111XA B 322313 .X 10,.AXA B例例 2 2 解矩阵方程解矩阵方程 X-XA=B X-XA=B 其中其中1 0 12 1 0-3 2 -3 A=1 -2 1-3 4 1B=解 X- -XA = B1)(AEBX XE- -XA= B X(E- -A)= BE-A= 0 0 -1-2 0 03 -2 4所以(E-A)-1=0 -1/2 0-2 -3/4 -1/2-1 0 01)(AEBX1 -2 1-3 4 1 0 -1/2 0-2 -3/4 -1/2-1 0 00,EA1)(AEBX1 -2 1-3 4 1 =3 1 1-