初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、S-WNP5 槁优垄豪)-初中数学 二次函数 经典综合题练习卷二次宓数申老难点矣馥号錢训館戮申豹未渚试就萇刁试堪卿金鏗试懸簷窒及完罄福幣进名：_学笔：_1、如图 9 (1),在平面直角坐标系中，抛物线y-axbx-3a经过A(-i, o)、B(o, 3)两点， 与 x 轴交于另一点 C，顶点为 D .(1) 求该抛物线的解析式及点 C、D 的坐标；(2) 经过点 B、D 两点的直线与 x 轴交于点 E,若点 F 是抛物线上一点，以AB、E、F 为顶点的 四边形是平行四边形，求点 F 的坐标；(3) 如图 9 (2) P (2, 3)是抛物线上的点，Q 是直线 AP 上方的抛物线上一动点，求 A

2、PQ 勺最 大面积和此时 Q 点的坐标.2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划 投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润yi与投资成本 x 成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润 y2与投资成本 x 成二次函数关系，如图所示(注：利润与投资成本 的单位：万元)图图(1) 分别求出利润 yi与 y2关于投资量 x 的函数关系式;(2)如果这位专业户计划以 8 万元资金投入种植花卉和 树木，请求出他所获得的总利润 Z 与投入种植花卉的投资量 x 之间的函数关系式，并回答他至少 获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？3、如图，丁为正方形

3、匸二的对称中心，川；，直线交于一于川，点二 从原点出发沿：轴的正半轴方向以 1 个单位每秒速度运动，同时，点匚从出发沿丄方向以 J 个单位每秒速度运动，运动时间为.求：(1) 的坐标为_ ;(2) 当为何值时，一与一相似？(3)求的面积.一与的函数关系式；并求以-为顶点的四边形是梯形时的值及一 的最大值.4、如图，正方形 ABCD 勺顶点 A,B 的坐标分别为 .，顶点 C,D 在第一象限.点 P 从点 A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 Q 从点 E(4,0)出发，沿 x 轴正方向以相同速 度运动.当点 P 到达点 C 时，P,Q 两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒.(1

4、) 求正方形 ABCD 勺边长.(2) 当点 P 在 AB 边上运动时， OPQ 勺面积 S (平方单位)与时间 t (秒)之间的函数图象为抛 物线的一部分(如图所示)，求 P,Q 两点的运动速度.(3)求(2)中面积 S (平方单位)与时间 t (秒)的函数关系式及面积取最大值时点厂的坐标.(4)_ 若点 P,Q 保持(2)中的速度不变， 则点 P 沿着 AB 边运动时， / OPQ的大小随着时间一的增 大而增大；沿着 BC 边运动时，/ OPC 的大小随着时间一的增大而减小.当点厂沿着这两边运动时， 使/ OPQ=90 的点厂有 个.團图5、如图，在梯形，比工中,.心.一厘米,.-P 厘米

5、，丄 T 的坡度-:丄 动点从出发以 2 厘米/秒的速度沿工虛方向向点 J 运动，动点/从点 J 出发以 3 厘米/秒的速 度沿方向向点二运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点 也随之停止设动点运动的时间为一秒.(1) 求边丄匸的长；(2) 当一为何值时，二与丄相互平分；(3) 连结，设二一匚的面积为二探求；与：的函数关系式，求-为何值时，有最大值？最大值是多少？6、已知抛物线(1I)与:轴相交于点，顶点为 T .直线2分别与；轴,轴相交于厂两点，并且与直线丄相交于点.填空：试用含-的代数式分别表示点：与厂的坐标，则;如图，将一丄沿：轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，

6、丄；与轴交于点二， 连结上，求一：的值和四边形二-的面积；在抛物线 _ ;厂 f C.：. I)上是否存在一点厂，使得以丄.,为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出 厂点的坐标；若不存在，试说明理由2 | - *7、已知抛物线 y = ax + bx+ c 的图象交 x 轴于点 A(xo，0)和点 B(2，0)，与 y 轴的正半轴交于点 C,其对称轴是直线 x 二一 1, tan / BAG= 2,点 A 关于 y 轴的对称点为点 D.(1) 确定 A.C.D 三点的坐标；(2) 求过 B.C.D 三点的抛物线的解析式；(3) 若过点(0，3)且平行于 x 轴的直线与(2)小题中所求抛物线

7、交于 M.N 两点，以 MN 为一边，抛物 线上任意一点 P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为 S,写出 S 关于 P 点纵坐标 y 的函数解析式.1(4) 当-vxV4 时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理 由.&如图，直线 AB 过点 A(m,0)，B(0,n)(m0,n0)反比例函数的图象与 AB 交于 C, D 两点，P 为双m曲线上一点，过 P 作二轴于 Q,轴于 R,请分别按(2)(3)各自的要求解答闷题。(1) 若 m+n=10 当 n 为何值时赵05的面积最大？最大是多少？若、亠一-二上，求 n 的值：在 的条件下，

8、 过 O D C 三点作抛物线， 当抛物线的对称轴为 x=1 时， 矩形 PROQ 勺面积是 多少？9、已知 A、A、A是抛物线.1上的三点,AiBi、AB、AR 分别垂直于 x 轴，垂足为 B、B、 直线 A2B2交线段AA于点 C。(1)如图 1,若 A、A A三点的横坐标依次为 1、2、3,求线段CA的长121 j,V = -XV = -X -z + 1(2)如图 2,若将抛物线.1改为抛物线1，Al、A、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变，求线段CA的长。yf（3）若将抛物线1改为抛物线T Im,A、A、A三点的横坐标为连续整数，其他 条件不变，请猜想线段CA的长（用 a、b、c

9、 表示，并直接写出答案）。10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板I,U,它们两直角边的长分别为 1 和 2.将它们分 别放置于平面直角坐标系中的ST 圧，二处，直角边-在；轴上.一直尺从上方紧靠 两纸板放置，让纸板I沿直尺边缘平行移动.当纸板I移动至二-处时，设. 与一分别交于点与：轴分别交于点匚1.（1）求直线丄所对应的函数关系式；（2）当点是线段二 L （端点除外）上的动点时，试探究：1点二至门轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；Bi B32两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积 J 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及 J取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由.11、OM

10、 是一堵高为 2.5 米的围墙的截面，小鹏从围墙外的 A 点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正 好打在了横靠在围墙上的竹竿 CD 的 B 点处，经过的路线是二次函数 丨图像的一部分， 如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的 E 点，现以 O 为原点，单位长度为 1,建立如图所示的7平面直角坐标系，E 点的坐标（3，i ），点 B 和点 E 关于此二次函数的对称轴对称，若 tan / OCM=1围 墙厚度忽略不计）。（1）求 CD 所在直线的函数表达式；求 B 点的坐标；(3) 如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方-3 -2 -1 Of k 2 A 4 K12、已知：在平面直角坐标

11、系 xOy 中，一次函数:,二二的图象与 x 轴交于点 A，抛物线|经过 O A 两点。(1) 试用含 a 的代数式表示 b;(2) 设抛物线的顶点为 D,以 D 为圆心，DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧 沿 x轴翻折，翻折后的劣弧落在。D 内，它所在的圆恰与 0D 相切，求。D 半径的长及抛物线的解 析式；(3) 设点 B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样4APOA-AOBA的点 P,使得:?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。13、如图，抛物线交：轴于 A. B 两点，交轴于 M 点.抛物线-向右平移 2

12、个 单位后得到抛物线 二，交轴于 C. D 两点.(1)求抛物线丄对应的函数表达式；(2) 抛物线厶或:在 X 轴上方的部分是否存在点 N,使以 A，C, M N 为顶点的四边形是平行四 边形.若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若点 P 是抛物线丄上的一个动点(P 不与点 A. B 重合)，那么点 P 关于原点的对称点 Q 是否在抛物线二上，请说明理由14、已知四边形是矩形，丄上,直线；I 分别与圧 工交与：两点，为对角线 丄上一动点(不与二，重合).(1)当点匚分别为八：的中点时，(如图 1)问点在上运动时，点、=、能否 构成直角三角形？若能，共有几个，并在图1 中画

13、出所有满足条件的三角形.(2)若丄，丄-I，为的中点，当直线二 I 移动时，始终保持工,(如图 2) 求丄二的面积与的长：之间的函数关系式.15、如图 1,已知抛物线的顶点为，且经过原点与：轴的另一个交点为 J ( 1)求抛 物线的解析式；(2)若点一在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以，气四点为顶点的四边形为平 行四边形，求；点的坐标；(3)连接 ，如图 2,在：轴下方的抛物线上是否存在点:，使得_与一丄 1?相似？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.上 16、如图，已知抛物线经过原点 0 和x轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x轴交于点C,直线y=-2x-1经过 抛物线上一

14、点B（-2, m,且与 y 轴、 直线 x=2 分别交于点 D、E.（1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE :D 是 BE 的中点；（3） 若 P（x, y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE 若存在，试求出所 有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由17、如图，抛物线丨 c 与轴交于A B两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C,且当=0 和=4 时，y 的值相等。直线 y=4x-16 与这条抛物线相交于两点，其中一点的 横坐标是 3，另一点是这条抛物线的顶点 M。OVX（1）求这条抛物线的解析式；（2）P 为线

15、段 0M 上一点， 过点 P 作 PQL；轴于点 Q 若点 P 在线段 0M 上运动 （点 P 不与点 0 重 合，但可以与点 M 重合），设 0Q 的长为 t，四边形 PQC 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式 及自变量 t的取值范围；(3)随着点 P 的运动，四边形 PQC 的面积 S 有最大值吗？如果 S 有最大值，请求出 S 的最大值 并指出点 Q 的具体位置和四边形 PQCO 的特殊形状；如果 S 没有最大值，请简要说明理由；(4)随着点 P 的运动，是否存在 t 的某个值，能满足 PO=OC 如果存在，请求出 t 的值试卷答题纸参考答案i、解：（i）抛物线 j =+bx

16、3a经过A（-i, o）、B（o, 3）两点,抛物线的解析式为：-孑1+ 2x + 3T 由：.-J .，解得：H二心二-J阿）.由- T -T / -ID ( 1,4 )/ BF=AE设直线 BD 的解析式为:一；，则 .B ( 0, 3), D (1,4 )3=b4=k+b.四边形AEBF 是平行四边形,直线 BD 的解析式为： 尸x+3当 y=o 时，x=-3/. E (-3 , 0),/. OE=3丁 A (-1 , 0)/ OA=1,/ AE=2/ BF=2,F 的横坐标为 2,/ y=3, F (2, 3);(3)如图，设 Q，作 PS 丄 x 轴，QRL x 轴于点 S、R,且

17、P (2, 3),AR=+1, QR=二+2a+3,PS=3 RS=2-a, AS=3(PS+QR)vpARxQR PSxAS=1 j1（皆此时Q -2、（ 1）设yi=kx，由图所示，函数yi=kx的图象过（1, 2）,(3_/+N+ 3)2x（2_a）+ S+l）x（+加+ 3x31当 _时，SAPQA的最大面积为27TSAPQA=S四边形 PSA所以 2=k?1 ,k=2,故利润y关于投资量x的函数关系式是yi=2x,T该抛物线的顶点是原点，设y2=ax2，由图所示，函数y2=ax2的图象过（2，2）,-2=a?22，故利润屮关于投资量x的函数关系式是：y2=x2；（2）设这位专业户投入

18、种植花卉x万元（0 x 8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意,（8-x） +x2=x2-2x+16= （x-2）2+14，当x=2 时，z的最小值是 14，T0 x4）（1分）39S=（1 分）9S=（1 分）11S=1J（1 分）4、解：（1）作 BF 丄 y 轴于 F所以 FB=8, FA=6所以 2_(2) 由图 2 可知，点 P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒又因为 AB=10, 10- 10=1所以 P、Q 两点运动的速度均为每秒1 个单位。(3) 方法一：作 PGL y 轴于 G贝 U PG/BFGAAPGAt所以FA一 , 即6 1OGA =

19、2t所以5OG:3 =10-t所以5因为OQ=4+tS=-xOQxOG所以 -13= i(t+4)(10-t)25S = -t3+ -t + 20即IL:19bT19-a4-=2a. . 33因为二0 -10当 二时，S有最大值。方法二：当 t=5 时，0G=7 0Q=9设所求函数关系式为S = at + bt + 2053因为抛物线过点（10, 28）,（ 5,1）fl00a + 10b + 20 = 2825a + 5h+20所以191019=_5_2a / /332x(-)100-10且匚t上当 二时，S有最大值。GP上00 = 21此时 .76 31-所以点 P 的坐标为（1:_ ）。

20、(4)当点 P 沿 AB 边运动时，/ OPQ 由锐角-直角-钝角；当点 P 沿 BC 边运动时，/ OPQ 由钝角-直角-锐角(证明略)，故符 合条件的点 P 有 2 个。所以-2ta+ -t + 20105所以19因为5、解：(1)作 _于点，如图所示，则四边形AECD为矩形.加二COMCB=DA=L又:.EB=8,倍12在一 中，由勾股定理得： 込J昭莎二1Q(2) 假设；与BQ相互平分.由则三一/是平行四边形(此时：一在上).即；-.-.解得即秒时，丿与BQ相互平分.0-(3)当：在上，即 二时，作芒丄匸于 J，则 .即:.11:6、119(当秒时，十大值为匸；10认二期込扣1)x6U

21、乙=:丄易知随；的增大而减小.=-?36-X6-16厘米.二秒时，-，-_有最大值为_10)3 时S= 4(y 3) = 4y 12当一 1 y 3 时S= 4(3 y) = 4y+ 12丄以 MN 为一边，P(x , y)为顶点，且当-xt + i=-(-l)3-(-l)+l23 + W+b二 (料+1)2-(+1) + 1*0帶IIII11 11活1+I 3解得L21313-CB2=n(n-1)- n2+ = n2-n+ 13/ CA= CB2AB2= - n2 n+ - . n2+ n 1 =.。(3)当 a0 时，CA = a;当 avO 时，CA= a10、解：(1 )由直角三角形纸

22、板的两直角边的长为1 和 2,知一止_两点的坐标分别为设直线-L 所对应的函数关系式为一：- 所以，直线-所对应的函数关系式为.一(2)点卩到：轴距离与线段BH的长总相等.因为点的坐标为所以，直线厂所对应的函数关系式为1又因为点厂在直线 丄上,所以可设点的坐标为过点匚作：轴的垂线，设垂足为点 丄，则有m丄.因为点1,在直线I I上，所以有M(2hK).因为纸板为平行移动，故有，即.Y/ 3.:.!又討，-，所以法_:故二二,G_GH_EF_从而有卫门一1.GK-MK-h GH=-PH-(3-d)得，0G0K-GK2h-h=-h所以_=二丄(4二2(1)又有12所以，得:,而二J.1，从而总有丄

23、二.3更竺丄法二：故：j1,可得-551GH-PH = -(3-d)故11OGOH-aHa-(3-a)-(a-)所以12 故 b 点坐标为 W丿设直线卜；所对应的函数关系式为+ -J则有3- a-ca+d30= -c(a-lj + rf.2解得所以，直线.；：所对的函数关系式为.将点.脣的坐标代入，可得一解得 rV .；一.而丄丄1一 1 ,从而总有、丄：二.由知，点 M 的坐标为 (2”- 2 a-1),点 M 的坐标为a,a2a-212J3必二一当 一时，-一有最大值，最大值为：.(3 3j 取最大值时点 P 的坐标为 12 2 丿.311、解:(1) ：OM=2.5, tan / 0CM

24、=1/ZOCM= _,OC=OM=2.5/ C(2.5,0),M(0,2.5)o设 CD 的解析式为 y=kx+2.5 (k 工 o),2.5k+2.5=0 ,k= 一 1o/ y=x+2.5o7/ B、E 关于对称轴对称，/ B(x ,)又TB 在 y=一 x+2.5 上，/ x= 一 l7/ B( 1,)7抛物线 y=：经过 B( 1,),7L/-a -b +427上二加+细+41a -6b = -3+ -x+4/ y=-i2+-z+4令 y=o，则 i二=0,解得所以沙包距围墙的距离为 6 米12、（ 1）解法一 ：丁一次函数y= h- 4去 的图象与 x 轴交于点 A点 A 的坐标为（

25、4, 0）2 TT抛物线+；U +经过 O A 两点= dlfa+4A = 0解法二：丁一次函数y二&-4上的图象与 x 轴交于点 A点 A 的坐标为（4, 0）2!T抛物线r- .卜经过 O A 两点抛物线的对称轴为直线A（2）解：由抛物线的对称性可知，DO= DA点 O 在OD 上，且/ DOA=ZDAO又由（1）知抛物线的解析式为 一二 点 D 的坐标为（一rr r如图 1，设。D 被 x 轴分得的劣弧为.门| ,它沿 x 轴翻折后所得劣弧为,显然丄!,所在的圆与。D 关于 x 轴对称, 设它的圆心为 D点 D与点 D 也关于 x 轴对称/点 O 在。D上，且。D 与。D相切点

26、0 为切点 DO 丄 OD /DOAZDOA=45 ADO 为等腰直角三角形抛物线的解析式为二当 J.时,y -x2+2兀抛物线的解析式为1综上，。D 半径的长为一 . 1 ,抛物线的解析式为4MA= -OBA（3）解答：抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P,使得J设点 P 的坐标为（x, y），且 y 0尸-2x当点 P 在抛物线上时（如图 2）点D 的纵坐标为-2V = -xa- 2x V = -xJ+2x2或2点 B 是 OD 的优弧上的一点.OBA = -ZADO =452过点 P 作 PE x 轴于点 EEPtan/LPOE-OE:.= tan 60 x:.y=届二点P的坐标为 J

27、y= -x2+2x当点 P 在抛物线上时（如图 3）图3APOA-OBA = 6Qy = -x2-2x.2解得:同理可得，;-综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为：一或二:厂:、计算题13、解：（1）令：II.午，抛物线宀 1 向右平移 2 个单位得抛物线,:C(-nDMa =-抛物线 匕为“二 即-+丄 r（2）存在。令一宅-.抛物线匕是 J 向右平移 2 个单位得到的，馴（2,3）在上，且则=2,厕腮y = xV = - J +“由、2解得:=4 - 23 % = 0 71 =-6+ 43 172=0（舍去）二点P的坐标为(4-2j3,-6 + 4V3)四边形ACNM为平行四边形 同理，

28、上的点满足NMIIAC胚二虫 C四边形 HCW1为平行四边形,即为所求。(3)设点 P 关于原点得对称点 Q(一 D将点 Q 得横坐标代入-：，得；.，書-l -点 Q 不在抛物线七上14、解：(1 )能，共有 4 个.L 点位置如图所示：(2)在矩形 亠中./ A二、，丄 J.1&ABC=BC?ABm.J二，._:.在/中:.BEFsBAC盂 &淫 F _（4 _工）6-42. “ 广（4 3&仏 B3F=6一= 兀-4）工 Y,-SAAEP= SCPF= CF?FC? sin /ACBVsin ZACS =-5 ,一 况麼-岂血C _ &SF +区価 +S在

29、CpJpBFNyAD图1即0=a(0-2)3+l= 6-24433二j+-xg4)8 215、解：（1 ）由题意可设抛物线的解析式为；： -门抛物线过原点,y （X - 2），+1抛物线的解析式为:（2）如图 1，当四边形OCDB是平行四边形时,-1(X-2)3+1 = 0由：CDM_|点的横坐标为.r尸-(2)彳+1将.代入,J= -(6-2)2+1=-3得-,:.D(6厂弘根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点 二，使得四边形ODCB是平行四边形，此时_点的坐标为一，OCBD是平行四边形时，-点即为点，此时_点的坐标为 (2,1) ?(3)如图 2，由抛物线的对称性可知:二一

30、丄，一.必须有POB=BOA=BPO.设一交抛物线的对称轴于 二点,显然,y -1直线_的解析式为j1 _ 1 2由.,得二.P（6厂3）.过厂作I.-.轴, 在亠中，丄一，疋一, IJ-：-t.:.PROB.MBOP卓ZBPO.二二_与-.A 不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点.所以在该抛物线上不存在点，使得 一与_ 相似.16、解：（1 ）T 点B（-2, nm 在直线y=-2x-1 上,n=-2 x (-2)-1=3.- B(-2,3)V 抛物线经过原点0和点A,对称轴为x=2，二点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-O)(x-4).1a=将点B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4)，二!.y = -x(x-4) y = -x3-x所求的抛物线对应的函数关系式为，即(2)直线y=-2x-1 与y轴、直线x=2 的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).动点 P