第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数

1、栏目索引第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数栏目索引总纲目录总纲目录教材研读1.角的概念的推广考点突破2.弧度制的定义和公式3.任意角的三角函数考点二扇形的弧长与面积公式考点一象限角及终边相同的角考点三三角函数的定义栏目索引教材研读1.角的概念的推广角的概念的推广(1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的端点端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ.教材研读教材研读栏目索引教材研读2.弧度制的定义和公式弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作ra

2、d.(2)公式角的弧度数公式|= (l表示弧长,r表示半径长)角度与弧度的换算1= rad;1 rad= 弧长公式l=|r扇形面积公式S= lr = |r2 lr1801801212栏目索引教材研读3.任意角的三角函数任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:y叫做的正弦,记作sin x叫做的余弦,记 作cos 叫做的正切,记+-+-+-有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线 yx栏目索引教材研读1.角-870的终边所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案答案 C C栏目索引教材研读2

3、.与角的终边相同的角可表示为()A.2k+45(kZ) B.k360+(kZ)C.k360-315(kZ) D.k+(kZ)949454答案答案 C =180=360+45=720-315,与角的终边相同的角可表示为k360-315,kZ.弧度制与角度制不能混用,故A,B不对.949494C栏目索引教材研读3.给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;三角形的内角是第一象限角或第二象限角;无论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;若sin =sin ,则与的终边相同;若cos 0,sin 0,则角所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案答案

4、C C栏目索引教材研读5.单位圆中,200的圆心角所对的弧长为()A.10B.9C.D.910109答案答案 D l=r|=1200=.180109D栏目索引教材研读6.已知的终边过点P(12,-5),则cos 的值为 .1213答案答案 1213解析解析由题意知x=12,y=-5,所以r=13,所以cos =.22xyxr1213栏目索引考点突破典例典例1(1)(2018河南郑州质检)若=k180+45,kZ,则在()A.第一或第三象限 B.第一或第二象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限(2)设集合M=,N=,那么()A.M=N B.MNC.NM D.MN=(3)已知角的终边在如图所示

5、阴影表示的范围内(不包括边界),则角用k|18045 ,Z2x xkk|18045 ,Z4x xk考点一考点一象限角及终边相同的角象限角及终边相同的角考点突破考点突破集合可表示为 . 栏目索引考点突破答案答案(1)A(2)B(3),kZ52,246kk解析解析(1)=k180+45,kZ.当k为偶数时,设k=2n(nZ),则=n360+45,此时为第一象限角;当k为奇数时,设k=2n+1(nZ),则=n360+225,此时为第三象限角.综上,为第一或第三象限角.(2)M=,-45,45,135,225,N=,-45,0,45,90,135,180,225,显然有M N.故选B.(3)在0,2)

6、内,终边落在阴影部分的角的集合为,所求角的集合为,kZ.k|18045 ,Z2x xkk|18045 ,Z4x xk5,4 652,246kk栏目索引考点突破规律总结规律总结1.终边相同角的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数赋值来求得所需角.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k360+(0360,kZ)的形式,即找出与已知角终边相同的角,再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角.栏目索引考点突破3.求或

7、n(nN*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同时除以n或乘n.(3)对k进行讨论,得到或n(nN*)所在的象限.提醒注意“顺转减,逆转加”的应用,如角的终边逆时针旋转180可得角+180的终边,类推可知+k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角.nn栏目索引考点突破1-1已知角的终边在直线x-y=0上,则角的集合S= .3|,Z3 kk答案答案 |,Z3 kk解析解析由题意知,所求角的终边在直线y=x上,则的集合为=2k+,kZ=2k+,kZ=k+,kZ.3333栏目索引考点突破1-2若角的终边与角的终边相同,则在0,2内终边与角的终边相同的角的个数为

8、.6733答案答案3解析解析=+2k(kZ),=+(kZ),依题意0+2,kZ,-k,又kZ,k=0,1,2,即在0,2内与角的终边相同的角为,共3个.6732723k2723k3718732720213421栏目索引考点突破典例典例2(1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为 .(2)如图,已知扇形的圆心角=120,弦AB长12 cm,则该扇形的弧长l= cm. 考点二扇形的弧长与面积公式考点二扇形的弧长与面积公式栏目索引考点突破答案答案(1)(2)128 33解析解析(1)设圆心角是,半径是r,则或(舍),故扇形的圆心角的大小为.(2)设扇形的半径为r cm,如图.由sin

9、 60=,得r=4,2210,142rr r4,12r1,8r126r3l=|r=4= cm.2338 33栏目索引考点突破探究探究在本例(1)中,若去掉条件中的“面积是4”,则扇形的半径和圆心角取何值时,可使其面积最大?解析解析设圆心角是,半径是r,则2r+r=10.所以扇形的面积S=r2=r(10-2r)=r(5-r)=-+,当且仅当r=时,扇形面积S最大,且Smax=,此时=2.所以当r=,=2时,扇形面积最大.1212252r2542545225452栏目索引考点突破方法技巧方法技巧弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式为l=|r,扇形的面积公式是S=lr=

10、|r2(其中l是扇形的弧长,是扇形的圆心角).(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.提醒运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制.1212栏目索引考点突破2-1将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A. B. C.- D.- 3636C答案答案 C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转分针,故所形成的角为负角,故A、B不正确.因为拨快10分钟,所以转过的角的大小应为圆周的,故所求角的弧度数为-2=-.16163栏目索引考点突破2-2已知圆中一段弧的长度等于该圆内接正方形的边长,求这段弧所对的圆心角.解析解析设圆的半径为r

11、,则圆内接正方形的对角线长为2r,正方形的边长为r,所求圆心角的弧度数是=.22rr2栏目索引考点突破命题方向命题视角三角函数定义的应用1.已知角终边上的一点坐标,求三角函数值;2.已知角终边所在直线,求角三角函数值的符号判断1.根据角所在的象限,判断三角函数值的符号;2.根据三角函数的符号、判定角所在的象限三角函数线的应用1.比较大小;2.解不等式考点三考点三三角函数的定义三角函数的定义栏目索引考点突破典例典例3已知角的终边上一点P(-,m)(m0),且sin =,求cos ,tan 的值.324m命题方向一三角函数定义的应用命题方向一三角函数定义的应用栏目索引考点突破解析解析由题设知x=-

12、,y=m,r2=|OP|2=(-)2+m2(O为原点),r=.sin =,r=2,即3+m2=8,解得m=.当m=时,r=2,x=-,y=,cos =-,tan =-;当m=-时,r=2,x=-,y=-,cos =-,tan =.3323mmr24m2 2m23m25523532 264153523532 264153栏目索引考点突破典例典例4若sin tan 0,且0,则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角costan命题方向二三角函数值的符号判断命题方向二三角函数值的符号判断C答案答案 C解析解析由sin tan 0可知sin ,tan 异号,则为第二或第三

13、象限角.由0可知cos ,tan 异号,则为第三或第四象限角.综上可知,为第三象限角.costan栏目索引考点突破命题方向三三角函数线的应用命题方向三三角函数线的应用典例典例5函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为 .12cosx答案答案 (kZ)52,236kk解析解析要使原函数有意义,必须有即如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为(kZ). 2sin10,12cos0,xx 1sin,21cos,2xx52,236kk栏目索引考点突破规律总结规律总结1.利用三角函数定义求值的方法(1)已知角终边上一点P的坐标,可求角的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角

14、函数的定义求解.(2)已知角的某三角函数值,可求角终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值.(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小,根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标.栏目索引考点突破2.三角函数值的符号判断方法已知一角的三角函数值(sin ,cos ,tan )中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.3.利用单位圆解三角不等式的步骤(1)确定区域的边界(注意边界的虚实);(2)确定区域;(3)写出解集.栏目索引考点突破同类练同类练已知角的终边经过点P(-x,-6),且cos =-,则

15、+= .5131sin1tan答案答案- 23解析解析角的终边经过点P(-x,-6),且cos =-,cos =-,即x=或x=-(舍去),P,sin =-,tan =,则+=-+=-.513236xx51352525, 621213sincos1251sin1tan131251223栏目索引考点突破变式练变式练点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为()A. B.C. D. 2313,2231,2213,223 1,22答案答案A设Q(x,y).由三角函数的定义可知x=cos=-,y=sin=,故选A.23122332A栏目索引考点突破深化练深化练如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边