2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算学案理北师大版

1、2019-20202019-2020 年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.68.6 空间向量及其运算学案理北师大版最新考纲考情考向分析1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角本疋理及其意义，掌握空间向量的正交分解坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及其坐标表示.及四种运算等内容一般不单独命题，常以2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.简单几何体为载体；以解答题的形式出现，3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.的计算，解题要求有较强的运算能力1.空间向量的有关概念

2、名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a/b共面向量平行于冋一个平面的向量-2.空间向量中的有关定理(1) 共线向量定理空间两个向量a与b(b 0)共线的充要条件是存在实数入，使得a=入b.(2) 共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p=xa+yb,其中x,y R,a,b为不共线向量.(3) 空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z，使得p=xa+yb+zc, a,b,

3、c叫作空间的一个基底.3 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念1两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作6A=a,OB= b,则/AOE叫作向量a,b的夹 角，记作a,b,其范围是 0wa,b=-2，则称a与b互相垂直，记 作a丄b.2两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a|b|cosa,b叫作向量a,b的数量积，记作ab,即ab= |a|b|cosa,b.(2)空间向量数量积的运算律1(入a) b=入(ab)；2交换律：ab=ba；3分配律：a(b+c) =ab+ac.4 .空间向量的坐标表示及其应用设a= (ai,a2,a3),b= (bi,b2,b3

4、).向量表示坐标表小数量积abab+a2b2+asb3共线a=入b(0,入 R)a=入b,a2=入b2,a3=入b3垂直ab= 0(a 0 ,0)ab+a2b2+a3b3= 0模|a|f 222p a1+a2+a3夹角a,b (a*0 ,0)cosa,b =ab+a2b2+a3b3寸a1+a2+a3寸b1+b：+b知识拓展1.向量三点共线定理在平面中A, B, C三点共线的充要条件是：0A= xOB yO(C其中x+y= 1),0为平面内任意一 占八、2 .向量四点共面定理在空间中P, A B, C四点共面的充要条件是：0P= xOAbyOBzOC其中x+y+z= 1) ,0为空间中任意一点.

5、题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.(V)在向量的数量积运算中(ab) c=a(bc) . (X)对于非零向量b,由ab=bc，则a=c.(X)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(X)若A,B, C D是空间任意四点，则有ABF BGCDF DA=0.(V)若ab0,则a,b是钝角.(X)题组二教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCAB1C1D中，M为AC与BiD 的交点.若AB= a,AD=b,AA11A.- a+ b+c11C- 2a-2b+c答案 A解析BM=BB+BMhAA+1(AD-AB111

6、=c+ 2(ba) =-qa+ qb+c.3.正四面体ABCD勺棱长为 2,E, F分别为BC AD的中点，贝UEF的长为_答案2解析 |EF2=EF=(ECFDF2=EC+CAD+DFF2(EC-CDF EC-DFFCD-DF=12+22+12+2(1X2Xcos 120 +0+2X1Xcos 120 )=2,lAF=,2,A EF的长为，2.=c,则下列向1 1B.a+b+c1 1D.2a-2b+c题组三易错自纠4 .在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3),B( - 2,- 1,6) , Q3,2,1) ,D(4,3,0)，则直线AB用AB AD AA表示0C,则0C=B.平行C.异面D

7、.相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB= ( 3, - 3,3) ,CD=(1,1，- 1),与CD的位置关系是（）解析因为与向量a共线的单位向量是土 | ,又因为向量（-3，-4,5）的模为-32+ - 42+ 5s= 5 2,所以与向量（一 3,- 4,5）共线的单位向量是1 2士眾-3，-4,5） = 沐-3，-4,5）.A,B, C三点不共线，且61|(3AF8oBb toC,若P, A,B,C四点共面，则实数t=.答案18解析 P, A, B,C四点共面,311 一+ +t=t=.488题型分类深度剖析画题典範潦區剖祈 玄点雉点务堆探究题型一 空间向量的线性运算1.如图所示，在长

8、方体ABC-A1B1GD中，0为AC的中点.6.0为空间中任意一点, XB=- 3CD, XBwCl共线，又AB与CD没有公共点，AB/ CD5 .与向量（一 3,- 4,5）共线的单位向量是 _答案 2 陥 2 尬AA解析 /AC2AC1A A=2(AB AD，0C=OC- CG= 2(AB+ AD+AA1A1A A=qAB+ADAA.2.(xx 上饶期中)如图，在三棱锥CABC中,M N分别是AB OC勺中点，设OA a,6B=b,OG=c,用a,b,c表示丽则0等于()A. 2( a+b+c)1B2(a+bc)1辺伍b+c)1D. 2(ab+c)答案 B解析i=AAM=(OA-AN+2A

9、BA1A1A A1A1A1A=OA-2(OB- OA= 2OAF2OB-2C1 ,=2(a+bc).思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.题型二共线定理、共面定理的应用典例(XX 唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABC-ABC，点M N分别在AG和BC上，且满足AM= kAC,BN= kBGowkW1 ).(i)向量尬是否与向量AB AA共面？直线MN是否与平面ABBA

10、平行?解 AM= kAC, E3N=kBC MN=畝AB+ BN=k(CA+Bq+AB=k(CA+BC)+AB=kBA+ XB= AB- kABAA A=AB- k(AA+AB=(1 -k)AB- kAA,由共面向量定理知向量A与向量AB AA共面.当k= 0 时，点M A重合，点N, B重合，MN在平面ABBA1内，当 0kwi时，MN不在平面ABBA内，又由(1)知論与琏AA共面， MN/平面ABBV思维升华(1)证明空间三点P, A, B共线的方法1PA=入PB入R);2对空间任一点QAP= OA+tAB(tR)；3对空间任一点QAP= xQA+yQBx+y= 1).(2)证明空间四点P

11、,MA,B共面的方法1辰xMA ylB2对空间任一点0,昴OMF xMAF yMB3对空间任一点0,0FxOM-yOAzOBx+y+z=1）;4PMF/屉 或FA/0或 B/M跟踪训练（xx 抚州模拟）如图，在四棱柱ABCABCD中，底面ABCD是平行四边形，E, F,G分别是A D,DD, DC的中点.(1)试用向量 2 2 2 2 21 1 1|AC|=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca)=1+1+1+2x(2+?=6,I AC| = ”6，即AC的长为.6.BD=b+c一a,AC=a+b, |BD| = 2, |AC= . 3,BDAC=(b+ca) (a+b)=b2a2+

12、ac+bc= 1,T T BDAC yJ6 cosBD,AC=- =十.iBDiiAC6 即BD与AC夹角的余弦值为-一二 cos0.30所以 cos BACB|BA|CB6 分思想方法坐标法在立体几何中的应用典例(12 分)如图，已知直三棱柱ABC- ABC，在底面厶ABC中，CA= CB=1,ZBCA=90, 棱AA= 2,M N分别是A1B1,AA的中点.求BN勺模；求 cos bc|b|CI 12X1+4+4-18又：b,b,c = 120,.两直线的夹角为60.8.如图所示，已知空间四边形OABC其对角线为OB AC MN分别为OA BC的中点，点G在线段MN上,且M(=2GN若0(

13、=XOAF yOB zOC贝UX,y,z的值分别为答案解析TOG= 01+ MG=3XN23=2(3A+2(ON-OM=畅+|ON- 3QM1X21XX2=10/+1x1(0別0C3x=1OAF3 血 1XC又OGF XOAyOBzOC1 1X= -,y=z= 一.639.A, B, C, D是空间不共面四点，且AB-0,Ab AD= 0,AB- AD= 0,则厶BCD勺形状=AB0,所以/CBD为锐角同理/BCD/BDC匀为锐角.10.已知ABCBABCD为正方体，2 2 (A A AiD+A1B1) = 3A Bi;2Afc.(ABiAA)=o；3向量AD与向量Ab的夹角是 60；正方体A

14、BCABCD的体积为|ABAAAD.其中正确的序号是_.答案解析中，(+AD+AB)2=+AD2+AB2= 3AV，故正确；中，AB=AB, 因为AB丄AC,故正确；中，两异面直线AiB与AD所成的角为 60,但AD与 ATB的夹角 为 120,故不正确；中，|ABAAAD= 0，故也不正确.11. (xx 遵义调研)已知空间三点A 2,0,2)，耳一 1,1,2) ,Q 3,0,4)，设a=AB, b=AC(1)若|c| = 3,且c/BC求向量c；求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1) c / BCBC= ( 3,0,4) ( 1,1,2) = ( 2 , 1,2), c =miB(=m

15、j 2, 1,2) = ( 2mm,2m), 丨c| = ( 2m)+ (m)+ (2m)= 3|m= 3 , m= 1, c= ( 2, 1,2)或(2,1 , 2). a= (1,1,0), b= ( 1,0,2),a-b= (1,1,0)- ( 1,0,2) = 1,又Ja|=. 12+12+02=2,|b| = . 12+ 02+ 22= .5,a-b 1V10-cosa,b=I1= ,|a|b丨你 10即向量a与向量b的夹角的余弦值为今12.如图所示,已知空间四边形ABC啲每条边和对角线长都等于 1,点E, F,G分别是ABAD CD的中点，计算：A(1)EF- BAEG的长；异面直

16、线AG与CE所成角的余弦值.解 设XB= a, AC=b, XD= c,则 |a| = |b| = |c| = 1,a,b=b,c=c,a= 60A1A11A(1)EF= 2BD=qc-2a,BA=-a,EF- BA=?Cqa- ( a)121 1 2a一 2ac= 4.E=EB+BC+CG=?AB+(AC-AB+ 1(AD-AC=-2AB+AC *AD111=-qa+ qb+qc,所以EG= 4( -a+b+c)212 2 21=4(a+b+c- 2a-b-2ac+ 2b-c) = ?,所以|EG=#,即卩EG的长为 1A A11A(=2(AOAD= 2b+?c,CE=CAFAE=b+ 2a

17、,AG- CE=|b+ |c-b+ |a1 1211=2 2a-b-| b|+2a-c-b-c=- 2,|AG，|CE霍,由于异面直线所成角的范围是0,2,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为|13.在空间四边形ABCDKXB-CD-AC-画AD-BC等于()A. - 1 B . 0 C . 1 D .不确定答案 B解析 如图，令AB= a,AC= b,AD= c,则AB- CDAC- DB AD-BC= a(Cb) +b-(ac) +c-(ba) =a-c-ab+b- a-bc+c-b-c- a= 0.14.若a,b,c是空间的一个基底，且向量p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫向量p

18、在基底 a,b,c下的坐标，已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,a-b,c是空间的另一个 基底，一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底a+b,a-b,c下 的坐标是( )A. (4,0,3)B. (3,1,3)C. (1,2,3)D. (2,1,3)答案 B解析设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为x,y,z,贝Up=x(a+b) +y(a-b) +zc=(x+y)a+ (x-y)b+zc, p 在a,b,c下的坐标为(4,2,3), p= 4a+ 2b+ 3c，cos0, BC-&o,Sb-DAO, DA- XBO,则该四边形为（）A平行四边形B.梯形C

19、.长方形D.空间四边形答案 D解析由已知得BA-BC0,CB-&o,DC-DA0,AB-Ado,由夹角的定义知/B,/c,/D/A均为钝角，故 A, B, C 不正确.16. （xx 郑州调研）已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA=（1,2,3）,OB=（2,1,2）,OP=（1,1,2），且点Q在直线OP上运动，当QA-裁得最小值时， &的坐标是解析 点Q在直线OP上, 设点Q入，入，2 入）, 则dA= （1 -入，2 -入，3 2 入），B=（2 -入，1 -入，2 2 入），QA- QB=（1 入）（2 入）+ （2 入）（1 入）+ （3 2 入）（2 2 入）=

20、6 入2 16 入 +10 =4 倉 26 3彳4SS2即当入=3 时，QAQ諏得最小值一 3.此时张 3,3,3.x=3, y= 1,z= 3,即p在a+b,ab,c 下的坐标为（3,1,3）答案4 83, 32019-20202019-2020 年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第2 2 讲简单几何体的表面积与体积练习理北师大版一、选择题1.（xx 全国I卷）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，

21、问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A.14 斛C.36 斛解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且1=x 3= 3,解得x= 3.答案 D3. （xx 合肥模拟）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）俯视图B.22 斛D.66 斛解析设米堆的底面半径为16r=.n所以米堆的体积为V=4X3n故堆放的米约有字十 1.6222（斛）.答案 B2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x的值是（A.2B.2D.3S底=*(1 + 2)X2= 3.二V-5 -390(立方尺)

22、.A.1 +3B.2 +3解析四面体的直观图如图所示C.1 + 2 2D.22侧面SACL底面ABC且厶SAC与ABC均为腰长是，2 的等腰直角三角形，SA= SC= AB=BC=2,AC=2.设AC的中点为Q连接SO BO贝U SOL AC又SO平面SAC平面SA6平面ABC= AC SOL平面ABC又BO平面ABC二SOL BO又OS= OB= 1, SB=；J2,1故厶SAB与厶SBC均是边长为 2 的正三角形，故该四面体的表面积为2X-x2x2 +2x#x( 2)1 2=2+3.答案 BO的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点.平面ABCD所以PP/NN,则在BPP中，由BN

23、h2PN得=2.V三棱锥NPAC=V三棱锥P ABCV三棱锥N ABC=SABC -PP芬ABC-NN1-#11-=3&ABC (PP一NN) = 3&ABC 3PP1 , 1=T7SABCPP,V三棱锥D- PA=V三棱锥PACD= SACD *PP, 93又四边形ABCD!平行四边形，SABC=SACDVs棱锥N- PAC1,V棱;SL=3.故选 D.4. （xx 全国n卷）已知A,B是球若三棱锥O- ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（A.36nB.64nC.144nD.256n解析因为AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB寸，三棱锥O-ABC的体积取1

24、1，得最大值.由 3XqRxR= 36,得R= 6.从而球O的表面积S=4nR=144n.答案 C5. （xx 宝鸡模拟）如图，四棱锥 PABCD勺底面ABC为平行四边形,NB=2PN则三棱锥N PAC与三棱锥DPAC的体积比为（A.1 : 2B.1 :C.1 : 6D.1 :解析 设点P,N在平面ABC呐的投影分别为点P,N,贝U PP丄平面ABCD NN丄答案 D二、填空题6. 现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_. , 12 212 2解析

25、设新的底面半径为r,由题意得 3nr 4 +nr 8 =-n X5X4+n X2X8,解得33r= 7.答案 77. 已知底面边长为 1,侧棱长为_ 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_.解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R则 2R=.12+ 12+（2）2= 2,n4n解得 R= 1，所以V=yR=一y.答案4n8. （xx 郑州质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为柱和底面半径为 1,高为 1 的半圆锥拼成的组合体三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示1，高为 2 的圆(1)求

26、此几何体的表面积;(2)如果点P, Q在主视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和S圆锥侧=*2na)(2a)=2na2,2S圆柱侧=(2na)(2a)=4na,S圆柱底=na,所以S表=/2na+ 4na+na=(2+ 5)n al(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图则PQ=、AP+AQ=+( na) 2=a1+n：所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a1 +n2.10. (xx 全国n卷)如图，长方体ABCDAB

27、CD中，AB=16,BC= 10,已AA= 8,点E, F分别在AiB,DC上，AE=DF= 4.过点E, F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值(1)交线围成的正方形EHGI如图所示如图，作EMIL AB垂足为M贝U AM= AE= 4,EB= 12,EM= AA= 8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH= EF=BG=10.是MH=EHElM=6,AH=10,HB=6.俯视圏(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);Ai故S四边形A1EHA= X (4 + 10)X8= 56 ,1S四边形EBBH=QX(12+6)X8=72.因为长方体被平面a分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为9 4 5 6 7也正确7 9不满足条件答案）圆柱