版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、第二章随机变量及其分布Chapter Two Random Variable and Distribution)内容 提要本章主要讲述随机变量,离散型随机变量及其分布律,连续型随机变量及其概率密度,分布函数,二维随机变量,边缘分布 ,条件分布,相互独立的随机变量,随机变量函数的分布等内容。重点分析1. 理解随机变量的概念、离散型随机变量及概率分布分布律 的概念和性质、连续型随机变量及概率密度的概念和性质。2. 掌握二项分布、泊松分布、正态分布,了解均匀分布与指数分 布。3. 理解分布函数的概念与性质,会利用概率分布或概率密度计算 有关事件的概率。4. 了解多维随机变量的概念,掌握二维随机变量的
2、联合分布函数、 联合概率分布和联合概率密度的概念和性质。5. 了解二维随机变量的边缘分布和条件分布。6. 理解随机变量的独立性。7. 会求简单随机变量函数的概率分布或概率密度。难点 分析1. 随机变量与分布函数、分布律与密度函数的概念、性质的理解。2. 二项分布、泊松分布、正态分布的掌握。3. 求简单随机变量函数的概率分布或概率密度。2.1 随机变量(Random variable )在对随机现象的研究中,我们所关心的问题往往是和试验的结果有关系的量 这种随试验结果而取值的变量称为随机变量。Example 2.1将一枚硬币抛二次,用 X表示出现正面的次数。样本点HHH HHT HTH THH
3、HTT THT TTH TTTX的值32221110Example 2.2一射手连续射击4次,观察他是否击中目标的情况。用“1表示击中,“ 0表示未击中,X表示击中的次数。S = (X1,X2,X3,X4)| Xi = 0, 1 ; i = 1, 2,3, 4X = X(e) = X1 + X2 + X3 + X4函数X = X(e)称为随机变量,它的定义域为S,值域为Rx = X1, X2,X3,X4。事实上,随机变量就是随试验结果的不同而变化的量。因此可以说,随机变 量是随试验结果的函数。Definition 2.1设E为一随机试验,S为它的样本空间,假设 X = X(e),eS为单值实函
4、数,那么称 X为随机变量。(Let E a random experiment, S is its sample space, if X = X(e), e S is a single value real function, then define X is random variable.)随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别,他们都是从一个集合 到另一个集合的映射,它们的区别主要在于:普通实函数无需做试验便可依据自 变量的值确定函数值,而随机变量的取值在做实验之前是不确定的,只有在做了 试验之后,依据所出现的结果才能确定。今后,在不必强调 e时,常省去e,简记X = X(e)为
5、X。常用大写字母 X,Y, Z,等表示随机变量,用小写字母x,y,z等表示随机变量的值。Note :(1) .随机变量的取值有一定的概率。31如例 1 中 PX -1,PX =3:88(2) .用随机变量可以方便地表示任何事件和事件的概率。3 如例 1 中X = 2表示事件 A = HHT , THH , HTH , P X = 2:8X > 3表示事件 B = HHH , PX >3=-8例2中X < 1表示事件C = X < 1 = (0,0,0,0) , (1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)PX < 1 = (1
6、-p)4 + 4(1 -p)3 ( p 为射手的射中率)引入了随机变量之后,可以用数来描述随机现象,使我们可以用数学分析的方法对实验结果进行更深入广泛的研究2.2 离散型随机变量及其分布律假设随机变量x只可能取有限个或可列个值,称这种随机变量为离散型随机变量(discrete random variable).Definition 2.2设离散型随机变量 X可能取的值为xi,沁,Xn,且X取这些值的概率为:P(Xk = xk) = pk (k = 1 , 2,,n,),那么称上述一系列等式为 随机变量X的概率分布(或分布律(Law of distribution)。(Suppose the v
7、alue for the discrete ran dom variable X in the followi ng seque nee: X1, x2,,xn, and the probability of the value for X is P(Xk = Xk)= pk (k = 1, 2,, n, ),then define the set of equations is probability distribution of X)为了直观起见,有时将 X的分布律用如下表格表示:XX1x2XkpP1P2Pk由概率的定义知,离散型随机变量X的概率分布具有以下两个性质:(1) pk >
8、; 0, (k = 1 , 2,)(非负性)、' Pk =1(归一性)kn这里当X取有限个值n时,记号为 匕,当X取无限可列个值时,记号为 匕.k二心例1中X的分布率为X0123P%Example 2.3P27 例 1简介离散型随机变量的线条图和概率直方图.(P28)下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布(简称分布)。1. n重伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能的结果: 成功和失败,或记为A和A,那么称E为伯努利(Bernoulli )实验。将伯努利实验独立重复地进行n次,称为n重伯努利实验。设一次伯努利实验中,A发生的概率为p (0<p< 1),又设X表示n重伯
9、努利实验中A发生的次数,那么,X所有可能取的值为 0, 1, 2,n且PX 二 k二 C:pkqn± , (k = 0, 1, 2,,n)。易知:(1) PX 二 k _0nn(2) 、PX 二k八 C:pk(1 -p严=(p 1 -p)n =1k =0k=0所以,PX =k =C:pkqnJi , (k = 0, 1, 2,,n)是 X 的分布律。Definition 2.3 如果随机变量 X所有可能取的值为 0, 1, 2,,n,它的 分布律为 P(X =k)二C;pk(1 - p)n± , (k = 0, 1, 2,,n),其中 0 < p < 1 为 常
10、数,那么称X服从参数为 n, p的二项分布(the Bi no mial Distributio n),记为XB(n, p)。二项分布是一种常用的离散型分布,例如,检查10个产品,不合格产品的个数 X B(10, p),其中p为不合格率;调查50个人,患色盲的人数 Y B(50, p),其中p为色盲率;射击4次,射中的次数Z B(4, p),其中p射中率;等等。当 n = 1 时,P(X 二 k)二 pk(1 - p)n,, k=0,1。或写成X01pk1-pp此时称,X服从参数为p的0-1分布(伯努利分布)Example 2.4P30 例 2Example 2.5P31例 42 泊松分布(P
11、oisson distribution)如果随机变量X的分布律为P(X =k)e ',(k =0,1,2,),k!其中,o是常数,那么称 x服从参数为,的泊松分布,记为 x【).泊松分布在各领域中有着广泛的应用,它常与单位时间(单位面积 单位产品等)上的计数过程相联系,例如,某单位时间内 机接到的呼唤次数;某单位时间内候车的乘客数;放射性物质在某单位时间内放射的粒子数;某页书上的印刷错误的个数;1平方米内,玻璃上的气泡数等等都可以用泊松分布来描述。Example 2.6P31 例 5Example 2.7某商店出售某种商品。根据经验,此商品的月销售量X服从'=3的泊松分布。问在
12、月初进货时要库存多少件此种商品,才能以99%的概率满足顾客要求?Soluti on设月初库存M件,依题意3k )P(X 二 k)e;,(k =0,1,2,)k!那么M 3kPX 乞 M八e - 0.99 心k!查附表3,可知M最小应是8,即月初进货时要库存8件此种商品,才能以99%的概率满足顾客要求。Theorem2.1(Poisson theorem) 设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p ),且np二,(0是常数),那么有,kk kn _k',nmpx =k=nmcnPn1 - 5=订訂仆=1,2,。Proof :令 p 二一,有nk kn -kCn p 1 一 pnn_ 廿
13、n_k 0_% _ _n1 _nnnk!-kn knn12k _1扎扎n 兀-kn=11一2 1 k 一 n1 - n nn k! n对任意固定的k0乞k乞n,当n?二时121 -一1 1nnlim 1 nn厂n一-J= lim1-,ne_n ?: n所以k kn «klim Cn p (1 - P )n在应用中,当n很大(n - 10),且分布近似公式ke (k 二 1,2/ ) k!p很小(0.1)时,就可以用以下的泊松kk kn _kCn P (1 - P)ek!k其中彊=np.而关于 e的值,可以查表(见附表 3)。k!Example 2.8P33 例 63 几何分布(Geo
14、metry distributen)(机动)从一批次品率为 p( 0 : p :1)的产品中逐个地随机抽取产品进行检验,验后放回再抽取下一件,直到抽到次品为止。设检验的次数为X,那么X可能取的值为1, 2, 3,,其概率分布为:P(X 二 k)二(1 -p)n'p,(k =1,2,.),称这种概率分布为几何分布。4 超几何分布(Super geometry distribution)(机动)设一批产品共有N个,其中有M个次品,现从中任取 n个(n < N -M ) 那么这n个产品中所含的次品数 X是一个离散型随机变量,X所有可能的取值为0, 1, 2,,j ,(其中j =min,
15、nj,其概率分布为:P(X =k)二 CMCN:M/CN ( k =0,1,2,j),称之为超几何分布2.3 连续型随机变量的概率密度除了离散型随机变量外,还有一类重要的随机变量一一连续型随机变量,这 种随机变量X可以取某个a, b或(-;:)等某个区间的一切值。如灯泡的寿命、顾客买东西排队等待的时间等,由于这种随机变量的所有可能取值无法像离散型 随机变量那样一一排列,因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概 率分布,在理论上和实践中刻画这种随机变量的概率分布常用的方法是概率密度。Definition2.4 设X为随机变量,如果存在一个定义在整个实轴上的函数f (x),满足条件:(1)
16、 f (x) -0-bo(2) f(x)dx=1(3) 对于任意实数a,b ( a _b) (a可以是- b也可以是),有bPa _ X _ b f (x)dx ;a那么称X为连续型随机变量,而f (x)称为X的概率密度函数,简称概率密度或密度。Note :a(1) 对于任意实数,a有P X = a f (x)dx = 0a即连续型随机变量取某一实数值的概率为零。(2) Pa : X : b二 Pa 岂 X : b二 Pa : X < bb二 Pa 冬 X $b二 f (x)dxa该式说明当计算连续型随机变量在某一区间上取值的概率时,区间端点对概率无 影响。(3) Pa 乞 X 空 b二
17、 PX < b - PX : a = P X 岂 b - P X 乞 a证法一:Pa 空 X 乞 b二 f (x)dx 二 f (x)dx - f (x)dx 二 PX 空 b - PX 乞 aa证法二:Pa 乞 X 乞 b二 P X 乞 b - X : a二 P X 乞 b - P X : ab 改变f (X)在有限个点的值,不影响 PaX乞b f (x)dx的值。a率为Px _ X _ x :x : f(x) X。假设f (X)在点X连续,由中值定理易知,X落入微小区间X,X Ax的概事实上Px 乞 X EX X = x f(x)dx=f(x0) X : f(x) X ,其中X。二x
18、,x x。Example 2.8 设随机变量X具有概率密度f(x) = J厂_3xKe0,(1)试确定常数K; 求 PX 0.1;求 P 一1 : X <1(3)Solutio n:(1)由于(x)dx =1,即J(x)dx 二 0 Ke'xdx1 -:0 Ke d(-3x)3得K =3.于是X的概率密度 0,-bo PX >0.1=f(x)dx=Bedxe"0.10.10.11 13(3) P -1 X _1=.斗 f (x)dx= o 3e dx 二-e 1F面介绍三种重要的连续型随机变量1. 均匀分布(Uniform distributen)如果随机变量x的
19、概率密度为a : x : b 其他:1 f (x) = « b aI0,那么称X服从(a, b)上的均匀分布。Note :如果X服从(a, b)上的均匀分布,那末,对于任意满足a : c乞d : b的c,d,应有d -cbadP(cX md)二 f(x)dx =c该式说明X取值于(a,b)中任意小区间的概率与该小区间的长度成正比,而 与该小区间的具体位置无关。这就是均匀分布的概率意义。Example 2.9P36 例 42. 指数分布(Index distribution)如果随机变量X的概率密度为f(x)=铲,X 00, 其他其中二 0为常数,那么称 X服从参数为d的指数分布。指数
20、分布也被称为寿命分布,如电子元件的寿命, 通话的时间,随机服务系统的效劳时间等都可近似看作是服从指数分布的。Note :指数分布具有无记忆性。即P X s 11 X s = p X tExample 2.10P38 例 5如果随机变量X的概率密度为12(X-P2f(x) = e 2,(亠宀<丘);其中、7 > 0, ; 为常数,那么称X服从参数为G的正态分布,记为X NC12). 易证(略)(1) f (x) -0-bo(2) f(x)dx=1a特别的,当=0,二=1时,X N (0,1)称为标准正态分布,其概率密度为1丄2f (x) : e 2 ,(_: : x :)J 2兀2.
21、3 分布函数前面我们用随机变量的分布律和概率密度分别描述离散型和连续型随机变量 的分布,这一节我们再引入“分布函数的概念,它可以刻画任何一类随机变量, 为以后的研究带来方便。Definition 2.2 设X为一个随机变量,x为任意实数,称函数 F(x) =P(X _x)为 X 的分布函数。(Let X is a random variable, x is arbitrary real value, then define F(x) = P(X - x) is the distribution function of X.)显然,在上述定义中,当x固定为x°时,F(x0)为事件X -
22、 x。的概率,当x变化时,概率P(X < X)便是x的函数。分布函数的性质(The property of distribution function)(1) F(x)是自变量x的单调不减函数。事实上当X! : X2时,必有F (xj F(X2).因为当X2时有F(X2)- F(Xi) = Pxi :: X - X2 0,从而有 F(Xi) 一 F(X2).(2) 0 乞 F(x)乞 1,且 F(_:) =0,F( :) =1(3) F(x)对自变量x右连续,即对任意实数 x,|jm F(x "X)二F(x), 事实上女叫F(x:x) F(x) = lim P(x : X _
23、x :x) = P(x : X _ x) = P(V) = 0右连续性是随机变量的分布函数的普遍性质。对连续的随机变量,F (x)是连续函数。对离散的随机变量,在可能值xi,(i =1,2,.)处,F(x)是右连续的。Note :(1)设X为离散型随机变量,其分布律为PX =xk = pk, k = 1,2,.,按分布函数的定义,有F(x) = pk为右连续的阶梯形曲线。Xk $(2) 设X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),按分布函数的定义,有XF (x) = P(X乞x)二-f (x)dx为连续的,而且在f (x)的连续点x,有厂F(x)二 f(x)dxExample 2.11P40例
24、1Example 2.42P42例3Example 2.42P42例42.4 二维随机变量及其分布(Two-dimension Random Variable andDistribution)1.二维随机变量及分布函数(Two-dime nsion ran dom variable and distributi on fun cti on)在实际问题中,有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来 描述。例如,炮弹弹着点的位置要用其横坐标X与纵坐标Y来确定。又如,在制定我国的服装标准时,需同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、 臀围等多个变量。对于同一个实验结果的各个随机变量
25、之间,一般有某种联系, 因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介绍二维情况,有关的内容可以推 广到多于二维的情况。Definition 2.5设S =e为随机试验 E的样本空间, X =X(e),丫二Y(e) 是定义在S上的随机变量,那么称有序数组(X,Y)为二维随机变量或称为二维随机 向量,称(X,Y)的取值规律为二维分布.(Suppose S =e is a sample space for random experiment, X =X(e),Y 二丫(e) are random variables on S, then define ordered array (X , Y) is
26、two-dimension random variable or two-dimension random vector, the rule of value for (X , Y) is two-dimension distribution.)Definition 2.6设(X ,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y,称二元函数F(x,y)二P(X乞x,丫乞y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为 (X,Y) 的联合分布函数。 (Suppose (X ,Y) is two-dimension random variable, for arbitrary real value x,
27、y , call F(x, y)二 P(X - x,Y - y) distribution function for two-dimension random variable (X, Y) or unity distribution function .)如果把二维随机变量(X ,Y)看作平面上具有随机坐标 (X ,Y)的点,那末分布 函数F(x, y)在(x, y )处的函数值就是随机点 (X ,Y)落在以点(x, y )为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。二维随机变量的分布函数的性质(The properties of distributionfunctionfor two-d
28、ime nsi on ran dom variable):(1) 0 乞 F(x, y)乞 1 ;(2) F(x, y)是变量x, y的不减函数,即:对于任意固定的y,当 : x2时有 F(X" y) 一 F(X2, y);对于任意固定的x ,当* 牡时有 F(x,yJ 空 F(x, y2).(3) 对于任意固定的y , F(-:,y) lim F(x,y)=0 ;对于任意固定的x,xF(x,_:)巳im F(x,y) =0 ,并且 F(:,:)=(lim _F(x, y) = 0,yF(:, :) =im:F(x,y)y ):2. 二维离散型随机变量的概率分布(Probabilit
29、ydistributi on of two-dime nsion discrete ran dom variable)Definition 2.7如果二维随机变量(X,Y)可能取的值只有有限个或可列个,那么称(X ,Y)为二维离散型随机变量。 (If the value of two-dimension random variable (X , Y) is finite or countable, then (X, Y) is called two-dimension discrete random variable.)显然,如果(X,Y)是二维离散型随机变量,那么X,Y均为一维离散型随机变量
30、;反之亦成立。Definition2.8 设二维随机变量(X,Y)所有可能取的值为(人),(=1,2, . .j.= ;1,2,.,那么称P(X 二心丫 =yj)二 pj,(i,j =1,2,.)为(X , Y)的概率分布,或称为 (X,Y)的联合分布。(If all value of two-dime nsion random variable (X ,Y) is (xi, yj), (i = 1,2,.; j =1,2,.) ,thencall P(X = Xi ,Y = yj) = Pj,(i,j =1,2,.) probability distributi on or unity di
31、stribution .)二维离散型随机变量(X ,Y)的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示:Y1Y2Yj .xP11p12口 jX2p21p22 p2 jXiPi1Pi 2Pij显然,Pij具有以下性质:(1) pij - 0, (i , j = 1,2,);、Pij -1 ;i j(3) 如果(X,Y)是二维离散型随机变量,那末它的分布函数可按下式求得:F(x,y) - a 7 pij ,这里和式是对一切满足不等式Xi 一 x, yj - y的i, j来Xi空yj勺求和的。Example 2.13 1个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球,从袋中不放回地取两次球。设随机变量0,表示第
32、一次取红球 表示第一次取白球0,1,表示第二次取红球表示第二次取白球PX =0,Y =1 =PX= 0PY =1 X=0 2 4s 6415求(X,Y)的分布律及F (0.5,1).Solution利用概率的乘法公式及条件概率定义,可得二维随机变量(X,Y)的联合分布律15PX =0,Y=0 = PX =0PY=0X15PX =1,Y =0 = PX =1PY =0 X =1 = 4 265432PX =1,Y =1 = PX =1PY =1X =1655把(X,Y)的联合分布律写成表格的形式:010%5%51%5%141F(0.5,1) = PX =0,Y =0 PX =0,Y =1=。15
33、15 33. 二维连续型随机变量的概率分布 (Probability distributi on of two-dime nsi on con ti nu ous ran dom variable)Definition2.9 设(X,Y)是二维随机变量,如果存在一个非负函数f (x,y),使得对于任意实数 x, y,都有x yF (x, y) = P(X 乞 x,Y 空 y)二 f (u, v)dudv-aO-csO那么称(X,Y)是二维连续型随机变量,函数f (x, y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的分布密度,或称为(X,Y)的联合密度。(Suppose (X,Y) is two-dim
34、ension random variable, if there is nonnegative f (x, y) , for arbitrary real value x, y such thatx yF (x, y) =P(X _ x,Y _ y) i i f (u, v)dudv-aO-csOthen call (X ,Y) two-dimension continuous random variable. f (x, y) is called the distribution density of two-dimension continuous random variable(X ,Y
35、).)二维分布密度具有以下性质:(1) f (x, y) 一0;(2) f (x, y)dxdy =1;(3) P(X,Y) D二f (x,y)dxdy,其中D为XOY平面上的任意一个区域; 如果二维连续型随机变量(X ,Y)的密度f (x, y)连续,(X ,Y)的分布函数为F(x, y),那么c2F(x,y)f (x, y).x .y二元函数z = f (x, y)在几何上表示一个曲面,通常称这个曲面为分布曲面(distribution curved surface)。由性质 知,介于分布曲面和 XOY平面之间的空间 区域的全部体积等于1;由性质(3)知,(X,Y)落在区域D内的概率等于以
36、 D为底、曲面z = f (x, y)为顶的柱体体积。这里的性质(1),(2)是概率密度的根本性质。我们不加证明地指出:任何一个二元实函数f (x,y),假设它满足性质(1),那么它可以成为某二维随机变量的概 率密度。二维均匀分布 (two-dimensionuniform distribution) 设(X,Y)为二维随机变量,G是平面上的一个有界区域,其面积为A(A 0),又设1I f(x, y)= A10,当(x,y) G当(x, yb" G假设(X,Y)的密度为上式定义的函数 f(x, y),那么称二维随机变量(X,Y)在G 上服从二维均匀分布。可验证f(x, y)满足概率密
37、度的根本性质。distributio n) 假设二维随机变量二维正态分布(two-dime nsi onnormal(X ,Y)的概率密度为f(x,yw_2rlx -' Ay -'!) (y - “2) _干2'-1(x片)2?(1門&(C X £ 七左,< y £)其中2,6,二2,都是常数,且 0,二2 0,1讣:1,那么称(X,Y)服从二 维正态分布NC、,;.2;丄2,二;:?).可以证明f (x,y)满足概率密度的两条根本性质。2.6边缘分布作为X,Y的整体的二维随机变量(X,Y)的取值情况,可由它的联合分布函数为F (x,
38、y)或它的联合密度函数 f(x, y)全面地描述。由于X ,Y都是随机变量, 因此也可以单独考虑某一个随机变量的概率分布问题。Definition设(X,Y)是二维随机变量,称分量X的概率分布为(X,Y)关于X的边缘分布;分量 Y的概率分布为(X,Y)关于Y的边缘分布。(Suppose(X , Y) is two-dimension random variable, call the probability distribution of measure X marginal distribution on X for (X ,Y) ; the probability distribution
39、 of measure Y marginal distribution on Y for (X ,Y).由于(X,Y)的联合分布全面的描述了(X,Y)的取值情况,因此,当(X,Y)的联合分布时,是容易求得关于X或关于Y的边缘分布。先看离散情况:1.离散随机变量边缘分布律设二维随机变量的分布律为PX二心丫 = yj二pjj,(i, j =1,2,.),贝V随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律如下:QOoOCOPX =x =PX ,丫 =yj八 PX = x ,丫 = yj = ' PjjWi#jmi =1,2,.同样得到(X ,Y)关于Y的边缘分布律:PY = yj八 pij , j =
40、 1,2,.iT常记oooaR. = PX = Xi二 Pj ,i = 1,2,. Pj = PY = yj二 Pj , j = 1,2,j#i#Example 1 P49 例 1F面看连续型的情形:2.连续随机变量边缘概率密度设f (x, y)是(X ,Y)的联合密度函数,贝ybPa EX < b = Pa Eb,: ::Y : :=f(x, y)dydx与一维随机变量概率密度的定义比拟,易知X的概率密度为fx(x) f (x, y)dy同样可得Y的概率密度为fY(x)二'f (x, y)dx-=afX(x)和fY(y)分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度。Example
41、 2 (P49 例 2)2.8相互独立的随机变量Defi niti on设X,Y是两个随机变量,如果对于任意实数a,b(a : b),c, d (c : d),事件 Pa : X 辽 b和 P(c : Y < d相互独立,即 有 Pa ::: X < b,c : Y md二Pa : X mbP(c : Y < d,那么称随机变量 X 与 Y是相互独立的。等价定义:设X,Y是两个随机变量,如果对于任意实数x, y ,事件 PX < x和P(Y 乞 y相互独立,即 P X _ x,Y _ y = P X _ xP(Y _ y,那么 称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。(S
42、uppose (X ,Y) is two-dimension random variable, if for all real value x, y such that PX _ x, Y _ y = P X _ x P(Y _ y , then random variable X and Y is called independence mutually.)Note :(1) 如果记 A 二X < x, B 二Y 乞 y,那么上式为 P(AB)二 P(A)P(B);可见,X ,Y的相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。由(X,Y)的联合分布函数、边缘分布函数的定义, 可得F
43、(x, y)二FX (x) FY(y),该式可用来 判断X,Y的相互独立性。(2) 假设X,Y是二维离散型随机变量,那么X ,Y相互独立的充要条件是:对于(X,Y)所有可能的取值(Xj,yj)(i,j =1,2,),都有P(X =x,Y = yj) =P(X =xP(Y = yj)(3) 假设X,Y是二维连续型随机变量,f(x, y), fx(x), fY(y)分别是联合概率密度与边缘概率密度,那么X ,Y相互独立的充要条件是:f (x, y)二fX (x) fY (y)在平面上几乎处处成立。Example 1设(X,Y)的联合分布律为0%7%119%02%003%7000Solution 由
44、表中可按行加得 口.,按列加得p.j即得关于X的边缘分布0123Pi.%7%7%71%049219%00293%7000P.j%7%為7试求X,丫关于X和关于Y的边缘分布,并判断 X,丫是否相互独立?X0123Pi.%7429及关于Y的边缘分布P.j82749127188641由于sFxmo亏,而5" 27 2T莎芳,所以X ,Y互不独立。Example 2 设二维随机变量具有密度函数Cef (x, y) =J-2(x y)0 : x ;: ,0 : y :其他试求:(1) 常数C ;(2) (X,Y)落在如图2 4所示的三角区域 D内的概率;(3) 关于X和关于Y的边缘分布,并判断
45、X,Y是否相互独立。1I /图2-42efx (x)=0,同理可求得关于Y的边缘分布密度函数为注:可以只讲(3)Solution(1) 1 =厂口 (x, y)dxdy = °: J' Ce(x y) dxdyC=Ce'xdxe®dy=Coo4所以C = 4 ;(2) P(X,Y) D二 f (x, y)dxdy 二:dx ;"4e2x y)dy =1-3e°D(3) 关于X的边缘分布密度函数为fx (x) = J-f (x, y)dy当x乞0时,fx(x) =0.当x 0时,故有fx(x) = Uf (x, y)dy = :0 4e
46、176;x y)dy =2e'x2xfY(X)=因为对任意的实数x, y,都有f (x, y)二fx (x) fY (y),所以X,Y相互独立。Example 3 P59 例 3机动练习设(X,Y)服从域D (如图2 5)上的均匀分布,求关于 X和关于Y的边缘 分布,并判断X ,Y是否相互独立。Solution由均匀分布的定义,(X,Y)的联合分布密度函数为fx(x)二 J-f (x,y)dy 二'2(1-x)L dy = 2(1-x),0cxv1其他0,关于丫的边缘分布密度函数为40二 f(x, y)dx 二1y0 2dy=1-$ 1 :y :2其他0,在 f (x, y)
47、, fx (x), fY(x)的连13续点(2刁处,1 31311fZyq"1厂1,所以r 1 32 2概念推广X,Y不相互独立。(1) n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数及边缘分布分布函数F(X1,X2,.,Xn) =P(X1 岂 X1,X2 乞 X2,.,Xn 乞 Xn),( :花,X?,., X.:)Fxi(Xi) =F(:,:,.,xi,二,.二),称为(X1,X2,.,Xn)关于 Xi 的边缘分布函数.(2) n维连续型随机变量(X1,X2,.,Xn)的边缘概率密度设f (X1,X2,.,Xn)为n维连续型随机变量(X1,X2,.,Xn)的概率密度,那么fxi(
48、Xi)=匚匚_f (Xi,XXi 1,,Xn,)dXidXidX 1dXn 称为(Xi,X2,Xn)关于Xi的边缘概率密度。类似地可定义fXj ,Xj(Xi, Xj)等边缘概率密度(3) (Xi,X2,,Xn)相互独立的充要条件F(Xi,X2,,Xn)二 Fxi(Xi)Fx2(X2),Fxn(Xn)或f (Xi,X2,,Xn)二 fx,Xi)fx2(X2),fxn(Xn)(4) X =(X11X21.,Xn)和丫 = (Yi,Y2,.,Ym)相互独立的充要条件是F(Xi,X2,Xn,yi, y2,.,yn)二 Fi(Xi,X2,.,Xn)F2(yi,y2,.,yn).其中 F,Fi 和 F2.
49、分别为(Xi,X2,.,Xn,Yi,Y2,.,Ym),(Xi,X2,.,Xn)和 (Yi,Y2,.,Ym)的分布函数。或 PX Gi,Y G2 = PX GiPY G2, (G1G2 为任意 n 维和 m 维的区 域)。(5) 假设(X11X21.,Xn)与(Y1,Y2,.,Ym )相互独立,且g,h为连续函数,那么 h(X“X2,.,Xn)和 g(Y1,丫2,.,Ym)也相互独立2.9随机变量函数的分布(Distribution for Function of Random Variable)在许多实际问题中,所考虑的随机变量往往依赖于另一个随机变量 .例如设X 是圆柱体的直径,它是随机变量
50、而圆柱体的横断面面积 丫也是随机变量在试验中, 当X取的可能值X时,Y就取得可能值y。不过y不是试验的直接结果,而是通兀 2过普通的函数关系“J而得。这时随机变量丫是随机变量X的函数,记为兀 2丫 X 一般地,设X是随机变量,那么函数 丫二f (X)也是随机变量。本节将 4讨论如何从一些随机变量的概率分布导出这些随机变量的函数的概率分布。1.函数g(X)的分布当X是离散型随机变量时, Y =g(X)也是随机变量,这时设随机变量 X的 概率分布为XiX2X3Xk当X取某值P1P2P3Xk时,随机变量丫取值yk =g(Xk),如果所有g(Xk)的值全不相等,那么随机变量Y的概率分布是:yiy2y3
51、ykP1P2P3Pk如果某些yk-g(Xk)有相同的值,那么这些相同的值仅取一次。根据概率加法定理应把相应的概率值 pj加起来,就得到 丫的分布。Example 1 设X的分布律为-1 0 1Pk0.20.30.10.42求:Y = (X -1)的分布律。Pk0.20.30.10.4X-1012Y4101Solution (1)因为X和Y取值的对应关系及概率如下Y所有可能的值为0,1,2,且PY =0 =PX =1 =0.1PY =1 =PX =0 PX =2 =0.30.4 =0.7PY =4 =PX =1 =0.2因而,丫的分布律为Y014Pk0.10.70.2Example 2设随机变量
52、X的分布律为(2)2(2)n求随机变量丫二cos( X)的分布律。2Solution 因为-1n 二cos() = < 0,2n =2(2k -1)n = 2k -1, (k 二 0,1,2,)n 二 2(2k)所以丫二cos( X)的所有可能的取值为-1,0,1。2由于X取值2,6,10,时,对应的Y都取-1,根据上述方法得1 2 1 6 1 10 PY = T =(2)(2)6 (2)114(1)41 21- 321- 34P“W1r161 - 161 11 31 5PY 7 =2232故Ysqx)的分布律为Y-101P42115315在应用中最常见的情形是连续型随机变量的函数。设x是连续型随机变量,fx(x)为其概率密度,那么应当如何确定随机变量Y =g(X)的概率密度fY (x)呢?Example 3 (P61 例 2)Example 4 P62 例 3Example 5 P62例 4Y =kX b (其中k,b为常数且kO)的概率密度fY(x).Solution 设Y的分布函数为 Fy(v),当k 0时.:fx(X)dxy-bFY(
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 拓扑材料缺陷调控与性能-洞察分析
- 原油储运安全探讨-洞察分析
- 新型地震监测技术-洞察分析
- 信立泰材料在电化学储能领域的研究进展-洞察分析
- 水产养殖循环经济研究-洞察分析
- 脱硫脱硝一体化技术-洞察分析
- 污染物输运模拟-洞察分析
- 油气资源绿色开发-洞察分析
- 勤俭节约活动感悟总结范文(10篇)
- 数字银行理财策略-洞察分析
- 单肺通气中的麻醉管理
- 建筑施工安全检查标准jgj59-2023
- 2023-2024学年江苏省高邮市小学数学六年级上册期末通关考试题
- 中国人民大学组织行为管理学
- DB32T 4353-2022 房屋建筑和市政基础设施工程档案资料管理规程
- 拆除工程原始记录
- 重视围透析期慢性肾脏病患者的管理课件
- 企业内部审计情况报表
- 露天台阶爆破设计
- 中式婚礼PPT幻灯片课件
- 初中生作文批改评语
评论
0/150
提交评论