余弦定理第一课时PPT课件-人教A版数学高二必修5第一章112

1、第一章解三角形第一章解三角形 1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理余弦定理1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.BCA运用正弦定理能解怎样的三角形？运用正弦定理能解怎样的三角形？ 探究新知探究新知运用正弦定理能解怎样的三角形？运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两角及其一边； 已知三角形的任意两边和其中一边的对角已知三角形的任意两边和其中一边的对角. 那么，已知两边及其夹角，怎

2、么求出此角那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的三的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的三个角？个角？ 如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角呢？们的夹角求三角形的另一边和两个角呢？如图，在如图，在ABC中，设中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知已知a, b和和C，求边，求边c？ 已知三角形两边和

3、它们的夹角，求三角形的另一边？已知三角形两边和它们的夹角，求三角形的另一边？BCAbac联系已经学过的知识和方法，联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？可用什么途径来解决这个问题？用向量来研究这一问题用向量来研究这一问题. BCAbac如图，在如图，在ABC中，设中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知已知a, b和和C，求边，求边c？ 余弦定理：余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cosabcbcA2222cosbacacB222

4、2coscababC推论：推论：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab余弦定理及其推论的基本作用是什么？余弦定理及其推论的基本作用是什么？作用作用: :已知三角形的任意两边及它们的夹角就可已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其他角已知三角形的三条边就可以求出其他角. . 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？之间的关系，如何看这两个定理

5、之间的关系？余弦定理是勾股定理的推广，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例勾股定理是余弦定理的特例. .中，在ABC推推 论论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222例例1：如图所示，有两条直线：如图所示，有两条直线AB和和CD相交成相交成80角，交点是角，交点是.甲、乙两人同时从点分别甲、乙两人同时从点分别沿沿OA,OC方向出发，速度分别是方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精小时后两人相距多远（结果精确到确到0.1km）?分析：分析：经过经过3 3小时，甲到达点小时，甲到达点P P，OP=4O

6、P=43=12(km),3=12(km),乙到乙到达点达点Q Q，OQ=4.5OQ=4.53=13.5(km).3=13.5(km).问题转化为在问题转化为在OPQOPQ中，中，已知已知OP=12kmOP=12km，OQ=13.5km,POQ=80OQ=13.5km,POQ=80，求，求PQPQ的长的长. . 典例剖析典例剖析解：解： 经过经过3 3小时后，甲到达点小时后，甲到达点P P，OP=4OP=43=123=12（kmkm）, ,乙到达点乙到达点Q Q，OQ=4.5OQ=4.53=13.5(km3=13.5(km).).答：答：3 3小时后两人相距约小时后两人相距约16.4km.16.

7、4km.课堂练习：课堂练习：1. b=8, c=3, A=60,a=_2. a= , c=2, B=150,b=_3377 变式变式 已知已知ABC中，中，a = 8, b = , B=30 , 求边长求边长c. 24由正弦定理，得：由正弦定理，得： 222430sin8sinsinbBaA.351,4521AA当当 时时, 451A.105)3045(180)(18011BAC. 43430sin105sin24sinsin11BCbc当当 时时, 5132A.15)30135(180)(18022BAC. 43430sin15sin24sinsin22BCbc解法一：解法一：解法二：解法二

8、：由余弦定理，得：由余弦定理，得： Bcaacbcos2222.30cos828)24(222cc整理，得：整理，得： . 032382cc解之，得：解之，得： , 4341c. 4342c注注 1 解法一中，要注意解法一中，要注意C有两个结果，避免遗漏有两个结果，避免遗漏. 2 解法二是利用余弦定理，直接求出解法二是利用余弦定理，直接求出c,更加简捷，更加简捷，值得提倡值得提倡.课堂练习：课堂练习：3. a=20, b=29, c=21,B=_4. a=2, b= , c= ，A=_5. a=9, b=10, c=15.A=_,B=_,C=_213 90453640104例例3 3 在在AB

9、CABC中，已知中，已知 求求A A. .解：解： 由由 得得,3)(bcacbcba,3)(22bcacb.222bcacb即即,cos2122222bcbcbcacbA.60Aaccba2222练习练习 在在ABCABC中中, ,已知已知, ,求角求角C.C.,3)(bcacbcba例4在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形 证1：由正弦定理得a 2bcosC ，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC sinBcosCcosBsinC0，即sin（BC）0，BC（） B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形BAbsinsinBAb

10、sinsin证2：根据射影定理，有abcosC ccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即 又 即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC为等腰三角形 证3：cosC 化 简后得b2c2 bc ABC是等腰三角形 CBcbcoscosCBcbcoscosCBCBcoscossinsinbaabcbaC22cos,222baabcba222221. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：余弦定理的应用范围： 已知三边求三角；已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边.解三角形解三角形两角一边两边一角三条边两边及其中一边的对角两边及其夹角正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理余弦定理提示：提示：由余弦定理得由余弦定理得提示：提示：3当堂检测当堂检测解：解：三角形的三边之比为三角形的三边之比为3:5:73:5:7，所以可以设三边分，所以可以设三边分别为别为3a,5a,7a.3a,5a,7a.由正弦定理可得，由正弦定理可得，7a7a所对的角最大所对的角最大, ,设所对的角为设所对的角为A