分类讨论思想

1、第三讲分类讨论思想思想方法解读分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其根本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成假设干个根底性问题，通过对根底性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、根

2、本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原那么是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏.3.解答分类讨论问题时的根本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获

3、取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.常考题型精析题型一由概念、公式、法那么、计算性质引起的分类讨论例1设集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，假设BA，求实数a的取值范围.点评对概念、公式、法那么的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在此题中，BA，包括B和B两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1假设函数f(x)ax (a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，那么a_.题型二分类讨论在含参函数中的应用例2函数f(x)x22ax1a

4、在x0,1上有最大值2，求a的值.点评此题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.变式训练2(2021江苏)函数f(x)x3ax2b(a，bR).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)假设bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值.题型三根据图形位置或形状分类讨论例3在约束条件下，当3s5时，z3x2y的最大值的变化范围是()A.6,15 B.7,15C.6

5、,8 D.7,8点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点，P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值.高考题型精练1.对于R上可导的任意函数f(x)，假设满足(x1)f(x)0，那么必有()A.f(0)f(2)2f(1)2.数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，那么数列an是()A.等差数列B.等比数列C

6、.等差数列或等比数列D.以上都不对3.变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，那么实数k等于()A. B.C.0 D.或04.(2021四川)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，那么|PA|PB|的取值范围是()A.，2 B.，2C.，4 D.2，45.(2021大连模拟)抛物线y24px (p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，假设OPF为等腰三角形，那么这样的点P的个数为()A.2 B.3C.4 D.66.在等比数列an中，a3，S3，那么a1_.7.函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，那么a

7、_.8.(2021浙江)假设某程序框图如下图，当输入50时，那么该程序运行后输出的结果是_.9.(2021南昌模拟)抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.10.a是实数，函数f(x)(xa).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间0,2上的最小值.写出g(a)的表达式；求a的取值范围，使得6g(a)2.答案精析第46练分类讨论思想常考

8、题型精析例1解A0，4，BA，于是可分为以下几种情况.(1)当AB时，B0，4，由根与系数的关系，得解得a1.(2)当BA时，又可分为两种情况.当B时，即B0或B4，当x0时，有a1；当x4时，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足条件；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)在0，)上为减函数，不合题意.假设0a1，有a14，a2m，此时a，m，检验知符合题意.例2解函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.变式训练2解(

9、1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，那么函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0，从而或又bca，所以当a0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，那么

10、在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立.从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，那么x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.例3D 由取点A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4).(1)当3s4时，可行域是四边形OABC，如图(1)所示，此时，7z|PF2|，4，2，2.综上知，或2.高考题型精练1.C 依题意，假设任意函数f(x)为常函数时，那么(x1)f(x)0在R上恒成立；假设任意函数f(x

11、)不是常函数时，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，)上是增函数；当x1时，f(x)f(1)，f(2)f(1)，综上，那么有f(0)f(2)2f(1).2.D Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当p1且p0时，an是等比数列；当p1时，an是等差数列；当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列.3.D 不等式组表示的可行域如图(阴影局部)所示，由图可知假设不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线x0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k的值为0或.4.B 由动直

12、线xmy0知定点A的坐标为(0,0)，由动直线mxym30知定点B的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动.故当点P与点A或点B重合时，|PA|PB|取得最小值，(|PA|PB|)min|AB|.当点P与点A或点B不重合时，在RtPAB中，有|PA|2|PB|2|AB|210.因为|PA|2|PB|22|PA|PB|，所以2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2，当且仅当|PA|PB|时取等号，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的取值范围是，2.5.C 当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|

13、OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p,0)，假设设P(x，y)，那么|FO|p，|FP|，假设p，那么有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形.当x2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾.符合要求的点P一共有4个.6.或6解析当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立；当q1时，由题意，得所以由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去).当q时，a16.综上可知，a1或a16.7.4解析假设x0，那么不管a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，那

14、么g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；当x0，g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上得a4.8.6解析输入n50，由于i1，S0，所以S2011，i2，此时不满足S50；当i2时，S2124，i3，此时不满足S50；当i3时，S24311，i4，此时不满足S50；当i4时，S211426，i5，此时不满足S50；当i5时，S226557，i6，此时满足S50，因此输出i6.9.解(1)抛物线y22px的准线为x，由题意得45，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2.当m4时，直线AK的方程为x4，此时，直线AK与圆M相离；当m4时，由(1)知A(4,4)，那么直线AK的方程为：y(xm)，即4x(4m)y4m0，圆心M(0,2)到直线AK的距离d，令d2，解得m1.所以，当m1时，直线AK与圆M相离；当m1时，直线AK与圆M相切；当m0).假设a0，那么f(x)0，f(x)有单调递增区间0，).假