线性代数教案(正式打印版)

1、1第（1 1）次课 授课时间（）教学章节第一章第一、二、三节学时2 2 学时教材和 参考书1.1.线性代数（第 4 4 版）同济大学编1.1.教学目的：熟练掌握 2 2 阶,3,3 阶行列式的计算；掌握逆序数的疋义，并会计算； 掌握n阶行列式的定义；2.2.教学重点：逆序数的计算；3.3. 教学难点：逆序数的计算. .1 1教学内谷：一、二阶行列式的疋义；全排列及其逆序数；n阶行列式的疋义2 2时间安排：2 2 学时；3 3教学方法：讲授与讨论相结合；4 4教学手段：黑板讲解与多媒体演示. .2基本内容第一节二、三阶行列式的定义、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。如

2、果将 D D 中第一列的元素aii, ,a2i换成常数项bi, ,b2，则可得到另一个行列式，用字母Di表示, ,于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：bia22b2a2i, ,这就是公式（2 2）中xi的表达式的分子。同理将D中第二列的元素 a ai2,a,a22换成常数项 b bi,b,b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示, ,于是有备注设二元线性方程组aiiXia2X2a2iX2a?2X2b?用消元法，当aiia22ai2a2i0时，解得a22biai2b2Xi,X2aia22ai2a2iaiib2a2i biaia22ai2a2iaiia2iai2a22ai2a2i，称为二

3、阶行列式，则A如an妬21如口11口口11知如Dibiai2b2a22D2aibia? ib?&桐223按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：aiib2a2ibi, ,这就是公式4(2(2)中 X X2的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为XiX2D1DD2D其中3x12X212例 1.1.解线性方程组2x1x21同样, ,在解三元一次方程组91Xa2X2913X3bi921X1922X2923X3b2时, ,要用到931X1932X2933X3b3“三阶行列式”，这里可采用如下的定义. .二、三阶行列式的定义设三元线性方程组9n X1912X2913X3b1921X192

4、2X2923X3b2931X1932X2933X3b3用消元法解得_4码0至+1工;3 +曲商也耐也角2还I診卫空口垃2妇亟-，旳说皿餌+糾卫鮎亀1十如眄L世-E 卫禺？-叭屁角厂如牝电1烷1禹碣孑十如旳g碼1+讣卫也泯他低属如也冋 H 帀1盘2两101皿丁1口羽 + 匚2口 吃jp说g H-?超：|1召二| 说i口口0苹3Li p-i_r-c?： j角2跳+也1曲叫14 直砌1空刃左1爲血左吩砌血1矗左曲逢31的曲刃篦+曲0茁也L +曲工巾设丈-阳函?色空-內凶爼殆=一册猝 4 曲1定义 设有 9 9 个数排成 3 3 行 3 3 列的数表91192193191292293291392393

5、3911912913921922923911922933931932933a!2a23a31ai3a2ia323139229313119239323l2321933 55称为二阶行列式，则11 Bl口爼a23口朝站乜口11如站 口21吐玄爲ki %毎门】1 %11厲22知叫1旳如F 5一a 1 &1221衣22盘釣也1吒旳工网一li如 % 勺1 22我如如刚三阶行列式所表示的 6 6 项的代数和，也用对角线法则来记忆： 从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元 素取负号，即1 24例 2.2.计算三阶行列式D2 21.(-14.(-14) )3 421 11例 3.3

6、. 求解方程2 3x0(x2或x 3)4 92x2xy z2例 4.4. 解线性方程组xy 4z 03x7y 5z56解先计算系数行列式21 1D 114375再计算D1,D2,D321122121 2D101451, ,D210431，D3110557 5355375D117D231D35得x 323，y09，z6&第二节全排列及其逆序数引例：用 1 1、2 2、 3 3 三个数字， 可以组成多少个没有重复的三位 数？一、全排列把 n n 个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称 排列）. .可将n个不同元素按1 n进行编号则n个不同元素的全排列 可看成这n个自然数的全排列

7、. .n个不同元素的全排列共有n!种. .二、逆序及逆序数逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素 的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称有一个逆序. .通常取从小到大的排列为标准排列，即1 n的全排列中取10 12 7 3 56 569 07123 (n 1)n为标准排列. .逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数. .逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列，标准排列规定为偶排列. .例 1 1：讨论1,2,3的全排列. .全排列123123231231312312132132213213321321逆序数0 02 22 21

8、11 13 3奇偶性偶奇逆序数的计算：设P1P2Pn为123 (n 1)n的一个全排列贝卩其n逆序数为t t1t2tnti. .i 1其中ti为排在Pi前且比Pi大的数的个数. .例 2 2 :求排列54321的逆序数. .n解：t 0,t21,t32,t43,ts4,t ti10.i 1( (对于逆序数的计算介绍另一种算法) )第三节n阶行列式的定义F F 面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式. .8二阶行列式a11a12a21a22aa2212821a11a12a11a22a12a21a21a22(1)云码2其中:P1P2是1,2的全排列，t是P1P2的逆序数，是对9所有1,2的全排列求

9、和. .三阶行列式ai1ai2ai3a21a22a23a31a32a33813822831811823832812821833其中: :P1P2P3是1,2,3的全排列， t是P1P2P3的逆序数， 是对 所有1,2,3的全排列求和. .其中: :PiP2Pn是1,2, ,n的全排列，t是PiP2Pn的逆序数, , 是对所有1,2, ,n的全排列求和. .000 1例 1 1计算对角行列式：002(24)030 040 0 0例 2.2.证明对角行列式(其对角线上的元素是i, ,未写出的元素都为 0 0)证明：按定义式aiia22a33a12a23a31a13a21a3281182183181

10、2822832813823833(1) 81 Pi82P283Pn10例 3 3证明下三角行列式ana21a22an1an2证明: :按定义式得以上, ,n阶行列式的定义式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的, ,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式. .1211n13211 n,1 n 111 23nnnnnanna11a22annD ana22a32a330a11a22a33a430an2an3annan 3an4anna11a22ann10回顾和小结小结：1.1. 二三阶行列式的定义；2.2. 全排列及其逆序数；3.3.n阶行列式的定义。复习思考题或作业题思考题：1231.1.

11、计算三阶行列式D7894562.2.求排列54321的逆序数. .作业题：习题一：第 1 1 （ 1,31,3 ）、2 2 （2,4,62,4,6）实施情况及分析1.1.通过学习学员理解了二、 三阶行列式和全排列及的定义概念，会计算二、三阶行列式；2.2.对其逆序数等方面的应用有待加强. .1112第（2 2 ）次课授课时间（）教学章节第一章第四、五节学时2 2 学时教材和 参考书线性代数（第 4 4 版）同济大学编1.1. 教学目的：掌握对换的概念；掌握n阶行列式的性质，会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值；2.2. 教学重点：行列式的性质；3.3. 教学难点：行列式的性质. .1.1.

12、 教学内容：对换；行列式的性质；2.2. 时间安排：2 2 学时；3.3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4.4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示. .13基本内容第四节对换对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.例：aiaabb b-Qa b ab b. .定理 1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. .推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .证明： 由定理 1 1 知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, ,而标准排列是偶排列（逆序数为 0 0）, ,因此知推论

13、成立(1) ap!lap22apnn.备注定理 2 2n阶行列式为:a11ai2ai314an1an2an1其中t为PlP2P的逆序数. .15（以 4 4 阶行列式为例，对证明过程作以说明）（补充）定理 3 3n阶行列式也可定义为数与列标排列逆序数的和练习：试判断814823831842856865和83284334851825866是否都是六阶行列式中的项第五节行列式的性质转置行列式的定义81182181n8118218n1记D82182282nDT=8128228n2( (D) )8n18n28nn81n82n8nn行列式DT称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质

14、性质 1 1 :行列式与它的转置行列式相等. .由此知，行与列具有同等地位关于行的性质，对列也同样成立,反之亦然. .如：D8 bDT8 Cc db daiia21ai2a22an1an 2ai3a23ani（1）冷矗P20l2aPnqin.其中pip2pn和qq2qn是两个n级排列, ,t为行标排列逆序16以ri表示第i行，Cj表示第j列交换i, j两行记为rirj, ,交换i,j两列记作CiCj. .性质 2 2 : 行列式互换两行（列），行列式变号. . 推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为零. .性质 3 3 : 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k, ,等于 用数k乘以该行列

15、式. .推论：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外. .性质 4 4 :行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零. .性质 5 5 :若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和. .ai1ai2(aiiaii)ain即若Da21a22a2ia2ia2nanian2anianiannaiiai2aiiainaiiai2aiiai n则Da21a22a2ia2n+ +a2ia22a2ia2nanian2aniannanian2aniann性质 6 6 :把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变. .二、n阶行

16、列式的计算：17例 1 1计算D（推广至n阶，总结一般方法）PqqrrPPqr例 3.3.证明：P1q1q1r1r1P12P1q1r1P2q2q2r2P2P2q2r2证明：第一列PqrrPqqrrp左端性质5P1q1r1r1P1q1q1r1r1P1P2q2r2r2P2q2q2r2r2P2PqrrqrrPPqrqrPP1q1r1r1q1r1r1P1P1q1r1q1r1P1P2q2r2r2q2r2r2P2P2q2r2q2r2P2pqr2 P1q1r1P2q22解:2512152215223714C1C317342102165927295732r14r101134612164201204612D5

17、2 2r21r405 2 21 2 0030r22r49. .例 2.2.abbba 3b a 3ba 3ba 3bbabbr1r2r3r4babbDbbabbbabbbbabbba11 111|1111r1a 3bbab br br10a b00a3ba 3bb ba bi 2,3,400a b0b bb a000a b10000360331 2 00000 3(a 3b)(a b). .1819例 4.4.计算2n阶行列式. .ababa bnD(ad bc)nc dcdcd( (利用递推法计算) )anaik0例 5.5.D：kiakkbb,c11Gk5Oncn1cnkbn1bnna11

18、a1k5blnDidet(aij),D2det(b0).ak1akkbmbnn证明：DD1D2. .20回顾和小结小结：对换和n阶行列式的性质与计算1.1. 对换的定义及两个定理；2.2.n阶行列式的性质与计算；复习思考题或作业题思考题：1 1把排列 5413254132 作一次对换变为 2413524135，问相当 于作几次相邻对换？把排列 1234512345 作偶数次对 换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？0 a b a2 2计算：a 0 a b.Db a 0 aa b a 0作业题：习题一：第 3 3，4 4( 2 2，4 4),5(2,4,5),5(2,4,5)实施情况及分析1.1.

19、通过学习学员掌握了n阶行列式的定义和对换的概念；2.2.对利用n阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强. .1922第（3 3 ）次课 授课时间（）教学章节第一章第六节学时 2 2 学时教材和 参考书1.1.线性代数（第 4 4 版）同济大学编；1.1. 教学目的：了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；2.2. 教学重点：行列式按行（列）展开；3.3. 教学难点：行列式按行（列）展开. .1.1. 教学内容：行列式按行（列）展开；2.2. 时间安排：2 2 学时；3.3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4.4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示. .2i基本内容第六节 行列式按

20、行(列)展开定义 在n阶行列式中，把元素aj所处的第i行、第j列划去, 剩下的元素按原排列构成的n i阶行列式，称为aj的余子式，记为Mj;而Aj( 1)i jMj称为aj的代数余子式. .再证一般情形:数余子式乘积之和，即按行:aiiAjiai2Aj2ainAjn按列:aiiAi ja2iA2janiAnj备注引理如果n阶行列式中的第i行除aj外其余元素均为零，即:aiiaijain3ni则:D aijAjj. .先证简单情形:Qia21a22a2nanian2ann定理行列式等于它的任意一行的各元素与对应的代24证：(此疋理称为行列式按行(列)展开疋理)Qiai2QnDai o o o 2

21、oo o an4l%anna1lai2ainai1ai2ainQ11比Qlnsi1ooo a2oooanQiQI24nQn1QT2Qn乱1耳24nQAQ2A2ainAn(i 1,2, n).3112例1:D5 134.2o111533解：31-12一E 4-6巾一互-3 0 *4 -6压邯二畀展阡 JQD = lx -1)217几+2 0 1-1)衍十丿16 -2716 0 -27-16 4 -215-迅曲*鲜卜16-2- 010= -lx(lj=40 G+6、205勺勺20-2|2 11 2例2：Dn2 11 225解：Dn例 3 3 .证明范德蒙行列式111X1X2XnDn2X2X22Xn

22、XXj. .n i j 1n 1n 1n 1X1X2Xn其中，记号“”表示全体同类因子的乘积证 用归纳法2 -1-12-1-1 2-1二, t. 1. 2-1-1 2-1 2-1槪黑一4f斥手K-ln 1. .Dn1r2rn从而解得Dn因为D21X2X2X1X Xj2 i j 126所以，当n 2n=2n=2 时，（4 4）式成立. .现设（4 4）式对n 1时成立，要证对n时也成立为此，设法把Dn降阶；从第n行开始，后行减去前行的X1倍，有1 11L10X2X1X3XLXnX1Dn0 X2X2为X3X3X1LXnXnX10LLLLc n 20 X2X2X1nX32X3X1Ln 2XnXnX1

23、（按第一列展开，并提出因子XiX1)27iiiX2XiX3XiXnXiX2X3Xnn i阶范德蒙行列式n 2n2n 2X2X3Xn由假设X2X1X3XiLXnXiXiXj= =X Xjn ij 2ni j i定理的推论行列式一行（列） 的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式 乘积之和为零，即aiiAjiai2Aj2ainAjn0ij按列：aiiAija2iA2 janiA、nj0i j结合定理及推论，得nnaikAjkDij,a舟Ak 1k 1其中ij1,(i0(ij)j)例 4.4.计算行列式D53i20i7252023i0的值。04i400235028回顾和小结小结：行列式按行（列）

24、展开。1.1.余子式和代数余子式的概念；2 2行列式按行（列）展开；复习思考题或作业题123n1200思考题：设b1030,100n求第行各元素的代数余子式之和作业题：习题一: :第 7 7（2 2，3 3，5 5，6 6）实施情况及分析1.1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；2.2.对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强. .29第（4 4 ）次课授课时间（）教学章节第一章第七节学时2 2 学时教材和 参考书线性代数（第 4 4 版）同济大学编1.教学目的：了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明，会利用克拉默法 则求解含有n个

25、未知数n个方程的线性方程组的解；2.教学重点：克拉默法则的应用；3.教学难点：克拉默法则的应用. .1.1. 教学内容：克拉默法则；2.2. 时间安排：2 2 学时；3.3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4.4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示. .30基本内容第七节克拉默法则含有n个未知数X1,X2,Xn的n个方程的线性方程组a1X1a12X2a1 nXnb ba21X1a22X2a2nX2b2 2(1 1)an 1X1an2X2annXnbn与二、三元线性方程组相类似， 它的解可以用n阶行列式表示. .定理 1 1 （CramerCramer 法则）如果线性方程组（1 1）的系数行列式不等

26、于零，即则方程组（1 1）有且仅有一组解：D1D2DnXi ,X2= =，, ,Xn DDD其中Djj 1,2,., n是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数列代替，而其余列不变所得到的n阶行列式（证明在第二章）当b1，b2，.,bn全为零时，即a1a12X2a1nXn0a21X1a?2X2a2nX20备注a11Dan1aln0anna1a,j1b,j 1Dj為2,j 1ba2j 1OnQ,j 1Q,j 1ana?n為31an1X1an2X2annXn032称之为齐次线性方程组显然，齐次线性方程组必定有解( (x10,x20,.,xn0). .根据克拉默法则，有非零解）例 1 1

27、.求解线性方程组2x1X25X3X48x3x,6x492x2X32X45x4冷7X36X40解: :系数行列式同样可以计算注意:1.1. 克莱姆法则的条件：n个未知数, ,n个方程，且D 0D1D38950210113241324501789501626162681D2所以X1D13，X2D2D2101895050171626108210113245017895027,4, ,X3D3D1, ,X4D41. .D1 1 .齐次线性方程组的系数行列式D0时，则它只有零解（没有2 2 .反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D 0. 0332.2.

28、用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程3435组。3.3. 克莱姆法则具有重要的理论意义。4.4. 克来姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的 依存关系. .例 2.2.用克拉默法则解方程组3xi5x22x3X43,3X24x44,XiX2X3X411/6,xx23x32x45/6.例 3.3.已知齐次线性方程组(5)x2y2z02x (6)y02x(4)z0有非零解，问 应取何值？解系数行列式D (5)(2)(8)由：D 0, ,得2、58.36回顾和小结小结：克拉默法则. .1.1.内容；2.2.应用. .复习思考题或作业题思考题：当线性方程组的系数行列式为零时，能否

29、 用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解 为何？作业题：习题一第 8 8（ 2 2 ）、9 9（ 2 2,4,4）实施情况及分析1.1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明，会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；2.2.对利用克拉默法则等方面的应用有待加强. .3138教学章节第二章第一、二节学时 2 2 学时教材和参考书1.1.线性代数（第四版）同济大学编；2.2.同济大学 胡一鸣编线 性代数辅导及习题精解；3.3.孙建东等编线性代数知识点与典型 例题解析。1.1. 教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算；2.2. 教学重点：矩阵的概念和矩

30、阵的运算；3.3. 教学难点：矩阵的概念和矩阵的运算。1.1. 教学内容：矩阵；矩阵的运算；2.2. 时间安排：2 2 学时；3.3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4.4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示。第（5 5）次课授课时间（)39、矩阵的定义称m行、n列的数表为m n矩阵，或简称为矩阵；表示为的元素。的一个数；而m n矩阵是m n个数的整体，不对这些数作运算。例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。设A (aj)mn，B (bj)mn都是m n矩阵，当，-a=i,z-怖；j=ra ，同)则称矩阵A与B相等，记成A B。二、特殊形式n阶方阵：n n矩阵行矩阵：1 n矩

31、阵（以后又可叫做行向量），记为基本内容备注第一节矩阵aiia21ai2a22aina2nam1am2amn其中行列式Dai1a21ai2a22ai na2n为按行列式的运算规则所得到amiam2amn或简记为A (aij)m n, ,或Aai1a21am1ai2a22aina2nam2amn(aij)或Am n；其中aj表示A中第i行，第j列40A佝乙，,an）列矩阵：m 1矩阵（以后又可叫做列向量），记为bibm零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为0对角阵：对角线元素为1,2,.,n, ,其余元素为D的方阵，记为=“ -=爲，入）单位阵：对角线元素为 1 1，其余元素为 0 0 的方阵，记为11

32、E1三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义：设变量y1,y2,.,ym能用变量为*，,x.线性表示，即Y1y2du Xa?1Xa2X2a?2X2a1nXna2n 人Ymam1X1am2X2amnXn这里內ii1,2,m; j1,2, ,n为常数。这种从变量X1,X2,.,Xn到41变量yi,w,ym的变换称为线性变换。线性变换由m个n元函数组成，每个函数都是变量的一次幕，故而称之为线性变换。上式的系数可构成一个m n矩阵aiiai2ai nAa2ia22a2nAaij m naijamiam2amnaiiai2aina2iAa22a2n称之为线性变换的系数矩阵。am1am2amn线性变换和系数矩

33、阵是-对应的如，直角坐标系的旋转变换（变量（x,y）到变量（x,y）的变换）恒等变换xcos xsin yysin xcos ycossinsincos的系数矩阵为A4243yixiy2X2ymXm的系数矩阵为i例. .E11aiiXi812X2anXn0a?iXia?2X2a?nXn0同样，齐次线性方程组amiXiam2X28mnXn0aiiai2ain与系数矩阵A822a2n，也是一一对应的. .amiam2amnaiIXIai2X2ai nXnbia2iXia22X2a2nXnb2非齐次线性方程组amiXiam2X2amnXnbmaiiai2ainbi与增广矩阵A %a22a2nb2也是

34、一一对应的。amiam2amnbm第二节矩阵的运算一、加法设A (aj)mn，B (bj)mn, ,都是m n矩阵, ,则加法定义为44aiibiiai2ainbinA Ba2ib2ia22b22a2nb2namibmiam2bm2amnbmn显然，A BB A， (A B)CA (BA)、数乘设是数, ,A (aQmn是m n矩阵则数乘定义为aiiai2a(Aa2i822a2namiam2amn显然AA，A AA， A BA B三、乘法乘法运算比较复杂，首先看一个例子设变量 tttt 到变量旨,卞2彳3的线性变换为XiX2X3biitib2itib3itibi2t2b22t2b32t2变量X

35、i, X2, X3到变量yi,y的线性变换为yiy28iiXia?iXia2X2a?2X2813X3a23X3那么，变量ti,t2到变量yi,y2的线性变换应为yiaibiitibi212a2b2itib2212yia?ibitbi212a22b2itib2212a3b3iti32 七 2a23b3itib32t245的乘积为biibi2aiiai2ai3.aiibiib2ib22a2ia22a23.a2ibiib3ib32ai2b2iai3b3iaiibi2ai2b22ai3b32a22b2ia23b3ia2ibi2a22b22a23b32设A (aj)ms,B (bj)sn, ,则乘法定义

36、为AB C其中C(cij)m n注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数;乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加i 0 3i4ii 0i 3例：设AJ B，则2 i 0220ii344i0i03 iii3AB2 i 0220ii341 4 013 2111101 3013 1 0 0 3 3 114按以上方式定义的乘法具有实际意义由此推广得到一般定义yiaiibii31221aditiabai3b32t2yia2ibiia22b21a?iba22b22a23p2t2定义

37、矩阵biibi2aiiai2ai3和b2ib22a2ia22a23CijSilbi jSi2b2jsaisbsjaikbkjk iii,2,mji,2, ,nb31b32462 4 110 22 1 2 1 11 00 2 32 0 1 3 0 1 2 49219 911例: :设A242,B4求AB及BA。12-3-6解：24241632AB123681624240 0BA36120 0由此发现：（1 1 ）AB BA,（不满足交换律）（2 2）A O,B O，但却有BA O。一个必须注意的问题：1 1 .若Am s，Bsn,则AmsBsn成立，当m n时，Bs nAm s不成立；2 2 .

38、即使Amn,Bnm, ,则Am nBn m是m阶方阵，而Bn mAm n是n阶方阵；24243.3.如果A, ,B都是n阶方阵，例如A12,B36，则16 32=0 0AB，而BA816 0 0综上所述，一般AB BA（即矩阵乘法不满足交换率）。下列性质显然成立：1AB C A BC，AB A B A B,2ABC AB AC, ,B C A BA CA几个运算结果：471 1 . .bia2b2anbn；ai, a2, anb2a1b1bnbia1b1a1b2dbnb2a2bia2b2a2bn2.2.ai, a2,anbnandanb2anbnAE A；4 4线性变换的矩阵表示:y1a Xa

39、2x?a1nXn目2设a?1xa?2X?a2nXnymam1x1am2x2am n 人a11a12a1nX1y1Aa21a22Aa2nJX2X, ,yy2am1am2amnXnymAx线性方程组的矩阵表示：a Xa2xa1nXnbia?1xa?2xa2nXnb2am1X1am2xa xmn 八 nbn1a11a12a1nX1b1Aa21a22Aa2nX2,x, ,bb2am1am2amnXnbm3 3 . .若A为m n矩阵, ,E是m阶单位阵则EAA；若E是n阶单位阵则48则Ax b49矩阵的幕: :A2AA，A3AA2,，AnAAn 1例证明cossinsincoscos n sinn s

40、in ncosn证明用归纳法:1时显然成立，假定n k时成立则n k 1时cosk 1sincossincosksinsincossincossincoscossincosksi nksincossin kcoskcoscosk sin sinkcos sin ksin cosksin cosk cos sin ksinsin kcos coslcos(k1)sin(k 1)sin (k 1) cos(k 1)n从而结论成立. .由于cossinsinCOS是直角坐标旋转 角度变换的系数矩阵，故而cossinsincos是旋转了n角度变换的系数矩阵四、转置a11a12a1na11a21an1a

41、21a22a2n，记ATa12a22an2an1an2anna1na2nann设AO则称A是A的转置矩阵显然,AT TA，A BATBT，ATAT对称矩阵的定义：若矩阵A满足AA(即a.jABTBTAT。aji), ,则称A是对称50例设A是m n矩阵， 证明AA是n阶对称阵,AA是m阶对称阵. . 例. .设x Xi,X2, ,XnT，且xTx 1, ,E为n阶单位阵，H E 2xxT, ,证明: :H是对称阵，H2E. .证明HTE2XXTTET2 xxT TE故H是对称阵。H2E2XXT2E4XXT4XXTXXTE 4XXT4XXTE五、方阵的行列式A或det A。显然,其中Aj是aj的

42、代数余子式, ,A*称为A的伴随阵. .证明：AA*A*AAE. .A为n阶方阵，其元素构成的n阶行列式称为方阵的行列式，记为2XXTHE4XXT4X XTX XT例ATATaiiAa213n1AnA12A21A22AniAn2AnA?nA，51证明 设AA*C（心）52CijaiiAjiai2Aj2ainbjnaikAjk kiAij设A*A Ddj*AA C(dj)Ali3ijA2i32 j例设A为n(n解: 注意到由AA*由于AAEAnibnjdjAijAij2)阶实方阵，且AO,ajnakjAkik iAEAj,求 |A.AiiA12A21A22A2nAE，得AATAEnaikAjkk

43、 i六、共轭矩阵AniAn2aiiai2ainATA2Anaik20,故Ank ia2ia22a2nA2AnA 1.anian2annATA (aj)为复矩阵，aj为aj的共轭复数，则称A佝)为A的共ij轭矩阵.显然,A B A B,A A,AB AB53回顾和小结小结：矩阵的概念和矩阵的运算：1.1. 矩阵的概念；2.2. 矩阵的运算；思考题：1.1.矩阵与行列式的有何区别？2.2.设A与B为n阶方阵，问等式复习思考题或作业题2 2A BA B A B成立的充要条件是什么？作业题：习题二第 2 2、3 3、4 4（ 2 2，3 3，5 5 ）、7 71 1 . .通过学习使学员理解矩阵的概念

44、，掌握了矩实施情况及分析阵的运算；2.2.对利用矩阵的运算法则的应用有待加强. .54第（ 6 6）次课授课时间（ ）55教学章节第一章第三节学时 2 2 学时教材和参考书1.1.线性代数（第四版）同济大学编；2.2.同济大学 胡一鸣编线 性代数辅导及习题精解；3.3.孙建东等编线性代数知识点与典型 例题解析。1.1. 教学目的：理解逆矩阵的概念；掌握逆矩阵的性质和计算方法；2.2. 教学重点：逆矩阵概念和计算；3.3. 教学难点：逆矩阵概念和计算。1.1. 教学内容：逆矩阵；2.2. 时间安排：2 2 学时；3.3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4.4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注56第三节逆矩阵一、逆阵的定义引入：设给定一个线性变换y1y2anXia21