2017-2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案苏教版选

1、323空间的角的计算【学习目标】1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲ET问题导学-知识点一空间角的计算（向量法）思考 1 设a, b分别是空间两条直线11,I2的方向向量，则11与12的夹角大小一定为a, b 吗？思考 2 若二面角a-1-3的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二面角的平面角与两法向量的夹角n1,n2 一定相等吗?梳理空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为0，它们的方向向量为a,b,贝Ucos0=直线与平面所成的角设直线I与平面a所成的角为0,I的方向向

2、量为e,平面a的法向量为n,贝Usin0=二面角设二面角aI3为0,平面a,3的法向 量分别为n1,n2,则|cos0| =|n1n2|1m|n2|.2且OB= OO=2,OA=气；3，求异面直线AiB与AO所成角的余弦值的大小知识点二向量法求线面角、二面角的原理1.向量法求直线与平面所成角的原理2.向量法求二面角的原理条件平面a,3的法向量分别为ni,n2,的大小为0,ni,n2 = $a,3所构成的二面角图形化17关系0 = $0 = n $计算cos0 =cos$cos0 =cos$题型探究类型一 求两条异面直线所成的角平面OBEO丄平面OAB/OOB=60,/AOB=90, 反思与感悟

3、 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建 立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成 角的区别例 1 如图，在三棱柱OAB-CAB中,3跟踪训练 1 已知正方体ABCD-ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.类型二求直线和平面所成的角例 2 已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为a,侧棱长为J2a,求AC与侧面ABBA所成的角反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角 方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法

4、向量与斜线的夹角，再进行换算跟踪训练 2 如图所示，已知直角梯形ABCD其中AB= BC=2AD AS丄平面ABCD AD/ BC4类型三求二面角例 3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABLAC,PA!平面ABCD且PA= AB E是PD的中点，求平面EAC与平面ABC啲夹角反思与感悟（1）当空间直角坐标系容易建立（有特殊的位置关系）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量， 经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小（相等或互补），但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.（2）注意法向量的

5、方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪训练 3 若PA!平面ABC ACLBC PA= AC=1,BC=2，求锐二面角APBC勺余弦值1. 在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为（0 , - 1,3） , （2,2,4）,则这个二面角的余弦值为 _ 2. 已知a、b是异面直线，A、Ba,C Db,ACLb,BDLb,且AB=2,CD=1,贝Ua与b所成的角是_3. 已知在正四棱柱ABC-ABCD中，AA= 2AB,则CD与平面BDC所成角的正弦值是 _4. 如图，在四棱锥S-ABCDK SAL平面ABCD底面ABC防直角梯形，AD/

6、 BC/BAD=90, 且AB=4,SA= 3,E、F分别为线段BC SB上的一点（端点除外），满足 書=器=入，则当实数入的值为_时，/AFE为直角.当堂训媒55.在矩形ABCDh AB=1,BC=Q2,PA!平面ABCD PA=1，贝U PC与平面ABC所成的角是厂规律与方法-向量法求角(1)两条异面直线所成的角0可以借助这两条直线的方向向量的夹角0求得，即 cos0=|cos0|.直线与平面所成的角0可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角0求得，即 sin0 =|cos0| 或 cos0 =sin0.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角

7、或其补角1106跟踪训练 1.30问题导学知识点一n思考 1 不一定若11,12的方向向量的夹角为0,内的角时，丨1与12的夹角为a, b,否则为n- .思考 2 不一定可能相等，也可能互补 梳理|cosa，b1辭(，夕1cose，n1器0，n2|cos|0, n题型探究例 i 解建立如图所示的空间直角坐标系，则qo,o,o),0(0,1,3),A 3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0),A1B =(-3,1, -3),=(3, -1, -3). |cos|- A - A_ IAB0A| A|I-y3,1, -/3|y3, -1, -y31=.7-7t异面直线AB与AO所成角的余弦

8、值为合案精析7例 2 解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),政 0,a,0),A(0,0 ,2a),C(-爭a，2,辰丿，XB-(0,a,0),AA=(0,0,2a),设侧面ABEA的法向量为n-(入，y,z), nAB=0 且n AA- 0,ay- 0 且 2az= 0.y-z- 0.故n-(入，0,0).XnAG入CO SAG,n= 21 ) I ，|n|AG|2|入1- |cosAG,n | 2.又直线与平面所成的角在0 , 90 范围内，AG与侧面ABBA所成的角为 30.跟踪训练 2 解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD AB AS所在直线为x轴,y轴，z轴，

9、建立空间直角坐标系(如图所示).设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D*, 0, 0 ,S(0,0,1),28 AS= (0,0,1),CS=(-1, -1,1).显然AS是底面ABC啲法向量，它与已知向量CS勺夹角3= 90-0,AS. CS_i _/3IASICS1Xv33 0 0 ,90,cos0 =1sin0例 3 解 如图，以A为原点，分别以AC AB AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA= AB= a,AC= b,连结BD与AC交于点O,取AD中点F,贝U C(b,0,0) ,B(0 ,a,0) ,BA=CDa aT2, 2 ,A

10、C=(b,0,0)./AC=0, SEIAC, /EOF等于平面EAC与平面ABC啲夹角(或补角).故有 sin0 = cosOG 0,又SF=2眈0,cosOE OF=SE，SF_ |AEAF- D(b,a,0),P(0,0 ,a),a2,SFAC=0.9又SEOF 0 , 180 ,平面EAC与平面ABC啲夹角为 45210二面角A- PB- C的余弦值为y.跟踪训练 3 解 如图所示建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),氏 2, 1,0) ,C(0 , 1,0),P(0,0,1),故XP= (0,0,1) ,XB= ( _2, 1,0) ,CB=( 2, 0,0) ,CP=(0 ,设平

11、面PAB的法向量为m=(x,y,z),1,1),则m心0,m-AB=0 x,y,zx,y,z4(J,0, 1=0,I 2,1, Uz= 0,?逵x+y= 0,令x= 1,则y=-2，故m= (1 , 2, 0).设平面PBC的法向量为n= (x ,y,z),n CP=0/Ix,y,zffrx,y,z2, 0, C(, 1, 12x = 0,-y +z= 0.令y=1，贝 U z=- 1,故n= (0 , 1,- 1), cos mnx/3n=-.iminl 3又二面角A-PB- C是锐二面角,11当堂训练5.30124.花 解析 /S从平面ABCDZBAD=90,故可建立如图所示的空间直角坐标系 AB= 4,SA= 3, B（0,4,0）,S（0,0,3）.设BC= m贝y C（m,4,0）,AF AS=入（AB- A号,T1TT1AF= i + 入