重点高中立体几何证明垂直的专题训练

1、重点高中立体几何证明垂直的专题训练作者:日期:高中立体几何证明垂直的 专题训练深圳龙岗区东升学校罗虎胜立体几何中证明线面 垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线 垂直一般有以下的一些方法:(1) 通过“平移。(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。(3) 利用勾股定理。(4) 利用三角形全等或三角行相似。(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。通过“平移，根据假设a/b,且b平面,那么a平面1. 在四棱锥P-ABCD中， PBC为正三角形，AB丄平面PBC AB/ CD, ABDC， 2E为PD中点.求证：AE丄平面PDC.分析：取PC的中点F,易证AE/BF，易证BF丄平面PDC2

2、. 如图，四棱锥 P-ABCD的底面是正方形，PA丄底面ABCD，/ PDA=45。，点E为棱AB的中点. 求证：平面PCE丄平面PCD;分析：取PC的中点G，易证EG/AF，又易证 AF丄平面PDC 于是EG丄平面PCD那么平面PCE丄平面PCD第 2如下图在 四棱锥 P ABCD 中AB 平面PAD , AB/CD , PD AD , E是PB的中点， F是CD上的点，且1DF -AB, PH为 PAD中AD边上的高。2(1)证明：PH平面ABCD ；(2)假设PH 1, AD .2，FC 1,求三棱锥E BCF的体积;(3)证明：EF 平面PAB.分析：要证EF 平面PAB，只要把FE平

3、移到DG，也即是取AP的中点G,易证EF/GD, 易证DG丄平面PAB4.如下图，四棱锥P ABCD底面是直角梯形BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 底面 ABCD,E为PC的中点，FA= AD。证明：BE 平面PDC ;分析：取 PD的中点F，易证 AF/BE,易证AF丄平面 PDC(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥P ABC中，AC BC 2，(I)求证：PC AB;(U)求二面角B AP C的大小；ACB 90，AP6、如图，在三棱锥 P ABC中，/ PAB是等边三角形，/ PAC=/ PBC=90 o证明:AB 丄 PC因为 PAB是等边三角形，PACP

4、BC 90所以RtPBC Rt PAC ,可得 ACBC。如图，取AB中点D，连结PD, CD,那么PDAB,CD AB,所以AB平面PDC ,所以ABPC。(3) 利用勾股定理7、如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为 求证：PA平面ABCD ；1 的正方形，PA CD, PA 1, PD 218、如图 1,在直角梯形 ABCD 中，AB/CD，AB AD，且 AB AD CD 1 .2现以AD为一边向形外作正方形 ADEF，然后沿边 AD将正方形 ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.(1) 求证：AM /平面BEC ;(2) 求证：BC 平面BDE ;9

5、、如图，四面体CA CB(1) 求证：ABCD 中,CDAOBD平面0、E分别是BD、BC的中点,2, AB AD. 2.BCD ;(1)证明：连结0CQ BO DO, AB AD,AOBD.Q BO DO,BC CD,COBD.在AOC中，由可得AO1,CO 、3.而 AC 2,AO2 CO2 AC2,AOC 90o,即 AOQ BD I OC O, AO平面BCD0、如图，四棱锥S abcd中，AB BC , BCOC.SD 1(2) 求异面直线AB BC 2,CDAB与CD所成角的大小；(I)证明：SD平面SAB .(H)求AB与平面SBC所成角的大小.解法一：(I)取AB中点E,连结D

6、E，那么四边形BCDE为AB,SE .3.矩形，DE=CB=2，连结SE，那么SE又 SD=1，故 ED2 SE2 SD2 ,所以 DSE为直角。由 AB DE, AB SE,DE I SE E 得AB平面SDE，所以AB SD。SD与两条相交直线 AB、SE都垂直。所以SD 平面SAB。CD，侧面SAB为等边三角形,A.Cy匹口(4) 利用三角形全等或三角行相似11.正方体 ABCD AiBiCiDi中0为正方形 ABCD的中心，M为BBi的中点,求证：DiO丄平面MAC.分析：法一：取 AB的中点E,连AiE,OE,易证 ABMAiAE,于是 AMAiE,又T 0E丄平面 ABBA. OE

7、LAM, AML平面 OEAD. AML DO法二：连 OM,易证 DiDOOBM于是 DOLOM i2 .如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱长都为 2 ,D为CCi中点求证：ABiL平面AiBD ;分析： 取BC的中点E,连AE,B iE,易证 DCBA EBB i,从而BDL EBi i3、如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中， 过点B作BiC的垂线交侧棱CCi于点E,交BiC于点F, 求证：AiCL平面BDE ;(5) 利用直径所对的圆周角是直角14、如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，FA丄平面ABC.(1) 求证：平面FAC丄平面PBC;(2) 假设D也是圆周上一点，且与 C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互 相垂直的各对平面.D15、如图，在圆锥P0中，P0= 2，O 0的直径AB 2,c是狐AB的中点，D为AC的中点证明：平面POD 平面PAC ；PH 平面ABCD .以BD的16、如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 中点0为球心、BD为直径的球面交 PD于点