第2章平面汇交力系与平面力偶系

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系第第2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡本章要点：本章要点： 平面平面 汇交力系的合成结果；汇交力系的合成结果；平面汇交力系平面汇交力系基本力系基本力系 平面汇交力系的平衡条件及其应用；平面汇交力系的平衡条件及其应用； 静力学问题求解的一般方法（步骤）；静力学问题求解的一般方法（步骤）；基本问题：基本问题：力偶的特性及平面力偶系的合成与平衡力偶的特性及平面力偶系的合成与平衡平面力偶系

2、平面力偶系 平面力偶系的平衡条件及其应用。平面力偶系的平衡条件及其应用。 平面力偶的性质；平面力偶的性质；CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系2-1 平面平面 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系：汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系各力的作用线汇交于一点的力系包括包括:平面汇交力系平面汇交力系空间汇交力系空间汇交力系CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶

3、系1. 力的可传性力的可传性 作用于作用于刚体刚体上某点的力，可以沿其作用线移到上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内刚体内任任意一点，并不改变该力对刚体的作用。意一点，并不改变该力对刚体的作用。AFBAF作用在刚体上力的三要素：作用在刚体上力的三要素：力的大小力的大小方方 向向作作 用用 线线滑移矢量滑移矢量= =2-1平面平面 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 2. 平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法 (1) 二力

4、的合成二力的合成AF1A1F2A2AF1F2FRFRF1F2abc平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系（2）平面汇交力系合成的几何法）平面汇交力系合成的几何法AP1F1P2F2PnFnP3F3AF1F2F3FnRFRF平行四边形法则平行四边形法则汇交力系的合成结果：汇交力系的合成结果： 作用于原力系汇交点的一个合力，作用于原力系汇交点的一个合力，合力矢为力多边形的封闭边。合力矢为力多边形的封闭边。合力矢：合力矢：RR123nFFFFFF力

5、多边形法则力多边形法则RiFF或：或：作用点：原力系的汇交点。作用点：原力系的汇交点。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系FR1F4F3F1FRF2F3F4FRFR2F1AF2A力多边形力多边形AF2F4F3F1CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力

6、系与平面力偶系思考题：思考题：平面汇交力系可合成为平面汇交力系可合成为_个合力，其作用线通过个合力，其作用线通过_，其大小和方向可用力多边形的，其大小和方向可用力多边形的_表示。表示。1力系的汇交点力系的汇交点 封闭边封闭边F2F3F4FRF1AAF2F4F3F1AFRCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系例题例题2.1: 已知：已知：F，a 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。 FABCD解解: FB FA F FBFAtan0.5BFFF2252ABFFFFCHINA UNIVER

7、SITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系1. 1. 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影FxFyxABFOyFxFya1b1a2b2cossinxyFFFFxyxyFFFFFij,xxyyFFFiFj22cos( , )/cos( , )/xyxyFFFF iFFF jFFij2-2 平面平面 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY注：注：力的投影力的投影代数量代数量只能确定力的大小和方向只能确定力的大小和方向力的分量

8、力的分量矢量矢量可完全确定力的三要素可完全确定力的三要素力的投影与力的分量的区别：力的投影与力的分量的区别：只有在直角坐标系中，力的投影才和力沿该轴只有在直角坐标系中，力的投影才和力沿该轴的分量的大小相等。的分量的大小相等。xOyFABFxFyFxFyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系结论与讨论结论与讨论力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系(1)(1)力的投影是代数量，力的分量是矢量力的投影是代数量，力的分量是矢量(2)(2)不论是否为直角坐标

9、系，力的投影都按下式计算：不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：cosxFFcosyFF、分别为力分别为力F与与Ox、Oy轴的夹角。轴的夹角。(3)(3)分力分力 应按平行四边形法则计算应按平行四边形法则计算,xyF FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系OxyxyOxFyFabyFxFxFyFba结论与讨论结论与讨论CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系R1234cos3

10、0cos60cos45cos45129.3 NxFFFFFR1234cos60cos30cos45cos45112.3 NyFFFFF解解: 根据合力投影定理，得合力在轴根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：上的投影分别为：60F245F430F145F3CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系N 3 .1712R2RRyxFFF656.0cos754.0cosRRRRFFFFyx01.4999.40合力的大小：合力的大小：合力与轴合力与轴x，y夹角的方向余弦为：夹角的方向余

11、弦为：所以，合力与轴所以，合力与轴x，y的夹角分别为：的夹角分别为：60F245F430F1xyO45F3CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系2. 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法oF2FnF3F1FRxyRRRxyFFFij根据合矢量投影定理：R1212xxxnxxRyyynyyFFFFFFFFFF 2222RRRRRRRRR()()cos(, ),cos(, )xyxyyxFFFFFFFFF FiFjFR= F1 + F2 + + Fn = FiCHINA UNIV

12、ERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系3. 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程00 xyFF平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。 2222RRR()()0 xyxyFFFFF CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系10niiF结论：结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的力多边形自行封闭。该力系的力多边形自行封闭。F2F3FRF1A

13、Fn4 . 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件F2F3F5F1AF4CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系RF22()()xyFF平衡方程：平衡方程：汇交力系平衡的充要条件是：汇交力系平衡的充要条件是：各力在三个坐标轴上投影的代各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零。数和等于零。=0=000yxFFFR CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系例题例题: 已知：已知：F，a

14、求：求：A、B处约束反力。处约束反力。 FABCD解解: FB FAxy0,cos00,sin0 xAyBAFFFFFF解上述方程，得解上述方程，得51,22ABFFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系（1）选取合适的研究对象）选取合适的研究对象（2）正确受力分析）正确受力分析（3）选择适当的投影坐标系）选择适当的投影坐标系（4）列平衡方程求解）列平衡方程求解 画出研究对象上所有力（主动力、约束反力）；画出研究对象上所有力（主动力、约束反力）； 按约束的类型（或性质）分析约束反力；

15、按约束的类型（或性质）分析约束反力； 物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析。物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析。投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直注意力矢的空间几何关系；注意力矢的空间几何关系； 3. 静力学问题求解的一般方法（步骤）静力学问题求解的一般方法（步骤）二力杆不作为研究对象；二力杆不作为研究对象；物体系统研究对象的选取顺序。物体系统研究对象的选取顺序。由所求量情况确定所取研究对象，并画出分离体图；由所求量情况确定所取研究对象，并画出分离体图；力的投影的计算与正负确定。力的投影的计算与正负确定。CHINA UNIVERSITY

16、OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 已知：已知：F， 求：物块求：物块M的压力。的压力。解：解：（1）取销钉取销钉B为研究对象为研究对象()sin0coscos0BABCBCBAFFFFF（2）取挡板取挡板C为研究对象为研究对象0,cos0yMCBFFF2sinBCBAFFF解得解得coscot2MCBFFFBCFCBF0,0,xyFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系思考题思考题:1.平面汇交力系可合成为

17、平面汇交力系可合成为_个合力个合力,其作用线通过其作用线通过_, 其大小和方向可用力多边形的其大小和方向可用力多边形的_表示表示.2.力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小分力的大小_ ;力在互不垂直的两个轴上的投影的力在互不垂直的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小大小与力沿这两个轴的分力的大小_.3.平面汇交力系平衡的充要条件平面汇交力系平衡的充要条件_.1力系的汇交点力系的汇交点封闭边封闭边相等相等不相等不相等力系的合力为零力系的合力为零CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY

18、第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系4.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件_;平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件_.5.平面汇交力系有平面汇交力系有_个独立的平衡方程个独立的平衡方程, 可求解可求解_个个未知量未知量.力多边形自行封闭边力多边形自行封闭边0 xF0yF22CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算1. 力对点之矩力对点之矩AFBhhFMO)(Fh 力臂力

19、臂 O 矩心矩心OABMO 2)(FMO（F）代数量（标量）代数量（标量）“ ” 使物体逆时针转时力矩为正；使物体逆时针转时力矩为正；“” 使物体顺时针转时力矩为负。使物体顺时针转时力矩为负。力矩单位力矩单位: :牛米牛米（Nm），千牛米千牛米（kN m)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系2.合力矩定理合力矩定理 R()()()()()OOOOnOiMMMMM 12FFFFF证明：证明：FRABcbdOxF2DCF F1 1FR= F1 + F2Ob = Oc + Od()OMOAB

20、OA Ob RF2()OMOACOA Oc 1F2()OMOADOA Od 2F2R()()()OOOMFMFMF12R()()OOiMM FF而：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系FOrFrFt求：力求：力 F 对轮心对轮心O的力矩。的力矩。h解：（解：（1）直接计算）直接计算cos()OFMFhFr（2）利用合力之矩定理计算）利用合力之矩定理计算cosrtt( )()()()FFFOOOOMFMMMFrCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLO

21、GY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系1. 力偶与力偶矩力偶与力偶矩 力偶臂力偶臂力偶的两力之间的垂直距离力偶的两力之间的垂直距离d。力偶的作用面力偶的作用面力偶中两个力所在的平面。力偶中两个力所在的平面。力和力偶是静力学的两个基本要素。力和力偶是静力学的两个基本要素。2.4 平面力偶平面力偶CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系FFABOdx( ,)()()()oooF FFFMMMF dxF xFd力偶矩力偶矩FdMu作用效应：作用效应：由于其主矢量 ，

22、所以力偶无移动效应，只有转动效应。R=0Fu作用效应的度量作用效应的度量力偶矩：力偶矩：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系2. 平面力偶的等效定理平面力偶的等效定理 力偶只对刚体产生转动效应, 力偶的主矢为零，因而力偶不能与一个力等效。力偶的性质：力偶的性质：（1）力偶没有合力，但其作用效应不为零。( 2 ) 力偶可以在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的作用效应；CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力

23、偶系平面汇交力系与平面力偶系( 3 ) 在同一平面内, 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效应。MdFdFdF332211注：力偶的等效性及性质一般只适用于刚体，不适用于变形体。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系3. 平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡ABdF44FF33F1FF1d1F22Fd2ABFFd3111F dFdM4222F dF dM4343,FFFFFF4321()MFdFF dMMiMM

24、合成结果：合成结果： 平面平面 力偶的力偶矩可用一代力偶的力偶矩可用一代数量表征，即：数量表征，即：MFd CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系平面力偶系的平衡条件0iMiMM作用于刚体上的力偶系可合成为一个合力偶：因此, 力偶系作用下的刚体平衡的充要条件是：合力偶矩等于零, 即力偶系各力偶矩的代数和等于零CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系1F2F1F2FADCB 问刚体在四

25、个力的作用下是否平衡，若改变问刚体在四个力的作用下是否平衡，若改变F1和和F1的方向，则结果又如何。的方向，则结果又如何。思考题？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系？MaaABCa例题例题2求：求：A、 C 处约束反力处约束反力。已知：已知：a, M解解：（1）取取AB为研究对象为研究对象（2）取）取BC为研究对象为研究对象BCABMFBFCFABF02, 0aFMMA22ABFFMa22CBBFFFMa若将此力偶移至若将此力偶移至BC构件上，再求构件上，再求A、C处约束反力。在此种

26、处约束反力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是否还等于力偶矩。否还等于力偶矩。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系mkN10M1. 平面系统受力偶矩为平面系统受力偶矩为 的力偶作用的力偶作用当力偶当力偶M作用在作用在AC 杆杆时，时，A支座支座 反力的大小为反力的大小为( ),B支座支座 反力的大小为反力的大小为( );当力偶当力偶M作用在作用在BC 杆杆时，时，A支座支座 反力的大小为反力的大小为( )， B

27、支座支座 反力的大小为反力的大小为( )。 5kN5kN10kN10kN习题：习题：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系2. 直角杆直角杆CDA和和T字形杆字形杆BDE在在D处铰接，并支承如图。处铰接，并支承如图。若系统受力偶矩为若系统受力偶矩为M的力偶作用，不计各杆自重，则的力偶作用，不计各杆自重，则A支支座的约束反力的大小为座的约束反力的大小为_aaaaABCDEMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力

28、偶系平面汇交力系与平面力偶系3. 如如 图所示四连杆机构在两力偶作用下处于平衡，若图所示四连杆机构在两力偶作用下处于平衡，若力偶矩的大小分别是力偶矩的大小分别是M1和和M2，转向如图，且各杆的自，转向如图，且各杆的自重及铰链摩擦不计，则有（重及铰链摩擦不计，则有（ ）。）。（A）M1M2； （B）M1=M2 ； （C）M1M2 ; （D）无法判断。）无法判断。4. 四连杆机构在图示位置平衡。四连杆机构在图示位置平衡。机构中机构中ABCD，则，则M1及及M2的的关系为关系为_。30ADCBM1M2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平

29、面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系M1M2CABDM2CDM1AB FB FA FC FD解解: (1)取取AB为研究对象为研究对象(2) 取取CD为研究对象为研究对象求：平衡时求：平衡时M1、M2之间的关系。之间的关系。已知：已知：AB=CD=a, BCD=3010,cos300BMF aM解得解得132BMF a20,sin300CMMF a212CMF a解得解得因为因为 FB = FC123MMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系;200,20,10321mmmNm

30、NlMMM求：光滑螺柱求：光滑螺柱A、B所受水平力所受水平力。已知：已知： 0M0321MMMlFA解得解得N200321lMMMFFBA解：由力偶只能由力偶平衡的性质，解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为其受力图为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系DBCMDEEDCBAMaaaa求：求：A、B、C、D、E处的处的约束反力。约束反力。解解: (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象 FA FB0,0AMMF aABMFFa(2) 取取BCD为研究对象为研究对象 FBCFDF F

31、E FD(3) 取取DE为研究对象为研究对象确定确定 D 处约束反力的方向处约束反力的方向0,sin450DMF aM2DEMFFaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系DBCMDE(2) 取取BCD为研究对象为研究对象 FBCFDF FE FD(3) 取取DE为研究对象为研究对象确定确定 D 处约束反力的方向处约束反力的方向0,sin450DMF aM2DEMFFaCAE FC EF FA(4) 取取ACE为研究对象为研究对象0,sincos4501sin5yCEFFF5CMFaCHI

32、NA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系1F2F1F2FADCBFRMoAMMBC问刚体在四个力的问刚体在四个力的作用下是否平衡，作用下是否平衡，若改变若改变F1和和F1的方的方向，则结果又如何。向，则结果又如何。当当 M=FR 时，系统时，系统处于平衡，因此力偶处于平衡，因此力偶也可以与一个力平衡，也可以与一个力平衡，这种说法对吗。这种说法对吗。图示系统平衡否，图示系统平衡否，若平衡，若平衡，A、B处约束反力的方处约束反力的方向应如何确定。向应如何确定。思考题？思考题？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第2 2章章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。汇交力系可合成一个作用于原力系汇交点的一个合力，汇交力系可合成一个作用于原力系汇交点的一个合力，合力矢为力多边形的封闭边。合力矢为力多边形的封闭边。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该