高等数学连续性间断点

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfx

2、x设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作

3、上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 证明函数xysin在),(内连续 . 证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)c

4、os(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽

5、有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .机动 目

6、录 上页 下页 返回 结束 1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为第一类间断点（可去间断点） .1,1,)(21xxxxfy(1)xoy211(2) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为第一类间断点（跳跃间断点） .机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时,提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf在x = 0 连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,(P 题3(2)第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 确定函数间断点的类型.xxexf111)(解