上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷答案解析与点睛(18页)

1、上海华师大第二附中2021届高三期中测试数学试卷数学试卷一.填空题一.11.sin-,那么co_【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得cos的值.17【详斛】cos12sin-12-一,299故答案为：7.9【点睛】此题考查二倍角的余弦,注意二倍角的余弦公式有 3 种形式,应根据半角的三角函数的形式选择适宜的公式进行计算,此题属于容易题.22.双曲线巳V21的实轴长为2【答案】22【解析】【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为2a求解即可.2【详解】由圣V21得,a22,故实轴长为2a2我.2故答案为：22【点睛】此题主要考查了双曲线的根本量求解,属于根底题型.3 .集合M1,2,zi,

2、i为虚数单位,N3,4,MIN4,那么复数z【答案】4i【解析】根据MIN4可得4?M,从而可求 z【详解】由于MIN4,故4?M,而M1,2,zi,4所以Zi4,故z4i,此时M1,2,4,满足MIN4.i故答案为：4i.【点睛】此题考查集合的交以及复数的除法,注意根据集合元素确实定性来解决问题,此题属于容易题.4 .在平面直角坐标系 xOy 中,假设直线y=2a与函数 y=X=a|=1的图象只有一个交点,那么 a 的值为-1【答案】-2【解析】由直线y2a是平行于x轴的直线,由于yxa为一次函数,其绝对值的函数为对称图形,故函_,八一,一,1数yxa1的图象是折线,所以直线y2a过折线顶点

3、时满足题意,所以2a1,解得a2,1故答案为1.25.投掷两颗均匀的骰子一次,那么点数之和为 5 的概率等于【答案】-9【解析】【分析】求出根本领件的总数和随机事件中根本领件的个数,再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率.【详解】投掷两颗均匀的骰子一次,我们用a,b表示两个骰子出现的点数对,那么共有如下根本领件：1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6

4、,6,所以根本领件的总数为 36.设A为事件“点数之和为5,那么A中的根本领件如下：411,4,2,3,3,2,4,1,共 4 个根本领件,故PA一.369uvuv7.设 0,e2为单位向量,且 G,uve2Tt的夹角为假设3uvvuvv,v、33,b2e,那么向量a在b万向上的投影,1故答案为：19【点睛】此题考查古典概型的概率计算,注意根本领件的总数和随机事件中根本领件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数,此题属于根底题2x1.1.6.函数f(x)(a-)的图象与它的反函数的图象重合,那么实数a.xa2【答案】2【解析】【分析】求出 f(x)的反函数,令其与原函数相等,那么可求实数a的值.

5、【详解】令y2,那么xyay2x1,所以xLay,故f1xSx,xay2x21.由于fx的图象与它的反函数的图象重合,根据fxfx,所以Lax,整理得到恒等式2x23x2ax21a2xa,xax2故a2.故答案为：2.【点睛】此题考查反函数性质及反函数的求法,注意函数与其反函数的图象关于的根本步骤是反解、互换,此题属于根底题yx对称,求反函数an1(aR),那么an为等差或等比数列；其中真命题的序号是所以向量v,v,v/Vva在b方向上的投影为acosa,b/故答案为【点睛】此题考查了向量的根本运算和向量数量积的几何意义,熟练运用公式是解题的关键,属于根底题.8.假设an是2*N,n2,xR展

6、开式中x2项的系数,那么limn22232na?a3an试题分析：由题意2n2nan,ann(n1)28(-n-)n22232nan1118(12)(23)23nna2a3anlim(8n-)8.n考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和,极限.9.在等差数列an中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当8 时Sn取得最大值,那么d的取值范围为试题分析：由题意得：a80,a90,所以77d0,78d0,即考点：等差数列性质x10.给出以下命题：y11 个；x1(x2)0的解集为2,)；x1是X2的充分非必要条件；数列an的前n项和为Sn,且Sn【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项

7、【详解】对于,由于 yx0是备函数,但它与y1不是同一个函数,前者要求x0,而后者故y1不是哥函数,故错误.x对于,在同一坐标系回出y2,y10g2x的图象如下图：故正确.f(x)x._210g2x没有零点,故错误.对于,x|x1是x|x2的真子集,1是X2的充分非必要条件,对于,假设a0,那么Sn1,该数列既不是等差数列也不是等比?故答案为：.【点睛】此题考查命题的真假判断,断、无理不等式的解法、等差数列象的交点个数来判断,11.矩阵的一种运算用下变换成点ax及到函数相同云算的几何意义为平面上5分不必要条件的判甬过两个熟悉函数图的作对于,x1时不等式也成立,所以错误1故an2,n0,n【解析

8、】【分析】x22y21后整理得到的方程就是方程22x4xy2y1,从而可求a,b的值.【详解】设Px,y在曲线x24xy2y21上,-、,1a-Qx,y为在矩阵的作用下对应的点,b1设Px,y在曲线x24xy2y21上,求出Px,y在矩阵的作用下对应的点Q的坐标,代入xxay2一2.22那么,由于Qx,y在x2y1上,故xay2bxy1,ybxy.一._22_2_2整理得到12bx2a4bxya2y1,而x24xy2y212b211,故2a4b4,解得a2222,所以ab0.0故答案为：0.【点睛】此题考查变换的求法,注意根据对应点的坐标关系得到同一个动点满足的两个等价的曲线方程,从而根据系数

9、关系可得参数满足的方程组,此类问题属于中档题,有一定的思维要求12.函数yx2(a1)2xa1的最小值大于 5,那么a的取值范围是【答案】a114或a遂22【解析】【分析】先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号,然后就131.a、a一分二类求fx的取值,取222后根据最值的范围可得实数a的取值范围【详解】设fxx2(a1)2xa1,故f(x)22,xxa1(a1),x1a22xxa1(a1),x1a廿3右a一,那么1a212此时x在,1a 上为减函数,在a,上为减函数,上为增函数,xmin由于3a13万5,3*“八一满足条件.2此时a,上为增函数,1a上为减函数,min2a22a22,令1此时,一

10、一,1,上为减函数,在一,12a上为增函数,在1a,上为增函数,min2a令a综上,a的取值范围为:故答案为：a114或a-622【点睛】此题考查含绝对值函数的最值的求法,注意先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号,再依据函数的单调性求最值,此题属于难题13.假设ab1,0c1,那么ccA.abB.abcbacC.alogbCblogacD.logac10gbe【答案】C【解析】选 A.【考点】圆方程,点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.15.,是两个平面,m,n

11、是两条直线,有以下四个命题,其中错误的选项是n/,那么【详解】试题分析：用特殊值法,令a3,1112,c一得以o2,选项A错误,23213、选1-1.项B徐反,log3log25,选项D 错误,由于alogbcblogac1gc(lgbblga,lgaalgbbblgc(-),Qab11blgblgaablgalgb0Q0c1lgclgblga0alogbcblogac选项C正确,应选 C【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比拟哥或对数值的大小,假设哥的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比拟；假设底数不同,可考虑利用中间量进行比拟14.圆x22y2x8y1

12、30的圆心到直线axy10的距离为1,那么4A.3B.C.3D.2试题分析：由x22x8y130配方得(x1)2(y4)2所以圆心为1,4,由于圆22xy2x8y130的圆心到直线axy10的距离为41.i4?1,解得a一,故a2123.直线与圆的位置关系时,常用几C.假设/,m,那么m/D.假设m/n,/,那么m与所成的角和n与所成的角相等【答案】A【解析】【分析】依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项【详解】对于 A,平面,可能平行,故 A 错；对于B,存在平面使得n且Il,由于n/,n平面,故nl,由于m,l,故ml,所以mn,故 B 正确；对于

13、C,根据面面平行的性质可知m/,故C正确；对于D,根据线面角定义可知m与所成的角和n与所成的角相等.应选：A.【点睛】此题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断,这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假,必要时还要动态地考虑它们的位置关系,此题属于中档题16 .在VABC中,假设AB布,BC3,C1200,那么AC=A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】余弦定理AB2BC2AC22BC?ACcosC将各值代入得AC23AC40解得AC1或AC4舍去选 A.、一一.一.一.217 .设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2Pxp0上任意一点,M是线段PF上的点,且

14、PMMF,那么直线OM的斜率的最大值为B.假设mn/,那么mnA3rA.32B.一3C.D.1【解析】试题分析：设2P(迎2p,yo,由题意F,o,显然yo20时不符合题意,故yo0,那么uuuuOMuuirOFuuuuFMuuirOF1uuu-FP3uuur1uuuuurOF-(OPOF)31uuu-OP32uuur-OF32yopyo上,参,可得:6p33考点:yo32yop6p3yo2ppy.2,22yo22p,yoJ2P时取等号,应选C.1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.【方法点晴】此题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程,均值不等式的灵活运用,属于中档题.解

15、题时一定要注意分析条件,根据条件|PM|2|MF|,利用向量的运算可知,写出直线的斜率,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否那么易出问题.18.如下图,半径为 1 的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线li2之间,l/li=l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点,设yEBBCCD,弧FG的长为x=ox从I1平行移动到12,那么yfx的图象大致是【答案】D【解析】由题意可知,随着l从li平行移动到12,yEBBCCD单调递增,故可排除选项B.由题意可得等边三角形的边长为述.3当 x=n 时,yABBCCA3返2J3,此时 y 最大;3一,OFG为等边三角形,此

16、时AMOH旦,32在等边AED中,AE=ED=DA=1,!(2.32A2n23339故当x时,对应的点x,y在图中红色连线段的下方.结合选项可得选项D正确.3选D.点睛:此题为根据具体情境判断函数图象大体形状的问题,由于函数的解析式不易求出,因此在解题中运用取特殊值的方法对各选项进行排除,考查几个特殊的情况,计算出相应的函数值案.这也是解决选择题的常用方法之一.解做题当x=0 时,yBC毡,此时 y 最小;3当x一时,3如上图,那么FOGyEBBCCDABBCCA(AEAD)212yli2.又当x时,以下图中的3y.y,结合给出的选项可得答19.如图,ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形

17、DCBE为平行四边形,DC平面ABC,AB2,AE与平面ABC所成的角为,且tan(1)求证：平面ACD平面ADE;(2)记ACx,V(x)表示三棱锥ACBE的体积,求V(x)的表达式及最大值；【答案】(1)证实见解析；(2)v(x)x/T-X7(0 x2),v(x)max立.63【解析】【分析】(1)可证DE平面ACD,从而得到平面ACD平面ADE.V(x)SACB,利用根本不等式可求V(x)的最大值.3【详解】(1)由于ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,所以ACCB,由于四边形DCBE为平行四边形,故DE/CB,所以ACDE.由于DC平面ABC,BC平面ABC,故DCBC,所以CDDE,

18、由于DCIACC,故DE平面ACD,而DE平面ADE,故平面ACD平面ADE.(2)由于四边形DCBE为平行四边形,故BE/CD,由(1)可知DCAC,DCCB,故BEAC,BECB,由于ACIBCC,故BE平面 ACB,所以EAB为AE与平面ABC所成的角,故EAB.(2)可证EAB为AE与平面ABC所成的角为,从而可得BEJ3,又可证BE平面ABC,从而在RtABE中,tanEAB比,故BEAB晅.22故V(x)1BESACB1x,4x2由x4x2,其中0 x2.3326y242由根本不等式有x,4x2x2,当且仅当 xJ2 时等号成立,2故V(x)max-.6【点睛】此题考查面面垂直的证

19、实以及三棱锥体积的计算,前者注意空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系转换,后者注意选择适宜的顶点来计算体积,此题属于中档题20.某工厂在 2021 年的减员增效中对局部人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的2100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的一领取工资,该厂根据分流人员的技术特长,计3划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,第二年每人可获得b元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年的根底上递增 50%,如果某人分流后工资的收入每年a元,分流后进入新经济实体,第n年的收入为an元；(1)求an的通项公式;3ab一时,是否一定可以保证这个人分流一

20、年后的收入永远超过分流前的年收入8a,n1,2n13、n2/是.a(3)b),n22.(1)由题设可知当n2时,收入an由两局部构成：一局部是以a为首项,公比为一的等比数列的第n项,33另一局部是以b为首项,公比为一的等比数列的第n1项,据此可求an的通项公式.2(2)利用根本不等式可得anan2总成立,从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【详解】(1)由题设有 a1a,a22ab,3,一,、,、,一2一当n2时,收入an由两局部构成,一局部是以a为首项,公比为一的等比数列的第n项,3所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入【点睛】此题考查数列在实际问题

21、中的应用,涉及到通项的求法、根本不等式的应用等,注意数列不等式的证实可以利用数列单调性来证实,也可以根据通项的结构形式选择根本不等式来证实,2i.椭圆C的两个焦点分别为Fii,0,F2i,0,短轴的两个端点分别为(I)假设FiBiB2为等边三角形,求椭圆C的方程;斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,把直线方程和椭圆方程联立,由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和,把uuiruurFiPFQ转化为数量积等于 0,代入坐标后可求直线的斜率,那么直线 I 的方程可求另一局部是以b为首项,公比为3-的等比数列的第2ni项,故当n2时a.anana,ni2、nia(-)32,n3a(2)当b3a时,8由

22、根本不等式可有ani2a34因不存在n,nni3成立,2ni.2故a一3nia总成立,此题属于中档题.Bi,B2.(n)假设椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且unvFFUULVFQ,求直线l的万程.2x=432yi31=6yi0或x6yi0=【详解】试题分析:由RBz为等边三角形可得a=2b,又 c=i,集合2,2abc2可求a2,b2,那么椭圆 C 的方程可求;(2)由给出的椭圆 C 的短轴长为 2,结合 c=i 求出椭圆方程,分过点 F2 的直线 I 的24c、,3ba2b23b233试题解析：1EBB2 为等边三角形,那么2231ab1/1b-33xc椭圆C

23、的方程为：以3y21;42(2)容易求得椭圆C的方程为y21,2当直线l的斜率不存在时,其方程为x1,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线l的方程为ykx1,2即X1x21y1y2x1x2x1x21kxi1x21解得k21,即k,77故直线l的方程为xy10或xJ7y10.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.22.函数fx10173sincos10cos2.222(1)求函数fx的最小正周期；(2)将函数fx的图象向右平移一个单位长度,再向下平移a(a0)个单位长度后得到函数gx的 6图象,且函数gx的最大值为2.(i)求函数gx的解析式；(ii)证实：存在无穷多个互

24、不相同的正整数使得gx00.由1得2k211x24k2x2k210,设PX,y1,Qx2,y2,x1x24k22,他22k2122k21uuurumruuirF1Px11,y1,FQx21,y2F1PuurFQuuiruuur.F1PFQ0,2k1x1x2,2k1x1x2k217k212k21223.函数g(x)ax2ax1b(a0)在区间2,4上的最大值为 9,最小值为1,记f(x)g(|x|)；【答案】(1)2；(2)(i)gx10sinx8；(ii)证实见解析【解析】【详解】(I)由于fx10百sin2cos10cos22225.3sinx5cosx510sinx5.6所以函数fx的最小

25、正周期2.(n)(i)将fx的图象向右平移个单位长度后得到y10sinx5的图象,6再向下平移a(a0)个单位长度后得到gx10sinx5a的图象.又函数gx的最大值为2,所以105a2,解得a13.所以gx10sinx8.(n)要证实存在无穷多个互不相同的正整数就是要证实存在无穷多个互不相同的正整数x0,4使得10sinx080,即 sinx0-5由4Y3知,存在 00一,使得523sin4由正弦函数的性质可知,当x0,0时,均有 sinx 一.5由于ysinx的周期为2,4所以当x2k0,2k0(k)时,均有 sinx-.由于对任意的整数k,2k02k02.一1,3所以对任意的正整数k,都

26、存在正整数xk2k0,2k0,使得 sinxk亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得gx00.考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式.(1)求实数a?b 的值；(2)假设不等式f(log2k)f(2)成立,求实数k的取值范围;(3)定义在p,q上的函数(x),设px0 x1Lxi1xiLxnq,其中x1?x2?L?xn1将n区间p,q任意划分成n个小区间,如果存在一个常数M0,使得和式|(x)(x1)|M恒成立,i1那么称函数(x)为在p,q上的有界变差函数,试判断函数 f(x)是否为在0,4上的有界变差函数？假设是,求M的最小值；假设不是,请说明理由.1.一【答案】(1)a1,b0;(3