2016-2017届黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末数学试卷（理科）(解析版)

1、2016-2017学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合=（）A1，+）B（1，+）C（0，+）D0，+）2（5分）若复数z满足（1+2i）z=|2+i|，则复数z的虚部为（）ABiCDi3（5分）正项等差数列an的前n项和为Sn，已知a4+a10a72+15=0，则S13=（）A39B5C39D654（5分）下列说法正确的是（）A若p：xR，x2+3x+50，则p：x0R，x02+3x0+50B“若=，则cos=”的否命题是“若=，则cos”C已知A

2、，B是ABC的两个内角，则“AB”是“sinAsinB”的充要条件D命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件5（5分）已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题中，正确命题的个数为（）（1）若，则lm（2）若lm，则（3）若，则lm（4）若lm，则A1B2C3D46（5分）为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度7（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D68（5分）如图，在ABC中，AB=2，AC=3，BAC=60°，A

3、D是BAC的角平分线交BC于D，则的值等于（）ABC6D9（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）AB4C2D10（5分）在三棱锥SABC中，SA平面ABC，AB=1，AC=SA=2，BAC=60°，则三棱锥SABC的外接球的表面积是（）A4B6C8D1211（5分）如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4BCD12（5分）已知函数f（x）=+x（x（0，+），且f（x）在x0处取得最小值，则以下各式正确的序号为（）f（x0）x0+1 f（x0）=x0+1

4、f（x0）x0+1 f（x0）3 f（x0）3ABCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）（+2x）dx=14（5分）若bn是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：类比上述性质，相应地，若an是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：15（5分）已知抛物线y2=2px（p0），过焦点F，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|=16（5分）关于x的函数f（x）=（t0）的最大值为m，最小值为n，且m+n=2017，则实数t的值为三、解答题：（第17题10分，1822题每题1

5、2分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知=（sinx，1+cosx），=（cosx，1cosx），f（x）=，其中0，若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为（1）求f（x）的对称中心；（2）若g（x）=f（x）+m在区间0，上存在两个不同的零点，求实数m的取值范围18（12分）已知a，b，c分别为锐角ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinCbc=0（1）求A的大小；（2）若a=，求ABC面积的取值范围19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+2=2an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，cn=，求数列cn

6、的前n项和为Tn20（12分）如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC=60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°（1）证明：BDAA1；（2）求二面角A1C1DB的平面角的余弦值21（12分）椭圆E：+=1（ab0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，P是椭圆上的一点，已知PF1F2内切圆半径为1，内心为I，且S+S=2（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆的左焦点F1做两条互相垂直的弦AB，CD，求|+|的最小值22（12分）已知函数f（x）=ex+ln（x+m）+n在点（0，f（0）处的切线方程为（e+1）xey+3e=0（1）求f（

7、x）的解析式；（2）若当x0时，f（x）+ax+3成立，求实数a的取值范围2016-2017学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2011江西校级模拟）已知集合=（）A1，+）B（1，+）C（0，+）D0，+）【分析】先化简两个集合，再根据集合的定义求出两个集合的交集【解答】解：A=y|y=2x，x0=y|y1，AB=（1，+）故选B【点评】本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是化简两集合，再根据交集的定义求出两个集合的

8、交集2（5分）（2016秋红岗区校级期末）若复数z满足（1+2i）z=|2+i|，则复数z的虚部为（）ABiCDi【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+2i）z=|2+i|，得z=，复数z的虚部为故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）（2016秋红岗区校级期末）正项等差数列an的前n项和为Sn，已知a4+a10a72+15=0，则S13=（）A39B5C39D65【分析】由等差数列an通项公式得=0，求出a7，再利用等差数列前n项和公式能求出S13【解答】解：正项等差数列an的前n项和为Sn，a4+a1

9、0a72+15=0，=0，解得a7=5或a7=3（舍），S13=13×5=85故选：D【点评】本题考查等差数列的前13项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用4（5分）（2016秋红岗区校级期末）下列说法正确的是（）A若p：xR，x2+3x+50，则p：x0R，x02+3x0+50B“若=，则cos=”的否命题是“若=，则cos”C已知A，B是ABC的两个内角，则“AB”是“sinAsinB”的充要条件D命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件【分析】写出全称命题的否定判断A；写出命题的否命题判断B；由充分必要条件的判定方法判断C；由复合命题

10、的真假判断与充分必要条件的判定方法判断D【解答】解：若p：xR，x2+3x+50，则p：x0R，x02+3x0+50，故A错误；“若=，则cos=”的否命题是“若，则cos”，故B错误；已知A，B是ABC的两个内角，由ABabsinAsinB，可知，“AB”是“sinAsinB”的充要条件，故C正确；命题“pq为真”是命题，说明p、q中至少有一个为真命题，反之，若“pq为真”，则p、q均为真，命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件，故D错误故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判定方法，是基础题5（5分）（2011日照一模）已知直线

11、l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题中，正确命题的个数为（）（1）若，则lm（2）若lm，则（3）若，则lm（4）若lm，则A1B2C3D4【分析】（1）由，且l，得l，又m，lm；（2）由lm，且m，不能得出l，故不能得；（3）由，且l，可得l，或l，又m，故不一定有lm；（4）由lm，且l，得m，又m，【解答】解：（1）若，由已知，得lm，是正确的；（2）若lm，由已知不能得出l，故不能得出，所以该命题是错误的；（3）若，由已知l，得l，平行，或l在内，故不能得出lm，所以该命题也是错误的；（4）若lm，由已知l，m，又m，；是正确的故选B【点评】本题主要利用几何符号语言，考查了空间中

12、的线线，线面，面面之间的平行与垂直关系，是基础题6（5分）（2007山东）为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x）到y=cos2x的路线，确定选项【解答】解：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度故选B【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意变换顺序7（5分）（2012浙江）若

13、正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6【分析】将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值【解答】解：正数x，y满足x+3y=5xy，=13x+4y=（）（3x+4y）=+2=5当且仅当=时取等号3x+4y5即3x+4y的最小值是5故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题8（5分）（2016秋红岗区校级期末）如图，在ABC中，AB=2，AC=3，BAC=60°，AD是BAC的角平分线交BC于D，则的

14、值等于（）ABC6D【分析】根据三角形内角平分线的性质得=，从而求出=（），再计算的结果即可【解答】解：ABC中，AD为内角A的平分线，由三角形内角平分线的性质可得：=，=，=（），=+=+，=（+）=+=×2×3×cos60°+×32=故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积与内角平分线性质的应用问题，是基础题目9（5分）（2014临汾校级模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）AB4C2D【分析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC底面ABC，PD交线BC，AEBC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2据此即

15、可计算出其体积【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC底面ABC，PD交线BC，AEBC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2VPABC=4故选B【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键10（5分）（2016秋红岗区校级期末）在三棱锥SABC中，SA平面ABC，AB=1，AC=SA=2，BAC=60°，则三棱锥SABC的外接球的表面积是（）A4B6C8D12【分析】由余弦定理求出BC，可得ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥SABC的外接球的表面积【解答】解：AB=1，AC=2，BAC=60°，由余弦定理可得BC=

16、，ACBC，AB是ABC外接圆的直径，ABC外接圆的半径为r=1，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=d2+12=12+（2d）2，d=1，R2=2，三棱锥SABC的外接球的表面积为4R2=8故选C【点评】本题考查三棱锥SABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥SABC的外接球的半径是关键11（5分）（2016呼伦贝尔一模）如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4BCD【分析】由双曲线的定义，可得F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2

17、a，BF2=4a，F1F2=2c，再在F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求【解答】解：因为ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120°，得c2=7a2，则故选：B【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题12（5分）（2016秋红岗区校级期末）已知函数f（x）=+x（x（0，+），且f

18、（x）在x0处取得最小值，则以下各式正确的序号为（）f（x0）x0+1 f（x0）=x0+1 f（x0）x0+1 f（x0）3 f（x0）3ABCD【分析】求导数，利用最小值点且为极小值点，即可判断；利用g（x）=exx2，x0，的零点，由零点判定定理可判断【解答】解：函数f（x）=+x（x（0，+），可得f（x）=+1=，由f（x）在x0处取得最小值，也为极小值即有f（x0）=0，即ex0=x0+2，f（x0）=+x0=1+x0，即，错误，正确；令g（x）=exx2，x0，则g（1）=e12=e30，g（2）=e240，则g（x）的零点介于（1，2），则x02，f（x0）=1+x03，故正确

19、，错误即有正确故选：B【点评】本题考查导数知识的应用：求最值，考查函数零点判定定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13（5分）（2016秋红岗区校级期末）（+2x）dx=【分析】dx表示四分之一单位圆，（2x）dx=，相加可得答案【解答】解：dx表示四分之一单位圆，dx=，（2x）dx=1，故（+2x）dx=+1=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是定积分，难度不大，属于基础题14（5分）（2011吉安二模）若bn是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：类比上述性质，相应地，若an是等差数列，m

20、、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：m（apan）+n（amap）+p（anam）=0【分析】仔细分析题干中给出的不等式的结论：的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等差数列类比到等比数列的：m（apan）+n（amap）+p（anam）=0成立【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的 ，等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”故m（apan）+n（amap）+p（anam）=0故答案为m（apan）+n（amap）+p（anam）=0【点评】本题主要考查等差数列类比

21、到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）15（5分）（2016秋红岗区校级期末）已知抛物线y2=2px（p0），过焦点F，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|=2或18【分析】设抛物线y2=2px（p0）的准线为l如图所示，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足为M，N过点B作BCAM交于点C由抛物线的定义可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|由于AMx轴，BAC=AFx=60°在RtABC中，|AC|=|AB|化简即可得出

22、【解答】解：设抛物线y2=2px（p0）的准线为l：x=如图所示，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足为M，N过点B作BCAM交于点C则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|AMx轴，BAC=AFx=60°在RtABC中，|AC|=|AB|又|AM|BN|=|AC|，|AF|BF|=（|AF|+|BF|），化为|AF|=3|BF|AF|=6，|BF|=2A，B交换，可得|BF|=18故答案为：2或18【点评】本题考查了抛物线的定义、含60°角的直角三角形的性质、平行线的性质，考查了辅助线的作法，属于中档题16（5分）（2016秋红岗区校级期末）关于x的函数f（x）=（t0）

23、的最大值为m，最小值为n，且m+n=2017，则实数t的值为【分析】函数f（x）可化为 t+，令g（x）=，则g（x）=g（x），设g（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N=0，由f（x）的最大值和最小值，解方程即可得到t【解答】解：f（x）=t+，令g（x）=，则g（x）=g（x），则g（x）为奇函数，设g（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N=0，即有t+M=m，t+N=n，a+b=2t+m+n=2t=2017，解得t=故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，考查三角函数的诱导公式和运算能力，属于中档题三、解答题：（第17题10分，1822题每题12分，共70分，解答应写出文字说

24、明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2016秋红岗区校级期末）已知=（sinx，1+cosx），=（cosx，1cosx），f（x）=，其中0，若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为（1）求f（x）的对称中心；（2）若g（x）=f（x）+m在区间0，上存在两个不同的零点，求实数m的取值范围【分析】（1）利用数量积的坐标运算可得f（x）的解析式，再由降幂公式及辅助角公式化简，结合四分之一周期求得，再由相位终边落在x轴上求得函数的对称中心；（2）求出函数f（x）在区间0，上的单调性，再求出f（0）、f（）、f（）的值，由g（x）=f（x）+m在区间0，上存在两个不同的零点即可求得m的范

25、围【解答】解：（1）f（x）=f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，且0，=1f（x）=sin（2x），由，kZ，得f（x）的对称中心为（），kZ；（2）的单调递增区间为0，单调递减区间为，g（x）=f（x）+m在区间0，上存在两个不同的零点，f（x）=m在区间上有两个不等的实数根，1m，则m1【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查根的存在性及根个数的判断方法，体现了“数学转化”思想方法，是中档题18（12分）（2016秋红岗区校级期末）已知a，b，c分别为锐角ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinCbc=0（1）求A的大小；（2）若a=，求ABC面积的取值范围【

26、分析】（1）由正弦定理化简已知等式，利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A）=，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求A的值（2）利用正弦定理可求2R=的值，利用三角函数恒等变换的应用化简可得bc=2sin（2B）+1，结合范围B（，），由正弦函数的性质可求bc的范围，由三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由acosC+asinCbc=0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC，即sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，可得：sinAsinC=cosAsinC+sinC，由于C为三角形内角

27、，sinC0，所以化简得sinAcosA=1，所以sin（A）=，3分因为A（0，），所以A（，），所以A=，即A=（6分）（2）2R=2，（7分）bc=2RsinB2RsinC=4sinBsin（B+）=2sin（2B）+1，9分ABC是锐角三角形，B（，），sin（2B）（，1，可得：bc（2，3，SABC=bcsinA=bc（，（11分）ABC的面积的取值范围是（，（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，考查了三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，属于中档题19（12分）（2016秋红岗区校级期末）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+2=

28、2an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，cn=，求数列cn的前n项和为Tn【分析】（1）由n=1时，a1=2，当n2时，an=SnSn，则=2，即可求得数列an的通项公式；（2）bn=，cn=，采用“裂项法”即可求得数列cn的前n项和为Tn【解答】解：（1）由Sn+2=2an，nN*，当n=1时，a1+2=2a1，a1=2，（1分）当n2时，Sn1+2=2an1，an=SnSn=（2an2）（2an12），=2，（4分）an是以2为首项，2为公比的等比数列，数列an的通项公式为an=2n，nN*；（6分）（2）bn=，（7分）cn=，（10分）数列cn的前n项和为Tn，Tn=

29、c1+c2+cn=1+=1， 数列cn的前n项和为Tn=1（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式，采用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题20（12分）（2014郊区校级三模）如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC=60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°（1）证明：BDAA1；（2）求二面角A1C1DB的平面角的余弦值【分析】（1）连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O，可证A1O底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BDAA1；（2）确定平面A1C1D、平面BC1

30、D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A1C1DB的平面角的余弦值【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60°A1O2=AA12+AO22AA1AOcos60°=3AO2+A1O2=AA12A1OAO，平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCD=AOA1O底面ABCD以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，） =（2，0，0），=（0，1，），=0BDAA1；（2）设

31、平面A1C1D的一个法向量为=（x，y，z），则=（0，2，0），=（，0，），=（1，0，1）同理平面BC1D的一个法向量为为=（0，2），cos，=【点评】本题考查线面位置关系，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题21（12分）（2016秋红岗区校级期末）椭圆E：+=1（ab0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，P是椭圆上的一点，已知PF1F2内切圆半径为1，内心为I，且S+S=2（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆的左焦点F1做两条互相垂直的弦AB，CD，求|+|的最小值【分析】（1）利用S+S=2求出a=2，利用离心率求出c，b即可顶点椭圆E的方程（2）设直线AB的方程为：x=my1（m0），直线CD的方程为x=，直线AB与椭圆方程联立可得：（3m2+4）y26my9=0，求出弦长，|AB|，|CD|，化简和的表