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文档简介

1、释疑解难 重积分问题1 将化为二次积分，其中.下面的作法是否正确？答：不正确.二次积分的积分限不对，所表示的积分区域是矩形区域： ，与题目中所给的区域不符.分析 二重积分化为二次积分的关键在于确定积分限，而确定积分限的关键在于将用的不等式表示出来，对于X型域，其积分限的确定方法是先将向轴投影，得的变化范围：，直线和与区域边界的交点将的边界分为了两个部分，即和，的变化范围为，故可表示为，于是正确的是 .问题2 二重积分如何选择积分次序？怎样改变二次积分的积分次序？答：考察下面二个例题：（1）选择 （为所围成的区域）的二次积分次序，使之计算较简便.（2）计算 .解：（1）积分区域如图9-8所示：如

2、果将视为X型域，应先对积分，则需将分为两部分，所以将视为Y型域，先对积分. 将向轴投影，得： 于是 . （2）因 不能用初等函数形式表达出来，故无法计算.通过交换积分次序来改变这种状况，所给的二次积分是将视为型区域，即，可见是由及围成的，如图9-9 现将看作型区域，于是， .分析 从以上的讨论，有 （1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积分都能积分出来，且使计算尽量简单. （2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是：由所给二次积分，写出的不等式表示，还原为积分区域，最好画出的图形，再将按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分.（3）改变积分次序

3、可以作为证明积分等式的一种方法，例 设在上连续，证明 .证明：由得，如图9-10改变积分次序，所以 左边右边.证毕. 问题3 在定积分中，利用被积函数的奇偶性，可简化对称区间上积分的计算，重积分中有类似的情况吗？答：在多元积分的计算中也可利用对称性来简化计算.设在上连续，以利用对称性计算二重积分为例，主要有以下几种情况：（1）如果关于轴对称，则，有 其中（2）如果关于轴对称，则，有其中（3）如果关于原点对称，则，有其中同上. （4）如果关于直线对称，则以上前三种情况类似于奇、偶函数在对称区间上的定积分性质，（4）则是二重积分的特殊性质.例 设，则（1） .（2），（3） 由此，得： .问题4 在什么情况下，用极坐标求二重积分可以简化计算？ 答：如果被积函数为或积分区域为圆域，圆环域或扇形域时，利用极坐标计算二重积分较简单.例如： 1. ， 2. ， 所围成.3. .都适合用极坐标计算,解答见典型例题部分的例8.特别地,因第1题中的积分不能用初等函数表达,所以若用直角坐标计算,算不出结果.问题5 在什么情况下，用三重积分的“先二后一”法计算比较方便？答：“先二后一”法是将三重积分先化为求关于某两个变量的二重积分，再求另一个变量的单积分的方法.这是先求关于变量的二重积分，再求关于的单积分的“先二后一”法.若被积函数与无关，或者容易计算时，用

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