11-12学年高中数学 第三章 概率复习回顾 新人教A版必修3

1、第三章概率第三章概率本本 章章 回回 顾顾知知 识识 结结 构构重点知识回顾重点知识回顾1.要点归纳要点归纳(1)根据概率的统计定义根据概率的统计定义,我们可以由频率来估计概率我们可以由频率来估计概率,因此应因此应理清频率与概率的关系理清频率与概率的关系,频率是概率的近似值频率是概率的近似值,是随机的是随机的,随随着试验的不同而变化着试验的不同而变化,而概率是进行多次试验中的频率的而概率是进行多次试验中的频率的稳定值稳定值,是一个常数是一个常数,不要以一次或少数次试验中的频率来不要以一次或少数次试验中的频率来估计概率估计概率.(2)理解概率的意义理解概率的意义,对一些随机现象作出正确的概率解释

2、对一些随机现象作出正确的概率解释,澄澄清日常生活中的一些错误认识清日常生活中的一些错误认识.(3)计算概率时计算概率时,要分清概率的类型要分清概率的类型,再应用公式进行计算再应用公式进行计算,应选应选准观察问题的角度准观察问题的角度,防止简单问题复杂化防止简单问题复杂化.2.热点透视热点透视本章与其他章节知识联系较少本章与其他章节知识联系较少,在学习过程中在学习过程中,要重视教材的要重视教材的基础作用基础作用,重视过程的学习重视过程的学习,重视基本数学思想和数学方法重视基本数学思想和数学方法的形成和发展的形成和发展,注意培养分析问题和解决问题的能力注意培养分析问题和解决问题的能力.随机事件在现

3、实世界中是广泛存在的随机事件在现实世界中是广泛存在的,要注意结合生活实例要注意结合生活实例,分析何为必然事件分析何为必然事件 不可能事件和随机事件不可能事件和随机事件,要充分理解要充分理解概率的意义概率的意义,并学会解释生活中的一些常见的概率问题并学会解释生活中的一些常见的概率问题,把把自己所学的概率知识应用到实际生活中去自己所学的概率知识应用到实际生活中去.应用互斥事件的概率的加法公式应用互斥事件的概率的加法公式,一定要注意首先确定诸事件一定要注意首先确定诸事件彼此是否互斥彼此是否互斥,然后求出各事件分别发生的概率然后求出各事件分别发生的概率,再求和再求和.求求复杂事件的概率通常有两种方法复

4、杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率二是先求其对立事件的概率,然后再然后再应用公式求解应用公式求解.对于古典概型概率的计算对于古典概型概率的计算,关键是分清基本事件个数关键是分清基本事件个数n与事件与事件A中包含的结果数中包含的结果数m,有时需用列举法把基本事件一一列举有时需用列举法把基本事件一一列举出来出来,再利用公式再利用公式 求出事件的概率求出事件的概率,这是一个这是一个形象形象 直观的好方法直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重但列举时必须按某一顺序做到不重复复 不遗漏不遗漏.对于几何概

5、型概率的计算对于几何概型概率的计算,关键是求得事件关键是求得事件A所占区域和整个所占区域和整个区域的几何度量区域的几何度量,然后代入公式即可求解然后代入公式即可求解.( )mP An本章用到较多的是化归思想本章用到较多的是化归思想,即求概率时转化为求互斥事件即求概率时转化为求互斥事件 对立事件或等可能事件的概率对立事件或等可能事件的概率.化归思想是数学中最基本化归思想是数学中最基本的思想方法的思想方法,在数学研究和学习中起着广泛的作用在数学研究和学习中起着广泛的作用.化归原化归原则的核心是实现问题的规范化则的核心是实现问题的规范化,也就是把一个生疏也就是把一个生疏 复杂复杂的问题转化为熟悉的问

6、题的问题转化为熟悉的问题,以便运用已知理论方法和程序以便运用已知理论方法和程序去达到问题的解决去达到问题的解决.所以所以,简单化是化归的基本方向简单化是化归的基本方向.专专 题题 探探 究究专题一专题一 古典概型古典概型计算古典概型事件的概率可分三步计算古典概型事件的概率可分三步:算出基本事件的总个算出基本事件的总个数数n;求出事件求出事件A包含的基本事件个数包含的基本事件个数m;代入公式求出代入公式求出概率概率.下面精选几道题分析运用公式解决问题下面精选几道题分析运用公式解决问题.例例1:在甲在甲 乙两个盒子中分别装有标号为乙两个盒子中分别装有标号为1 2 3 4的四个的四个球球,现从甲现从

7、甲 乙两个盒子中各取出乙两个盒子中各取出1个球个球,每个小球被取出的每个小球被取出的可能性相等可能性相等.(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率求取出的两个球上标号为相邻整数的概率;(2)求取出的两个球上标号之和能被求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率整除的概率.解解:设从甲设从甲 乙两个盒子中各取出乙两个盒子中各取出1个球个球,编号分别为编号分别为x,y.用用(x,y)表示抽取结果表示抽取结果,结果有以下结果有以下16种种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,

8、2),(4,3),(4,4),(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下6种种:(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3).故所求概率故所求概率 63.168P 答答:取出的两个球上标号为相邻整数的概率是取出的两个球上标号为相邻整数的概率是 .(2)取出的两个球上标号之和能被取出的两个球上标号之和能被3整除的结果为整除的结果为(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共共5种种.故所求概率故所求概率 5.16P 答答:取出的两个球上标号之和能被取出的两个球上标号之和能被3整除的概率为整除的概率为 516例

9、例2:一个各面都涂有红色的正方体的体积为一个各面都涂有红色的正方体的体积为64 cm3,将其锯将其锯成体积为成体积为1 cm3的小正方体的小正方体,从中任取一块从中任取一块,至少有一面涂至少有一面涂有红色的概率为有红色的概率为_,都不涂色的概率为都不涂色的概率为_.7818解析解析:由题意知由题意知,可锯成可锯成64个小正方体个小正方体,其中三面涂色的有其中三面涂色的有8个个,两面涂色的有两面涂色的有212=24个个,一面涂色的一面涂色的46=24个个,各面都不各面都不涂色的有涂色的有8个个.从中任取一个是等可能的从中任取一个是等可能的.因此因此,至少有一面至少有一面涂色的概率为涂色的概率为

10、2122424876488171).648818(PPP都不涂色的概率为或例例3:甲乙两人玩一种游戏甲乙两人玩一种游戏,每次由甲每次由甲 乙各出乙各出1到到5根手指头根手指头,若和为偶数算甲赢若和为偶数算甲赢,否则算乙赢否则算乙赢.(1)若用若用A表示和为表示和为6的事件的事件,求求P(A);(2)现连玩三次现连玩三次,若用若用B表示甲至少赢一次的事件表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少表示乙至少赢两次的事件赢两次的事件,试问试问B与与C是否为互斥事件是否为互斥事件,为什么为什么?(3)这种游戏规则公平吗这种游戏规则公平吗?试说明理由试说明理由.解解:(1)基本事件个数与点集基本事件个数与点集

11、S=(x,y)|xN,yN,1x5,1y5中的元素一一对应中的元素一一对应,所所以以S中点的总数为中点的总数为55=25(个个),所以基本事件总数所以基本事件总数n=25.事件事件 A包含的基本事件有包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),其有其有5个个,故故 51( ).255P A (2)B与与C不是互斥事件不是互斥事件.因为因为B与与C可以同时发生可以同时发生,如甲赢一次如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意乙赢两次的事件即符合题意.(3)这种游戏规则不公平这种游戏规则不公平.由由(1)知和为偶数的基本事件有知和为偶数的基本事件有13个个:(1,1),(

12、1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),所以甲赢的概率为所以甲赢的概率为 ,乙赢的概率为乙赢的概率为,所以这种游戏不公平所以这种游戏不公平.13251225专题二专题二 几何概型几何概型几何概型同古典概型一样几何概型同古典概型一样,是概率中最具有代表性的试验概型是概率中最具有代表性的试验概型之一之一,在高考命题中占有非常重要的位置在高考命题中占有非常重要的位置.我们要理解并掌我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征握几何概型试验的两个基本特征,即即:每次试验中基本事件每次试验中基本事件的无限

13、性和每个事件发生的等可能性的无限性和每个事件发生的等可能性,并能求简单的几何并能求简单的几何概型试验的概率概型试验的概率.下面举例说明下面举例说明.例例4:一个球形容器一个球形容器D的半径为的半径为3 cm,里面装有纯净水里面装有纯净水,因不小因不小心混入了一个感冒病毒心混入了一个感冒病毒,从中取从中取3 mL水水,则水中含有感冒病则水中含有感冒病毒的概率是多少毒的概率是多少?分析分析:感冒病毒在球形容器感冒病毒在球形容器D中的分布可看作是均匀的中的分布可看作是均匀的,3 mL水可看作构成事件的区域水可看作构成事件的区域,可用可用“体积比体积比”公式计算出其公式计算出其概率概率.解解:设事件设

14、事件A=在取出的在取出的3 mL水中含有感冒病毒水中含有感冒病毒,纯净水的体纯净水的体积积V= R3= 33=36(cm3)=36(mL),则含有感冒病毒的则含有感冒病毒的概率为概率为 31( ).3612P A例例5:在单位正方形在单位正方形ABCD内内(包括边界包括边界)任取一点任取一点M,求求:(1)AMB的面积不小于的面积不小于 的概率的概率;(2)AM的长度不小于的长度不小于1的概率的概率.解解:(1)如图所示如图所示:取取AD的中点的中点E,作作EFAB交交BC于于F,则则EF把正方形把正方形ABCD分分为面积相等的两部分为面积相等的两部分.当点当点M落在四边形落在四边形CDEF内

15、内(包括边界包括边界)时时,AMB的面积不小于的面积不小于 ,由几何概型中概率的计算公式由几何概型中概率的计算公式知知,所求概率所求概率P= . (2)如图所示如图所示:以以A为圆心为圆心,1为半径划弧为半径划弧 ,当点当点M落在图中阴影部分时落在图中阴影部分时(包括边界包括边界).AM的长度不小于的长度不小于1,由几何概型中概率的计算由几何概型中概率的计算公式知公式知,AM的长度不小于的长度不小于1的概率为的概率为 BD141.14ABCDABDABCDSSPS 扇形正方形正方形例例6:甲甲 乙两艘轮船都要停靠一个不能同时停泊两艘船的泊乙两艘轮船都要停靠一个不能同时停泊两艘船的泊位位,它们可

16、以在一昼夜的任意时刻到达它们可以在一昼夜的任意时刻到达,设甲设甲 乙两艘船停乙两艘船停靠泊位的时间分别是靠泊位的时间分别是3h和和5h,求有一艘轮船停靠泊位时必求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率须等待一段时间的概率.解解:以甲船到达泊位的时刻以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻、乙船到达泊位的时刻y为横为横 纵坐标轴建立直角坐标系纵坐标轴建立直角坐标系,如图所示如图所示,由题意可知由题意可知,0 x,y24.设事件设事件A=有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间,事件事件B=甲船停靠泊位时必须等待一段时间甲船停靠泊位时必须等待一段时间,事件事件

17、C=乙船停靠乙船停靠泊位时必须等待一段时间泊位时必须等待一段时间,则则A=BC,并且事件并且事件B与与C是互是互斥事件斥事件,所以所以P(A)=P(BC)=P(B)+P(C)而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足条件是而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足条件是0 x-y5,乙船需满足的条件是乙船需满足的条件是0y-x3,点点(x,y)的所有可能结果是边的所有可能结果是边长为长为24的正方形的正方形,事件事件A的可能结果由图中的阴影部分表示的可能结果由图中的阴影部分表示,则则S正方形正方形=242=576S阴影阴影=242- (24-3)2- (24-5)2=175由几何概率公式由几何概率公式

18、有一艘轮船停靠泊位时等待一段时间的概率为有一艘轮船停靠泊位时等待一段时间的概率为 175( ).576P A 175.576专题三专题三 概率的应用概率的应用随着高考制度的改革随着高考制度的改革,联系到各个学科的试题将会不断出现联系到各个学科的试题将会不断出现,尤其是作为工具性学科的数学尤其是作为工具性学科的数学,与其它学科的联系更为密与其它学科的联系更为密切切.下面通过具体的例子来介绍有关题型下面通过具体的例子来介绍有关题型.例例7:地球上的山地地球上的山地 水面积和陆地面积之比约为水面积和陆地面积之比约为3:6:1,那么那么太空上落下一块陨石恰好落在陆地上的概率为太空上落下一块陨石恰好落在

19、陆地上的概率为_. 解解:太空上落下的一块陨石落在地球上每一处是等可能的太空上落下的一块陨石落在地球上每一处是等可能的,由由几何概型公式可得落在陆地上的概率几何概型公式可得落在陆地上的概率P= 例例8:国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现发现30 min长的磁带上长的磁带上,从开始从开始30 s处起处起,有有10 s长的一段内容包长的一段内容包含两间谍犯罪的信息含两间谍犯罪的信息.后来发现后来发现,这段谈话的一部分被某工这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键该工作人员声称他完全是无意中按错了键,

20、使从此处起往后的所有内容都被擦掉了使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?分析分析:包含两个间谍谈话录音的部分在包含两个间谍谈话录音的部分在30 s到到40 s之间之间,当按当按错键的时刻在这段时间之内时错键的时刻在这段时间之内时,部分被擦掉部分被擦掉,当按错键的时当按错键的时刻在刻在0到到30 s之间时全部被擦掉之间时全部被擦掉,即在即在0到到40 s之间即之间即0到到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或

21、全部擦掉分或全部擦掉,而而0到到30 min之间的时间段内任一时刻按错之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的键的可能性是相等的,所以按错键使含有犯罪内容的谈话所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关间段长度有关,符合几何概型的条件符合几何概型的条件.解解:记记A=按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉,事件事件A的发生就是在的发生就是在0到到 min时间段内按错键时间段内按错键.所以所以A= min,=30 min,213( ).3045AP

22、 A例例9:豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的其中决定高的基因记为基因记为D,决定矮的基因记为决定矮的基因记为d,第一子代的一对基因为第一子代的一对基因为Dd,若第一子代的基因若第一子代的基因D d的遗传是等可能的的遗传是等可能的,求第二子求第二子代为高茎的概率代为高茎的概率.(只要有基因只要有基因D,则茎就是高茎则茎就是高茎,只有两个基只有两个基因全是因全是d时时,才显现矮茎才显现矮茎).解解:由于第一子代的由于第一子代的D d基因的遗传是等可能的基因的遗传是等可能的.可以将各种可以将各种可能的遗传情形都列举出来可能的遗传情形都列举出来,如图所示如图所示:D