中学数学逻辑基础

1、第五章第五章 中学数学逻辑基础中学数学逻辑基础 讲授者：邵贵明单 位：数学与计算机科学学院5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学一、问题情境 华罗庚先生曾经提出过一个问题： 一位教师让三位聪明的学生看了一下事先准备好的五顶帽子：三顶白帽子，两顶黑帽子。然后请三人同时闭上眼睛并给每人戴上一顶帽子(戴上帽子的人看不见自己的帽子),将其余的藏起来.随后请三人同时睁开眼睛，说出自己的帽子的颜色.三人互相看了看，踌躇了一会儿，觉得很为难.而后，三人几乎同时说出了自己的帽子的颜色.说出他们三人的帽子的颜色.5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 1.数学概念的意义数学概念

2、的意义 客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性 反映事物本质属性的思维形式叫做反映事物本质属性的思维形式叫做概念概念 反映数学对象的本质属性的思维形式叫做反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念数学概念 数学概念通常用特有的名称或符号来表示数学概念通常用特有的名称或符号来表示5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 1.数学概念的意义数学概念的意义 数学概念通常用特有的名称或符号来表示数

3、学概念通常用特有的名称或符号来表示 名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴同的范畴 概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式概念的语言形式 有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五五”、“five”都表示同一个概念。因此，都表示同一个概念。因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念

4、本身容，即相关联的概念本身 5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 2.概念的内涵与外延概念的内涵与外延 概念所反映的本质属性称为概念所反映的本质属性称为概念的内涵概念的内涵. 质质 概念所反映的对象的总和，称为概念所反映的对象的总和，称为概念的外延概念的外延量量 例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2” 必须注意“属性”与“本质属性”的不同一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形

5、的属性，但不是本质属性5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元 概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性 例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形其外延在小学阶段为0到180的角，到初中发展为0到360的角后来发展成：角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形其外延，在平面几何中为0到360的角，在

6、三角中发展为任意角在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的. 概念的外延和内涵二者是相互确定的 当用集合表示一个概念的外延时，就给出了这个概念的内涵5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 3.概念间的关系概念间的关系 （1）相容关系）相容关系 如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系相容关系可分为以下三种情况： i）同一关系）同一关系 如果两个概念的外延完全相同，则称这 两个概念间的关系为同一关系，这两个 概念称为同一概念 A（B）图5-15.1 数学

7、概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念（1）相容关系）相容关系同一关系、从属关系、交叉关系同一关系、从属关系、交叉关系 i）同一关系）同一关系 例例1 下列各组概念是同一概念：下列各组概念是同一概念：（i）偶素数；最小的正偶数）偶素数；最小的正偶数 （ii）有理数；形如）有理数；形如 p / q （p、q是整数，是整数， q0）的数）的数（iii）等腰三角形底边上的高、中线、）等腰三角形底边上的高、中线、 顶角的平分线顶角的平分线 A（B）图5-15.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念（1）相容关系）相容关系同一关系、从属关系、交叉关系同一关

8、系、从属关系、交叉关系 ii）从属关系）从属关系 如果一个概念如果一个概念A的外延真包含于另一个概念的外延真包含于另一个概念B的外延，那的外延，那么称这两个概念之间的关系为从属关系么称这两个概念之间的关系为从属关系 外延较小的概念外延较小的概念A种概念，种概念， 外延较大的概念外延较大的概念B属概念属概念 B图5-2AB A（B）图5-1四边形四边形的外延的外延平行四边形平行四边形的的 外外 延延矩矩 形形的外延的外延正方形正方形的外延的外延四边形四边形的内涵的内涵平行四边形平行四边形的的 内内 涵涵矩矩 形形的内涵的内涵正方形正方形的内涵的内涵5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1

9、.1 数学概念数学概念（1）相容关系）相容关系同一关系、从属关系、交叉关系同一关系、从属关系、交叉关系iii）交叉关系）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么称这个概念间的关系为交如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么称这个概念间的关系为交叉关系，这两个概念叫交叉概念叉关系，这两个概念叫交叉概念 例3 下列各组概念是交叉概念：（i）正数；整数（ii）等腰三角形；直角三角形（iii）矩形；菱形两个交叉概念的外延重合部分具有这两个概念的一切属性外延的重合部分另一个概念原来的两个概念的种概念如例3中的交叉概念“正数”和“整数”其外延重合部分正整数正整数同时包含了正数和整数的一切属性 A（

10、B）图5-1B图5-2ABA图5-3B5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念（2）不相容关系）不相容关系矛盾关系、对立关系矛盾关系、对立关系 i）矛盾关系）矛盾关系 在同一属概念之下的两个种概念，如果它们外延的交集为在同一属概念之下的两个种概念，如果它们外延的交集为空集，而外延的并集等于这个属概念的外延，那么称这两空集，而外延的并集等于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为矛盾关个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为矛盾关系，这两个概念称为矛盾概念系，这两个概念称为矛盾概念 例5 下列各组概念是矛盾概念：（i）零；非零整数

11、（相对于属概念“整数”而言）（ii）不等边三角形；等腰三角形（相对于属概念“三角形”而言）（iii）整式方程；分式方程（相对于属概念“有理方程”而言）A B图5-55.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念（2）不相容关系）不相容关系矛盾关系、对立关系矛盾关系、对立关系 i i ）对立关系）对立关系 两个种概念在同一属概念之下，外延的交集是空集，而外延两个种概念在同一属概念之下，外延的交集是空集，而外延的并集小于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的的并集小于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为对立关系，这两个种概念关系（相对

12、于这一属概念而言）为对立关系，这两个种概念叫对立概念叫对立概念 例例4 下列各组概念是对立概念：下列各组概念是对立概念：（i）正有理数；负有理数（相对于属概念）正有理数；负有理数（相对于属概念“有理数有理数”而而言）言）（ii）等腰梯形，直角梯形（相对于属概念）等腰梯形，直角梯形（相对于属概念“梯形梯形”而言）而言）（iii）整式方程；分式方程）整式方程；分式方程 （相对于属概念（相对于属概念“代数方程代数方程”而言）而言） 图5-4CAB5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 4、概念的定义、概念的定义 （1）概念的定义）概念的定义 定义是建立概念的逻辑方法人

13、们在认识事物的过程中，经定义是建立概念的逻辑方法人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义和传递，这就要给概念下定义 常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性练的语言或符号揭示出对象的本质属性下定义的方式下定义的方式可以是直接揭示对象的本质属性来给出定义可以是直接揭示对象的本质属性来给出定义可以是通过揭示概念的外延来给出定义可以是通过揭示概念的外延来给出定义这是因为概念的外延完全确定了

14、它的内涵这是因为概念的外延完全确定了它的内涵5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 （3）常用的定义方法）常用的定义方法 i）属概念加种差定义法）属概念加种差定义法 一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法的差别（即种差），来进行定义的方法 平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” “平行四边形”是被定义的概念， “四边形”是已有定义的是属概念，

15、 “两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差” 这种定义方法就是属概念加种差定义法 5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 ii)发生式定义法发生式定义法 不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法叫做发生式定义法 发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特有的属性，而是给出被定义概念所反

16、映对象发生的过程 例如 “平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角” “把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式”5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 iii) 关系定义法关系定义法 是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性 例如，偶数的定义：能被整除的整数叫做偶数这是一个关于偶数的关系定义，它的种差是偶数与的一种关系5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 iv)外延定义法外延定义法 有些数学概念的外延是单一的对象或是几

17、个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义 例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a0）”等都是用的揭示外延定义法 v）递归定义法）递归定义法 例如用递推公式an=an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法 5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 （4）定义的规则）定义的规则 i）定义必须是相称的）定义必须是相称的 常常是先形成概念，再用下定义这样的逻辑方法来明确和建立概念 下定义时，必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们已经形成的，已建立的概

18、念的外延相同，这就是定义应当相称的意思 例如，不能把“两条不相交的直线”当作平行线的定义，因为在空间，不相交的直线还有异面直线的情形应该是“在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线” 又如，不能把“无理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象、e、tan2、sin1o等等5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 ii）不能循环定义）不能循环定义 如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延 例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义 5.1 数学概念及其教学数学概念及其教学 5.1.1 数学概念数学概念 iii）一般不用否定形式作定义）一般不用否定形式作定义 定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点 例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延 当然也有例外的情形，如平行线的定义不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它