第一章第1讲集合的概念与运算

1、2017 高考导航知识点考纲下载集 合1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算简单不等式的解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、

2、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义2理解全称量词和存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.第 1 讲集合的概念与运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图

3、示法(4)常见数集的记法集 合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符 号NN*(或 N)ZQR2.集合间的基本关系(1)集合关系图解关 系韦恩(Venn)图表示符号表示子集 AB真子集 AB集合相等 AB(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且 xA1辨明三个易误点(1)认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件(2)注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要

4、注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误(3)防范空集在解决有关 AB，AB 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解2活用一组结论(1)ABABA，ABAAB.(2)AAA，A.(3)AAA，AA.(4)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.(5)ABABAABBUAUBA(UB).(6)若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集个数为 2n1，非空真子集个数为 2n2.1(必修 1P12 习题 1.1A 组 T5(3)改编)已知集合 Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，Cx|x 是正方形，Dx|x 是菱形，

5、则()AABBCBCDCDAD答案：B2已知集合 A(x，y)|x，yR，且 x2y21，B(x，y)|x，yR，且 yx，则AB 的元素个数为()A0B1C2D3解析：选 C.集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合 B 表示的是直线 yx，据此画出图象，可得图象有两个交点，即 AB 的元素个数为 2.3集合 Ax|xy26，xN，yN的真子集的个数为()A9B8C7D6解析：选 C.当 y0 时，x6；当 y1 时，x5；当 y2 时，x2；当 y3 时，xN，故集合 A2，5，6，共含有 3 个元素，故其真子集的个数为 2317.4(必修 1P12 习题 1.1A 组 T7 改编)已知

6、全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，5，6，集合 B1，3，4，6，7，则集合 AUB_解析：由题意得UB2，5，8，所以 AUB2，3，5，62，5，82，5答案：2，55(必修 1P12 习题 1.1A 组 T10 改编)已知集合 Ax|x24x30，Bx|2x4，则(RA)B_解析：由已知可得集合 Ax|1x3，又因为 Bx|2x2答案：x|x1 或 x2考点一集合的基本概念学生用书 P2(1)已知集合 A0，1，2，则集合 B(x，y)|xy，xA，yA中元素的个数是()A1B3C6D9(2)设 a，bR，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba()A1B1C2D2解

7、析(1)当 x0 时，y0；当 x1 时，y0 或 y1；当 x2 时，y0，1，2.故集合 B(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，即集合 B 中有 6 个元素(2)因为1，ab，a0，ba，b，a0，所以 ab0，则ba1，所以 a1，b1.所以 ba2.答案(1)C(2)C与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.1.(1)已知集合 M1，m2，m24，且 5M，则 m 的值为()A1 或1B

8、1 或 3C1 或 3D1，1 或 3(2)已知集合 Ax|ax23x20，若 A，则实数 a 的取值范围为_解析：(1)因为 51，m2，m24，所以 m25 或 m245，即 m3 或 m1.当 m3 时，M1，5，13；当 m1 时，M1，3，5；当 m1 时，不满足互异性所以 m 的值为 3 或 1.(2)因为 A，所以方程 ax23x20 无实根，当 a0 时，x23不合题意，当 a0 时，98a98.答案：(1)B(2)98，考点二集合间的基本关系学生用书 P2(1)已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件ACB 的集合 C 的个数为()A1B2C3D4

9、(2)已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围为_解析(1)由 x23x20，得 x1 或 x2，所以 A1，2由题意知 B1，2，3，4，所以满足条件的 C 可为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4(2)因为 BA，所以若 B，则 2m1m1，此时 m2.若 B，则2m1m1，m12，2m15.解得 2m3.由、可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m3.答案(1)D(2)(，31.在本例(2)中，若 AB，如何求解？解：若 AB，则m12，2m15，即m3，m3.所以 m 的取值范围为.2若将本例(2)中的集合 A 改为 Ax|x5，如何求解

10、？解：因为 BA，所以当 B时，即 2m1m1 时，m5或m12m1，2m14或m2，m4.综上可知，实数 m 的取值范围为(，2)(4，)(1)判断两集合的关系常有两种方法化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；用列举法表示各集合，从元素中寻找关系(2)根据两集合的关系求参数的方法若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到注意题目中若有条件 BA，则应分 B和 B两种情况进行讨论2.(1)(2016邢台摸底考试)已知集合 Ax|2x2，By|y x，0 x

11、4，则下列关系正确的是()AARBBBRACRARBDABR(2)已知集合 Ax|log2x2，B(，a)，若 AB，则实数 a 的取值范围是(c，)，其中 c_解析：(1)依题意得 By|0y2，因此 BA，RARB.(2)由 log2x2，得 0 x4，即 Ax|04，即 c4.答案：(1)C(2)4考点三集合的基本运算(高频考点)学生用书 P3集合的基本运算是历年各地高考的热点， 每年必考， 常和不等式的解集、 函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现试题难度不大，多为低档题高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求

12、集合；(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)(1)(2015高考全国卷)已知集合 Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为()A5B4C3D2(2)已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0 x1Dx|0 x1(3)已知集合 A、B 均为 U1，3，5，7，9的子集，且 AB3，(UB)A9，则 A_解析(1)集合 A 中元素满足 x3n2，nN，即被 3 除余 2，而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14，故集合 AB 中元素的个数为 2.(2)利用数轴分析求解因为 Ax|x0，Bx

13、|x1，所以 ABx|x0，或 x1在数轴上表示，如图所示所以U(AB)x|0 x1(3)因为 AB3，所以 3A，又因为(UB)A9，所以 9A，又 U1，3，5，7，9，假设 1A，由 AB3，知 1B，所以 1UB，则与(UB)A9矛盾，所以 1A，同理 5，7A，则 A3，9答案(1)D(2)D(3)3，9集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或 Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解3.(

14、1)(2016南昌调研)设全集 UR，Ax|x22x0，By|ycos x，xR，则图中阴影部分表示的区间是()A0，1B1，2C(，1)(2，)D(，12，)(2)(2016新乡一中月考)设集合 Ax|xa|1，xR，Bx|1x5，xR，若 AB，则实数 a 的取值范围是()Aa|0a6Ba|a2 或 a4Ca|a0 或 a6Da|2a4解析：(1)选 C.因为 Ax|0 x20，2，By|1y11，1，所以 AB1，2，所以R(AB)(，1)(2，)(2)选 C.因为|xa|1，所以1xa1，所以 a1xa1，又 Bx|1x5，AB，故 a11 或 a15，即 a0 或 a6.,学生用书

15、P4)交汇创新集合中的创新问题以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点， 此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托(1)(2016郑州质检)已知集合 A，B，定义集合 A 与 B 的一种运算 AB，其结果如下表所示：A1，2，3，41，14，81，0，1B2，3，61，14，2，0，22，1，0，1AB1，4，62，0，2，82按照上述定义， 若 M2 014， 0， 2 015， N2 015， 0， 2 016，

16、则 MN_(2)如果集合 A 满足若 xA，则xA，那么就称集合 A 为“对称集合”已知集合 A2x，0，x2x，且 A 是对称集合，集合 B 是自然数集，则 AB_解析(1)由给出的定义知， 集合 AB 的元素是由所有属于集合 A 但不属于集合 B 和属于集合 B 但不属于集合 A 的元素构成的，即 ABx|xA 且 xB，或 xB 且 xA，故MN2 014，2 015，2 015，2 016(2)由题意可知2xx2x，所以 x0 或 x3.而当 x0 时不符合元素的互异性，所以舍去当 x3 时，A6，0，6，所以 AB0，6答案(1)2 014，2 015，2 015，2 016(2)0

17、，6解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质1.(2016洛阳模拟)集合 Ax|x0，Bx|ylgx(x1)，若 ABx|xA，且 xB，则 AB()Ax|x1Bx|1x0Cx|1x0，可知 x0 或 x1，故 B(，1)(0，)，故 AB1，0)2(2016贵阳监测考试)已知全集 Ua1，

18、a2，a3，a4，集合 A 是集合 U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若 a1A，则 a2A；若 a3A，则 a2A；若 a3A，则 a4A.则集合 A_(用列举法表示)解析：由题意知(1)若 a1Aa2A，由条件的逆否命题及可知 a2Aa3A 且 a4A，则集合 A 中含有三个元素 a1，a2，a3，不符合题意(2)若 a1A 且 a2A，由条件可知 a3A，a4A，则 Aa2，a3符合题意(3)若 a1A，a2A，a3A，则由条件知 a4A，此时 A 中只有一个元素 a3，也不符合题意故集合 Aa2，a3答案：a2，a31已知 U 为全集，集合 A，B 如图所示，则(UA)B(

19、)A0，1，3B2，3，4C0，1，3，5D3，5解析：选 C.由题意得UA3，5，则(UA)B0，1，3，52已知集合 A x|xZ，且32xZ，则集合 A 中的元素个数为()A2B3C4D5解析：选 C.因为32xZ，2x 的取值有3，1，1，3，又 xZ，所以 x 值分别为 5，3，1，1，故集合 A 中的元素个数为 4.3设集合 MxZ|x1|2，NyN|yx22x1，xR，则()ANMBMNCNMDMN解析：选 D.M0，1，2，N0，1，2，所以 MN.4设集合 A1，0，2，集合 Bx|xA 且 2xA，则 B()A1B2C1，2D1，0解析：选 A.当 x1 时，2x3A，此时

20、x1B，当 x0 时，202A，当x2 时，220A，所以 B15 (2016南昌调研)已知集合 Ax|x22x0， B x|12x20 ， 则 ARB()A(2，1)B(1，0)C(2，1D1，0)解析：选 B.因为 Ax|2x1，故 ARBx|1x0，Bx|xa0，若UBA，则实数 a 的取值范围是()A(，1)B(，2C1，)D2，)解析：选 D.因为 x23x20，所以 x2 或 x2 或 xa因为UBA，借助数轴可知 a2，故选 D.9设全集 UR，Ay|ytan x，xB，B x|x|4 ，则图中阴影部分表示的集合是()A1，1B.4，4C.1，4 4，1D.1，4 4，1解析：选

21、 C.图中阴影部分表示的集合为(UB)A1，4 4，1.10已知 mA，nB，且集合 Ax|x2a，aZ，Bx|x2b1，bZ，Cx|x4c1，cZ，则有()AmnABmnBCmnCDmn 不属于 A，B，C 中任意一个集合解析：选 B.因为 mA，所以设 m2a1，a1Z，又 nB，所以设 n2b11，b1Z，所以 mn2(a1b1)1，而 a1b1Z，所以 mnB.11设集合 A5，ba，ab，Bb，ab，1，若 AB2，1，则 AB()A1，2，3，5B1，2，3C5，1，2D2，3，5解析：选 A.由 AB2，1，可得ba2，ab1或ba1，ab2.当ba2，ab1时，a1，b2.此时

22、 B2，3，1，所以 AB1，2，3，5；当ba1，ab2时，a1，b1，此时不符合题意，舍去12(2016湖北省七市(州)协作体联考)已知集合 Pn|n2k1，kN*，k50，Q2，3，5，则集合 Txy|xP，yQ中元素的个数为()A147B140C130D117解析：选 B.由题意得，y 的取值一共有 3 种情况，当 y2 时，xy 是偶数，与 y3，y5 没有相同的元素，当 y3，x5，15，25，95 时，与 y5，x3，9，15，57时有相同的元素，共 10 个，故所求元素个数为 35010140，故选 B.13 集合 A0， 2， a， B1， a2， 若 AB0， 1， 2，

23、4， 16， 则 a 的值为_解析：根据并集的概念，可知a，a24，16，故只能是 a4.答案：414已知集合 Ax|x22xa0，且 1A，则实数 a 的取值范围是_解析：因为 1x|x22xa0，所以 1x|x22xa0，即 12a0，所以 a1.答案：(，115已知 Ax|x23x20，Bx|1xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是_解析：因为 Ax|x23x20 x|1x2B，所以 a2.答案：2，)16已知集合 Ax|1x5，Cx|axa3，若 CAC，则 a 的取值范围是_解析：因为 CAC，所以 CA.当 C时，满足 CA，此时aa3，得 a32；当 C时，要使 CA，则aa3，a1，a35，解得32m)叫做集合x|mxn的“长度”，