基于APOS理论的数学概念教学设计林妙红

1、基于APOS理论的数学概念教学设计：数轴 155370 林妙红 摘要：APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基等人提出的一种数学教学理论.他将数学概念的建立分为四个阶段：Action，Process，Object，Scheme，并用于指导教学实践.早期APOS理论只是被用在大学数学的教学中，现在该理论正逐步地渗透于我们的中学数学教学中.本文首先谈了对APOS理论的认识，然后通过数轴的教学设计尝试了一下APOS理论在数学概念教学中的应用.关键词：APOS理论 数学概念 教学设计 数轴 从20世纪90年代起，APOS理论就被介绍到我国的数学教育界，它是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论，因此

2、对这样的理论进行深入的研究是十分有意义的.我国的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行，这种教学过程虽然简明，但却忽视了许多数学概念具有过程对象的双重性.近年来，相关学者的研究结果表明，将APOS理论应用到我们的概念教学中可以弥补我们以前那种概念教学方式的缺点.1 什么是APOS理论？APOS理论是20世纪80年代末至90年代初由美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来的一种数学教学理论.杜宾斯基认为，一个人是不可能直接学习到数学概念的.更确切地说，人们透过心智结构（mental structure）使所学习的数学概念产生意义.如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，

3、那么他几乎自然就学到了这个概念.相反的，如果一个人无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的.因此，教学的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构.杜宾斯基等人认为，APOS理论可以看做是对皮亚杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的扩展.APOS理论的一个基本假设是：数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得的，在这个过程中，个体依序建构了心理活动（actions）、程序（processes）和对象（objects），最终组织成用以理解问题情境的图式结构（schemas）.根据APOS理论，学生学习数学概念的心理建构过程要经历以下的四个阶段

4、：活动（actions）阶段.“活动”是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.例如在理解函数概念时需要活动或操作，对于，需要用具体的数字构造对应：通过操作活动理解函数的意义.程序（processes）阶段.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种称之为“程序（processes）”的心理操作.有了这种“程序”，个体就可以想象这个“活动”，而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序，而不需要具体操作；进而，他还可以对这个程序进行逆转以及与其他程序进行组合.例如把上述例子中的操作活动综合为一个函数过程.一般地有其他的各种函数也可以概括为一般的对应

5、过程. 对象（objects）阶段.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象（objects）”.接着上面的例子，然后可以把函数过程当作一个独立的对象来处理，比如函数的加减乘除、符合运算等.在表达式中，函数都是作为一个整体对象出现的.最后是“图式（或者说图式结构，schema）”.一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用以解决与这个概念相关的问题. 按照杜宾斯基的解释，上述四个成分中，“活动”、“程序”和“对象”也可以看作是数学知识的三种状态，而“图式”则是由

6、这三种知识构成的一种认知结构（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四种成分的排列虽然在理论上具有一种等级结构，也就是说，一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础，但实际上，个体对某个数学概念的理解并不一定遵循这种线性的途径.例如函数函数概念，学习者一开始的“活动”是把函数看作一个简单的公式，其中含有一些可以运算和赋值的字母变量；随后，函数被看作是一种可以“输入输出”的机器（函数机），于是得到了初步的“程序”.但是当学生遇到更为复杂的函数表达式时，往往又回到了“活动”阶段，并在“活动”的基础上，又进一步完善了函数“程序”.如此经过多个循环之后，学生才最终形成明确而完整的函数“对

7、象”.从数学学习心理学角度分析，APOS理论的四个学习层次是合理的，反应了学生学习数学概念过程中真实的思维活动.其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系.“程序阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质; “对象阶段”是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中一次为对象进行新的活动；“图式阶段”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反应概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习

8、，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心智结构.2.基于APOS理论的数学概念教学设计：数轴数轴指具有原点、正方向、单位长度一条直线。第一阶段：活动阶段通过让学生观察生活中的温度计，去了解刻度线的构成，去读数，看看不同位置的数分别表示什么含义。第二阶段程序阶段 通过之前的观察，读数体验，分析出数周构成的要素，总结出数周的定义。第三阶段 对象阶段 如何在数轴上表示一个数，明确相反数在数轴上的位置特点第四阶段图式阶段 如何利用借助数轴比较两个数的大小 教 学 过 程教学环节教 师 活 动预设学生行为设计意图一、创设情境,引入课题问题1:温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工

9、具，你会读温度计吗？请你尝试读出课本43页图中三个温度计所表示的温度？问题2：在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境四人小组为单位讨论并回答教师的问题创设问题情境,激发学生学习热情,发现生活中的数学.通过问题1和问题2的解决, 学生感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识.二、合作交流，探索新知由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？归纳：先画一条水平直线，在水平直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定向右的方

10、向为正方向这就是数轴.- 3 2 1 0 1 2 3在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出：可以表示有理数的直线必须满足什么条件？学生在开放的环境下,大胆的发表自己的见解.有的学生提出用射线上的点表示有理数,但有人反驳,射线是向一方延伸,而有理数是无限的,应该采用直线.同时学生还探索出,为了区分正有理数和负有理数,必须在直线上先确定零点,即原点.同时还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度. 三、动手练习，归纳总结问题1： +3，-4，-1.5，0分别在数轴的什么位置?问题2：指出数轴上 A, B, C, D各点分别表示什么数?问题3： 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ， -5

11、， 0， 5， -4，问题4： 2与-2有什么相同点与不相同点？它们在数轴上的位置有什么关系？与，5与-5呢？学生回答问题，动手训练通过练习，得出结论。正有理数是用原点右边的点表示，负有理数是用原点左边的点表示，0用原点表示。所以任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。问题2是数轴上已知点所表示的有理数，是由“形”到“数”的思维过程。问题3是给定的数用数轴上的点来表示，是由“数”到“形”的思维过程。它们从两个侧面体现出数形结合思想。问题4是使学生通过观察特例，总结出相反数的概念，以及互为相反数的两数在数轴上的位置关系，从数和形两个侧面理解相反数。四、仔细观察，发现规律问题1：数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？问题2：正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？ 利用结论练习：比较下列每组数的大小，并说明理由.（1）-2 和 +6； （2）0和 -1.8； 结论：数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.学生观察数轴并回答问题思考数轴的应用价值，观察数轴上两个点所表示的数的大小情况.得出结论：数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数.通过练习，借助数轴比较数的大小。五、加强练习，巩固提高1、写出三对非零的相反数，在数轴上将它们表示出来，并比较其中三个负数的大小.